2018-2019学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高一上学期期中考试数学试题
宜昌市葛洲坝中学2018-2019学年第一学期
高一年级期中考试试卷数学试题
考试时间：2018年11月
一、单选题（每题5分）
1．设全集，集合，，则 （ ）．
A． B． C． D．
2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+ ∞）上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列四组函数，表示同一函数的是 （ ）
A．f（x）＝，g（x）＝x
B．f（x）＝x，g（x）＝
C．f（x）＝，g（x）＝
D．f（x）＝|x＋1|，g（x）＝
4．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．已知f（x-3）=2x2-3x+1，则f（1）=（ ）
A． 15 B． 21 C． 3 D． 0
6．若函数 ，则 （ ）
A． B． e C． D．
7．设，b=，c=ln，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． a＞b＞c B． b＞a＞c C． b＞c＞a D． a＞c＞b
8．已知，其中为常数，若，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
9．若在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 的定义域是一切实数，则m的取值范围是（ ）
A． 0＜m≤4 B． 0≤m≤1 C． m≥4 D． 0≤m≤4
11．若函数，且，则 的图象是（ ）
12．已知，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分）
13．函数f（x）＝ax－2＋1的图象一定过定点P，则点P的坐标是________．
14．已知奇函数，当 时，有 ，则 时，函数 __________．
15．函数，的值域为________．
16．定义在上的偶函数满足：对任意的（），有，且，则不等式的解集是__________．
三、解答题
17．（本题10分）计算：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
18．（本题12分）
已知集合， .
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
19．（本题12分）
已知函数定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断并证明函数在上的单调性.
20．（本题12分）
已知设函数．
（）求的定义域．
（）判断的奇偶性并予以证明．
（）求使的的取值范围．
21．（本题12分）
某工厂生产甲产品所得利润为P，它与投入资金n（万元）的关系有如下公式： P=0.5n+60；生产乙产品所得利润Q（万元），它与投入资金m（万元）的关系有如下公式：，今一共投入
200万元资金生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于25万元.
（Ⅰ）设对乙种产品投入资金（万元），求总利润（万元）关于的函数关系式及其定义域；
（Ⅱ）如何分配投入资金，才能使总利润最大，并求出最大总利润.
22．（本题12分）
已知函数在区间上有最大值和最小值 .
（1）求的值；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围．
参考答案
1．D
【解析】 由，，∴，∴，故选．
2．C
【解析】试题分析：对于A， 是奇函数，不符合题意；对于B， ，不满足，不是偶函数，不正确；对于C，满足，且满足在上单调递减，满足题意；对于D，满足，在上单调递增，不满足题意；故选C．
考点：函数奇偶性的判断
3．D
【解析】
试题分析：A中，两函数的对应法则不同，所以不是；B定义域不同，所以不是；C中定义域为而定义域为，所以不是；D定义域与对应法则相同，所以是同一函数，故选择D
考点：判断同一函数
4．B
【解析】
试题分析：，选B.
考点：函数定义域
5．B
【解析】
【分析】
由，令即可得结果.
【详解】
，
，故选B．
【点睛】
本题主要考查函数的解析式，意在考查基本概念的掌握情况，属于简单题.
6．A
【解析】
【分析】
直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可.
【详解】
因为函数，
因为，所以，
又因为，
所以，
即，故选A.
【点睛】
该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.
7．B
【解析】
【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性求解
【详解】
,a= ,b>a>0,
c=
a>c
故选：B.
【点睛】
与指数函数与对数函数有关的比较大小问题，可利用指数函数和对数函数的单调性，比较大小.
8．D
【解析】
试题分析：设，显然为奇函数，而且，，则，因为，，所以.
考点：函数的奇偶性.
9．C
【解析】为上的减函数， 时， 递减，即，①， 时， 递减，即，② 且 ，③ 联立①②③解得， ，故选C.
【方法点晴】本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.
10．D
【解析】
【分析】
先根据定义域列不等式，再根据不等式恒成立确定m的取值范围.
【详解】
由题意得恒成立，所以或，因此0≤m≤4，选D.
【点睛】
本题考查函数定义域、不等式恒成立，考查基本求解能力.
11．A
【解析】
试题分析：由得，即，所以，由复合函数单调性可知选A．
考点：1．分段函数图像；2．复合函数单调性．
12．C
【解析】
设，则不等式等价为，作出的图象，如图，由图象可知时， ，即时， ，若，由得，解得，若，由，得，解得，综上，即不等式的解集为，故选C.
13．（2，2）
【解析】
试题分析：根据指数函数恒过点，在函数中，令解得，所以函数的图象一定过定点
考点：指数函数的图象以及性质
14．
【解析】
【分析】
利用代入法求函数的解析式.
【详解】
∵当时，有，
∴当时，，有，
又∵是奇函数，
∴当时，．
故答案为：
【点睛】
(1)本题主要考查函数解析式的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求奇偶函数在对称区间的解析式一般利用代入法求解.
15．
【解析】
【分析】
因为函数是增函数，根据函数增减性的性质可求出最大值，从而写出值域.
