2019高三数学理北师大版一轮教师用书:第8章+第7节 双曲线

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2019高三数学理北师大版一轮教师用书:第8章+第7节 双曲线

第七节 双曲线 ‎[考纲传真] (教师用书独具)1.了解双曲线的实际背景,了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用.‎ ‎(对应学生用书第144页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1.双曲线的定义 ‎(1)平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距.‎ ‎(2)集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,‎ 其中a,c为常数且a>0,c>0.‎ ‎①当2a<|F1F2|时,M点的轨迹是双曲线;‎ ‎②当2a=|F1F2|时,M点的轨迹是两条射线;‎ ‎③当2a>|F1F2|时,M点不存在.‎ ‎2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 -=1(a>0,b>0)‎ -=1(a>0,b>0)‎ 图形 性 质 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R 对称性 对称轴:坐标轴,对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0)‎ A1(0,-a),A2(0,a)‎ 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞)‎ 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1.三种常见双曲线方程的设法 ‎(1)若已知双曲线过两点,焦点位置不能确定,可设方程为Ax2+By2=1(AB<0).‎ ‎(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay=0,求双曲线方程时,可设双曲线方程为b2x2-a2y2=λ(λ≠0).‎ ‎(3)与双曲线-=1有相同的渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0).‎ ‎2.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率为e=.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(  )‎ ‎(2)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(  )‎ ‎(3)双曲线-=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是-=0,即±=0.(  )‎ ‎(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√‎ ‎2.(教材改编)已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a=(  )‎ A.2     B.      C.     D.1‎ D [依题意,e===2,所以=2a,则a2=1,a=1.]‎ ‎3.若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于(  )‎ A.11 B.9 C.5 D.3‎ B [由题意知a=3,b=4,∴c=5.由双曲线的定义||PF1|-|PF2||=|3-|PF2||=2a=6,∴|PF2|=9.]‎ ‎4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为(  )‎ A.-y2=1 B.x2-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ A [由题意可得解得a=2,则b=1,所以双曲线的方程为-y2=1,故选A.]‎ ‎5.(2017·全国卷Ⅲ)双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=________.‎ ‎5 [∵双曲线的标准方程为-=1(a>0),‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=±x.‎ 又双曲线的一条渐近线方程为y=x,∴a=5.]‎ ‎(对应学生用书第145页)‎ 双曲线的定义及应用 ‎ (1)已知双曲线x2-=1的两个焦点为F1,F2,P为双曲线右支上一点.若|PF1|=|PF2|,则△F1PF2的面积为(  )‎ A.48       B.24‎ C.12 D.6‎ ‎(2)(2017·湖北武汉调研)若双曲线-=1的左焦点为F,点P是双曲线右支上的动点,A(1,4),则|PF|+|PA|的最小值是(  )‎ A.8 B.9‎ C.10 D.12‎ ‎(1)B (2)B [(1)由双曲线的定义可得 ‎|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,‎ 解得|PF2|=6,故|PF1|=8,又|F1F2|=10,‎ 由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形,‎ 因此S=|PF1|·|PF2|=24.‎ ‎(2)由题意知,双曲线-=1的左焦点F的坐标为(-4,0),设双曲线的右焦点为B,则B(4,0),由双曲线的定义知|PF|+|PA|=4+|PB|+|PA|≥4+|AB|=4+=4+5=9,当且仅当A,P,B三点共线且P在A,B之间时取等号.‎ 所以|PF|+|PA|的最小值为9.]‎ ‎[规律方法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中,要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点间的距离”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.同时需注意定义的转化应用.‎ ‎2.在焦点三角形中,注意定义、余弦定理的活用,常将||PF1|-|PF2||=2a 平方,建立与|PF1|·|PF2|间的联系.