2019-2020学年甘肃省张掖市临泽县第一中学高二上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

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2019-2020学年甘肃省张掖市临泽县第一中学高二上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

‎2019-2020学年甘肃省张掖市临泽县第一中学高二上学期期中考试数学(文)试题 一、单选题 ‎1.若是的内角,且,则与的关系正确的是( )‎ A. B. C. D.无法确定 ‎【答案】B ‎【解析】运用正弦定理实现边角转换,再利用大边对大角,就可以选出正确答案.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理可知:,,因此本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理,考查了三角形大边对大角的性质.‎ ‎2.已知正项数列中,,则数列的通项公式为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出,并求出的值,对的值验证是否满足的表达式,可得出数列的通项公式.‎ ‎【详解】‎ 由题意得 ,又 ,所以 ,选B.‎ ‎【点睛】‎ 给出与的递推关系求,常用思路是:一是利用转化为的递推关系,再求其通项公式;二是转化为的递推关系,先求出与 之间的关系,再求. 应用关系式时,一定要注意分两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起.‎ ‎3.若,,则( ).‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用不等式的基本性质对各选项进行验证.‎ ‎【详解】‎ ‎,,,,则,A选项错误;‎ ‎,,则,B选项错误;,,,C选项正确;‎ 取,,,,则,,不成立,D选项错误.故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的基本性质,考查利用不等式的性质判断不等式是否成立,除了利用不等式的性质之外,也可以利用特殊值法来进行判断,考查推理能力,属于中等题.‎ ‎4.若,则下列不等式中,正确的不等式有①②③④( )‎ A.4个 B.3个 ‎ C.2个 D.1个 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析:取,代入验证,②③错误.故选C.实际上,,.‎ ‎【考点】不等式的基本性质.‎ ‎【思路点晴】判断一个关于不等式的命题的真假时,先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题的真假,当然判断的同时可能还要用到其他知识,比如对数函数、指数函数的性质.特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法,在命题真假未定时,先用特殊值试试,可以得到一些对命题的感性认识,如正好找到一组特殊值使命题不成立,则该命题为假命题.‎ ‎5.已知等差数列的前项和为,若则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:由,可得,则化简,即可得结果.‎ 详解:因为,‎ 所以可得,‎ 所以,故选D.‎ 点睛:本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式, 意在考查等差数列基本量运算,解答过程注意避免计算错误.‎ ‎6.关于的不等式()的解集为,且,则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:先通过解一元二次不等式得到不等式的解集,再利用区间长度进行求解.‎ 详解:因为,‎ 所以,‎ 即,‎ 又,‎ 所以,‎ 解得.‎ 点睛:本题考查一元二次不等式的解法等知识,意在考查学生的数学转化能力和基本计算能力.‎ ‎7.若实数,满足约束条件,则的最大值等于( )‎ A.2 B.1 C.-2 D.-4‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出可行域,平移目标函数,找到取最大值的点,然后可求最大值.‎ ‎【详解】‎ 根据题意作出可行域如图:‎ 平移直线可得在点A处取到最大值,联立可得,代入可得最大值为2,故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划,作出可行域,平移目标函数,求出最值点是主要步骤,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.‎ ‎8.设是的三边,则关于的一元二次方程 A.有两个正根 B.有两个负根 C.无实数根 D.有两个相等的实数根 ‎【答案】C ‎【解析】先求出,再利用余弦定理证明,即得解.‎ ‎【详解】‎ 因为A是△ABC的内角,所以,‎ 由余弦定理知,‎ 所以,‎ 所以方程无实数根.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理,考查二次方程解的个数的判断,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.‎ ‎9.已知对任意的实数,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】对分类讨论,结合一元二次不等式的解集,即可求出结论.