高中数学：不等式知识点详解

高中数学：不等式知识点详解

考试内容：‎ 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求： 数学探索©版权所有www.delve.cn（1）理解不等式的性质及其证明． 数学探索©版权所有www.delve.cn（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． 数学探索©版权所有www.delve.cn（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． 数学探索©版权所有www.delve.cn（4）掌握简单不等式的解法． 数学探索©版权所有www.delve.cn（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ ‎ ‎§06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：‎ （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.‎ （3） 同向不等式与异向不等式.‎ （4） 同解不等式与不等式的同解变形.‎ ‎2.不等式的基本性质 ‎（1）（对称性）‎ ‎（2）（传递性）‎ ‎（3）（加法单调性）‎ ‎（4）（同向不等式相加）‎ ‎（5）（异向不等式相减）‎ ‎（6）‎ ‎（7）（乘法单调性）‎ ‎（8）（同向不等式相乘）‎ ‎（异向不等式相除）‎ ‎（倒数关系）‎ ‎（11）（平方法则）‎ ‎（12）（开方法则）‎ ‎3.几个重要不等式 ‎（1）‎ ‎（2）（当仅当a=b时取等号）‎ ‎（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）‎ 极值定理：若则：‎ 如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； ‎ 如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.‎ ‎ 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. ‎ ‎（当仅当a=b=c时取等号）‎ ‎（当仅当a=b时取等号）‎ ‎（7）‎ ‎4.几个著名不等式 ‎ （1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：‎ 特别地，（当a = b时，）‎ 幂平均不等式：‎ 注：例如：.‎ 常用不等式的放缩法：①‎ ②‎ ‎（2）柯西不等式： ‎ ‎（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有 则称f(x)为凸（或凹）函数.‎ ‎5.不等式证明的几种常用方法 ‎ 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.‎ ‎6.不等式的解法 ‎（1）整式不等式的解法（根轴法）.‎ ‎ 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.‎ 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；‎ ‎②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.‎ ‎（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ‎（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 ‎ ‎ ‎（4）.指数不等式：转化为代数不等式 ‎（5）对数不等式：转化为代数不等式 ‎（6）含绝对值不等式 应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想；‎ 应用化归思想等价转化 注：常用不等式的解法举例（x为正数）：‎ ① ‎ ②‎ 类似于，③‎