‎ ‎[跟踪训练] 已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1,F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=(  ) ‎ ‎【导学号:79140294】‎ A. B. C. D. A [由e==2得c=2a,如图,由双曲线的定义得|F1A|-|F2A|=2a.‎ 又|F1A|=2|F2A|,故|F1A|=4a,‎ ‎|F2A|=2a,∴cos∠AF2F1==.]‎ 双曲线的标准方程 ‎ (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(  )‎ A.-=1   B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎(2)(2018·湖北调考)已知点A(-1,0),B(1,0)为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点,点M在双曲线上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则该双曲线的标准方程为(  )‎ A.x2-=1 B.x2-=1‎ C.x2-=1 D.x2-y2=1‎ ‎(1)B (2)D [(1)由y=x可得=. ①‎ 由椭圆+=1的焦点为(3,0),(-3,0),‎ 可得a2+b2=9. ②‎ 由①②可得a2=4,b2=5.‎ 所以C的方程为-=1.‎ 故选B.‎ ‎(2)由题意知a=1.不妨设点M在第一象限,则由题意有|AB|=|BM|=2,∠ABM=120°.过点M作MN⊥x轴于点N,则|BN|=1,|MN|=,所以M(2,),代入双曲线方程得4-=1,解得b=1,所以双曲线的方程为x2-y2=1,故选D.]‎ ‎[规律方法] 求双曲线标准方程的主要方法 (1)定义法:由条件判定动点的轨迹是双曲线,求出a2,b2,得双曲线方程.‎ (2)待定系数法:即“先定位,后定量”,如果不能确定焦点的位置,应注意分类讨论或恰当设置简化讨论.‎ ‎[跟踪训练] (1)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎(2)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为__________.‎ ‎(1)C (2)-=1 [由焦点F2(5,0)知c=5.‎ 又e==,得a=4,b2=c2-a2=9.‎ 所以双曲线C的标准方程为-=1.‎ ‎(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),设曲线C2上的一点P,则||PF1|-|PF2||=8.‎ 由双曲线的定义知:a=4,b=3.‎ 故曲线C2的标准方程为-=1,即-=1.]‎ 双曲线的几何性质 ‎◎角度1 双曲线的离心率问题 ‎ (2018·长沙模拟(二))已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-2)2+y2=相切,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D.3‎ A [由双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线y=x,即bx-ay=0与圆相切得==,即c=b,则c2=3b2=3(c2-a2),化简得c=a,则该双曲线的离心率为e===,故选A.]‎ ‎◎角度2 双曲线的渐近线问题 ‎ (2018·合肥二检)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则该双曲线的渐近线方程为________.‎ y=±x [因为e==,所以c2=a2+b2=3a2,故b=a,则此双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.]‎ ‎◎角度3 双曲线性质的综合应用 ‎ (2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为(  )‎ A. B. C. D. D [因为F是双曲线C:x2-=1的右焦点,所以F(2,0).‎ 因为PF⊥x轴,所以可设P的坐标为(2,yP).‎ 因为P是C上一点,所以4-=1,解得yP=±3,‎ 所以P(2,±3),|PF|=3.‎ 又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1,‎ 所以S△APF=×|PF|×1=×3×1=.‎ 故选D.]‎ ‎[规律方法] 与双曲线几何性质有关问题的解题策略 (1)求双曲线的离心率(或范围).依据题设条件,将问题转化为关于a,c的等式(或不等式),解方程(或不等式)即可求得.‎ (2)求双曲线的渐近线方程.依据题设条件,求双曲线中a,b的值或a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.‎ ‎[跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅱ)若a>1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是(  )‎ A.(,+∞) B.(,2)‎ C.(1,) D.(1,2)‎ ‎(2)(2016·全国卷Ⅰ)已知方程- ‎=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(  )‎ A.(-1,3) B.(-1,)‎ C.(0,3) D.(0,)‎ ‎(3)(2017·武汉调研)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,焦点到渐近线的距离为3,则C的实轴长等于________. ‎ ‎【导学号:79140295】‎ ‎(1)C (2)A (3)8 [(1)由题意得双曲线的离心率e=.‎ ‎∴e2==1+.‎ ‎∵a>1,∴0<<1,∴1<1+<2,‎ ‎∴1<e<.‎ 故选C.‎ ‎(2)若双曲线的焦点在x轴上,则 又∵(m2+n)+(3m2-n)=4,∴m2=1,∴ ‎∴-13m2且n<-m2,此时n不存在.故选A.‎ ‎(3)因为e==,所以c=a,设双曲线的一条渐近线方程为y=x,即ax-by ‎=0,焦点为(0,c),所以=b=3,所以a==,所以a2=16,即a=4,故2a=8.]‎
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