‎ ‎【详解】‎ 当时,不等式为,不合题意,‎ 当时,不等式恒成立,‎ 需,即,‎ 解得.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解集求参数,不要遗漏对情况讨论,属于基础题.‎ ‎10.定义:在数列中,若满足 为常数),称为“等差比数列”,已知在“等差比数列”中,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意结合“等差比数列”整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得:,,则,‎ 结合“等差比数列”的定义可知数列是首项为,公差为的等差数列,‎ 则:,‎ 据此有:,,‎ ‎.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】‎ 数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:①求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项.‎ ‎11.若的三个内角满足,则( )‎ A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】根据正弦定理求出三边比,用余弦定理求出最大边所对角的余弦值,即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 三个内角所对的边分别为,‎ ‎,‎ 设,‎ ‎,‎ 最大角为锐角,为锐角三角形.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查应用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状,属于基础题.‎ ‎12.已知数列满足:,.设,,且数列是单调递增数列,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:由a,可得数列 是以2为首项,2为公比的等比数列,求出等比数列的通项公式;把数列的通项公式代入,结合数列{bn}是单调递增数列,可得 且对任意的恒成立,由此求得实数的取值范围.‎ 详解:∵数满足:,, ‎ 化为∴数列是等比数列,首项为,公比为2, ∴ , ∵ ,且数列是单调递增数列, ∴ ,∴ , 解得 ,由 ,可得 对于任意的恒成立, , 故答案为:.‎ 故选B.‎ 点睛:本题考查数列递推式,考查了等比关系的确定,训练了等比数列通项公式的求法,考查数列的函数特性,是中档题.‎ 二、填空题 ‎13.不等式的解集是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用一元二次不等式的解法求解.‎ ‎【详解】‎ 不等式可化为,‎ 解得;‎ ‎∴该不等式的解集是.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了一元二次不等式的解法,解题时先把不等式化简,再求解集,是基础题.‎ ‎14.已知,则的最小值为______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】化为,利用基本不等式,即可求出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 当且仅当时,等号成立.‎ 故答案为:5.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式求最值,要注意基本不等式成立的条件,属于基础题.‎ ‎15.中,是边上的一点,已知,,,,则__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】在三角形ABD中,=,利用正弦定理得 ‎,在三角形ADC中,,所以AC=2.‎ 故答案为2.‎ ‎16.已知数列满足,是其前项和,若,(其中),则的最小值是_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知递推式得到:,累加可求,结合,求得,将其代入中,由基本不等式的性质分析可得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意,由已知得:, 把以上各式相加得:, 即:,, 则 即的最小值是, 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列递推式和累加法求数列的和,涉及基本不等式的性质以及应用,属于综合题.‎ 三、解答题 ‎17.已知内角的对边分别是,若,,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)求的面积.‎ ‎【答案】(1);‎ ‎(2).‎ ‎【解析】(1)在中,由正弦定理得,再由余弦定理,列出方程,即可求解得值;‎ ‎(2)由(1)求得,利用三角形的面积公式,即可求解三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)在中,,,,‎ 由正弦定理得,‎ 由余弦定理得,‎ 解得或不合题意,舍去,‎ ‎(2)由(1)知,所以,‎ 所以的面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用,其中在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎(1)当时,解关于的不等式;‎ ‎(2)若,解关于的不等式.