【详解】
因为函数在R上是增函数，所以当时，，又，所以，故函数的值域为.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性，利用函数求函数的值域，属于中档题.
16．
【解析】因为对任意的（），有，所以在区间上， 是减函数，又是偶函数，则在区间上， 是增函数，由，则或，又，所以或或，故解集是，故答案为.
17．（Ⅰ）；（Ⅱ） .
【解析】试题分析： 将各项的底数化为幂的形式，利用指数的运算法则求解即可；
将化为的分数指数幂形式，将利用对数的运算法则化为，
由对数的意义知为，结果可求出。
解析：（Ⅰ）原式.
（Ⅱ）原式.
18．（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）利用指数函数的单调性解不等式即可求出集合；（2）先对集合分与两种情况讨论，再利用列出关于 的不等式组求解即可求出实数的取值范围.
试题解析：（1）由已知：，，.
（2）若时符合题意；
若时有，
即；
综上可得：的取值范围为.
19． (1) (2)增函数
【解析】
【分析】
⑴函数是定义在实数集上的奇函数，由，联立方程组求出的值，即可求得函数解析式
⑵直接运用函数单调性的定义证明函数在上的单调性
【详解】
⑴函数定义在上的奇函数，且
，即，解得
⑵任取，且
则
，且
，
，
函数在上是单调递增
【点睛】
本题主要考查了用赋值法求函数的解析式，考查了函数的单调性，利用函数的单调性定义证明函数的单调性时，步骤是首先在给定的区间内任取两个自变量的值，，并且规定大小，然后把它们对应的函数值作差，目的是判断差式的符号，从而得到和的大小，最后根据定义得到结论，属于中档题。
20．(1) .
(2) 为奇函数；证明见解析.
(3) .
【解析】分析：（1）根据对数函数成立的条件即可求出函数的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；
（3）根据对数函数的性质解不等式即可.
详解：（）要使函数（且）有意义，
则，解得．
故函数的定义域为．
（）由（）可知的定义域为，关于原点对称，
又，
∴为奇函数．
（），即，
当时，原不等式等价为，解得．
当，原不等式等价为，记得．
又∵的定义域为，
∴当时，使的的取值范围是．
当时，使的的取值范围是．
点睛：本题主要考查函数定义域和函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义结合对数函数的性质是解本题的关键.
21．(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.
【解析】分析：（Ⅰ）根据题意，对乙种商品投资（万元），对甲种商品投资（万元），结合题意可求经营甲、乙两种商品的总利润（万元）关于的函数表达式；（Ⅱ）令，利用配方法结合二次函数的性质可求总利润y的最大值．
详解：（Ⅰ）根据题意，对乙种产品投入资金万元，
对甲种产品投入资金万元,
那么
，
由，解得，
所以函数的定义域为.
（Ⅱ）令，则 ，
因为∈，所以，
当时函数单调递增，当时函数单调递减，
所以当=时，即=时， ，
答：当甲种产品投入资金万元，乙种产品投入资金万元时，总利润最大.
最大总利润为万元．
点睛：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值，正确建立函数解析式是关键．
22．（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）令，依题意知， ，由函数在区间上有最大值和最小值，即可求得的值；（2）设， ，求出函数的最大值即可.
试题解析：（1）令t=2x∈[2，4]， 则y=at2-2at+1-b，t∈[2，4]，
对称轴t=1，a＞0
∴t=2时，ymin=4a-4a+1-b=1， t=4时，ymax=16a-8a+1-b=9， 解得a=1，b=0，
（2）4x-2•2x+1-k•4x≥0在x∈[-1，1]上有解
设2x=t
∵x∈[-1，1]，
∴t∈[，2]
∵f（2x）-k.2x≥0在x∈[-1，1]有解
∴t2-2t+1-kt2≥0在t∈[，2]有解
∴k≤=1-+，
再令=m，则m∈[，2]
∴k≤m2-2m+1=（m-1）2
令h（m）=m2-2m+1
∴h（m）max=h（2）=1
∴k≤1
故实数k的取值范围（-∞，1]．
点睛：本题主要考查指数型函数的性质以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立.
高_一_ __数学____科期中考试命题双向细目表
题型
题号
考察知识点（非章节节点）
预估难度系数
能力要求
分值
备注
了解识记
理解
掌握
灵活运用
1
集合
0.8
√
5
2
函数的性质
0.8
√
5
3
概念
0.8
√
5
4
定义域
0.7
√
5
5
求值
0.7
√
5
6
分段函数
0.7
√
5
7
函数的性质
0.75
√
5
8
函数的性质
0.75
√
5
9
分段函数
0.75
√
5
10
恒成立
0.5
√
5
11
图像
0.6
√
5
12
分段函数的性质
0.4
√
5
13
定点
0.8
√
5
14
求解析式
0.8
√
5
15
值域
0.7
√
5
16
综合
0.4
√
5
17
指对运算
0.8
√
10
18
集合的运算
0.8
√
12
19
奇偶性
0.6
√
12
20
对数函数
0.6
√
12
21
应用题
0.5
√
12
22
综合应用
0.3
√
12