‎ ‎【答案】(1);(2)①当时:不等式的解集为;②当时:不等式的解集为;③当时:不等式的解集为.‎ ‎【解析】分析:(1)时,将不等式因式分解,结合二次图像得到解集;(2)可化为 ,.分三种情况:时:时:时,分别得到解集.‎ 详解:‎ ‎(1)当时,‎ 可得 , ‎ ‎,‎ 的解集为 .‎ ‎(2)不等式可化为 ‎ , ‎ ‎ , ‎ ‎ ①当时 有.‎ 解得: ,‎ ‎ ②当时 有,‎ ‎ 解得:. ‎ ‎ ③当时 有.‎ 解得:.‎ 综上:①当时:不等式的解集为. ‎ ‎②当时:不等式的解集为.‎ ‎③当时:不等式的解集为.‎ 点睛:本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题,是中档题,对于含参的二次不等式问题,先判断二次项系数是否含参,接着讨论参数等于0,不等于0,再看式子能否因式分解,若能够因式分解则进行分解,再比较两根大小,结合图像得到不等式的解集.‎ ‎19.已知等差数列的公差不为0,其前项和为,,且,,成等比数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式及的最小值;‎ ‎(2)若数列是等差数列,且,求的值.‎ ‎【答案】(1),1;(2)0或-1.‎ ‎【解析】(1)设的公差为, ,用表示,再由等比数列的定义,建立关于的方程,求出配方,即可求出的最小值;‎ ‎(2)由(1)求出,先由成等差数列,求出,进而求出通项,再判断是否为等差数列.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设等差数列的公差为,‎ 因为,,,成等比数列,所以,‎ 所以,即,结合可得,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以当时,取得最小值,最小值为.‎ ‎(2)由(1)知,所以,‎ 因为为等差数列,所以,‎ 所以,‎ 化简可得,解得或,‎ 当时,,此时数列是等差数列,满足题意;‎ 当时,,此时数列是等差数列,满足题意;‎ 综上,或-1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的定义、等差数列通项基本量的计算、等差数列的前项和以及等差数列的判定,考查计算求解能力,属于中档题.‎ ‎20.设函数,.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)当时,解集为;当或时,解集为;(2)‎ ‎【解析】(1)根据根的判别式分类讨论,结合一元二次不等式的解集,即可求出结论;‎ ‎(2),不等式恒成立,化简分离参数,应用基本不等式,即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)不等式即,‎ 当,即时,不等式的解集为;‎ 当,即或时,‎ 方程的两根分别为,,‎ 故不等式的解集为.‎ 综上,当时,不等式的解集为,‎ 当或时,不等式的解集为.‎ ‎(2)因为当时,不等式恒成立,‎ 即当时,不等式恒成立,‎ 所以对任意的恒成立,‎ 所以当时,,‎ 因为,当且仅当时取等号,‎ 所以,所以.‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的求解、基本不等式求最值,分离参数是解题的关键,考查分类讨论思想,属于中档题.‎ ‎21.已知数列是递增的等差数列,且,是方程的两根;数列是正项等比数列,且,.‎ ‎(1)求数列及的通项公式;‎ ‎(2)若数列满足,求数列的前和.‎ ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】(1)求出的解,得到,求出的公差,进而求出的通项公式;再由,,求出的公比,即可求出的通项公式;‎ ‎(2)根据通项公式的特征,用错位相减法,即可求其前项和.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)解方程,可得或,‎ 因为,是方程的两根,‎ 数列是递增数列,所以,,‎ 设等差数列的公差为,则,解得,‎ 所以.‎ 因为数列是正项等比数列,所以,公比,‎ 又,,所以,解得(负值舍去),‎ 所以;‎ ‎(2)由(1)可知,,所以,‎ 所以,‎ ‎,‎ 上述两式相减可得,‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差、等比数列通项的基本量运算、错位相减法求数列前项和,考查计算求解能力,属于中档题.‎ ‎22.某菜地的平面示意图是如图所示的五边形区域,其中三角形区域为萝卜种植区,四边形区域为白菜种植区,,,,,,为小路(不考虑宽度),已知,,米.‎ ‎(1)求小路的长度;‎ ‎(2)求萝卜种植区的面积的最大值.‎ ‎【答案】(1)米;(2)平方米 ‎【解析】(1)连,根据已知可得,要求只需求出,在中,应用余弦定理求出,即可求解;‎ ‎(2)要求的面积的最大值,只需求出的最大值,由值和 ‎,用余弦定理和基本不等式,即可求出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)如图,连接,‎ 因为,米,‎ 所以在中,米,‎ 因为,所以,‎ 又,所以,所以是直角三角形,‎ 因为米,所以米,‎ 故小路的长度为米.‎ ‎(2)‎ ‎,当且仅当时,等号成立,‎ ‎,‎ 故萝卜种植区的面积的最大值为平方米.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理、勾股定理、基本不等式,考查计算求解能力,属于中档题.‎
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