命题角度6-5 恒成立与存在性问题（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

命题角度6-5 恒成立与存在性问题（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

‎2018届高考数学（理）大题狂练 命题角度5：恒成立与存在性问题 ‎1.设函数 .‎ ‎(1)关于的方程在区间上有解，求的取值范围；‎ ‎(2)当时， 恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：（1）方程即为，令，则， 当时， 随变化情况如表：‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ， 当时， ， 的取值范围是.‎ ‎（2）依题意，当时， 恒成立，‎ 令，‎ 则，‎ 令，则当时， ， ‎ 函数在上递增， ‎ ， 存在唯一的零点，‎ 且当时， ，当时， ，‎ 则当时， ，当时， ， ‎ 在上递减，在上递增，‎ 从而，‎ 由得，两边取对数得， ‎ ，即实数的取值范围是.‎ ‎2.已知函数在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若存在，满足，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（I）利用导数求得切线方程，将其和已知的切线方程对比，可得.（II）将原不等式分离常数，得到在上有解，令，利用其二阶导数判断出在区间上单调递减，求得其最小值，进而得到的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）函数的定义域为.‎ 因为，所以.‎ 所以函数在点处的切线方程为 ，即.‎ 已知函数在点处的切线方程为，比较求得.‎ 所以实数的值为.‎ 所以函数在区间上单调递减.‎ 所以 .‎ 所以，即在区间上单调递减.‎ 所以 .‎ 所以实数的取值范围为.‎ 点睛：本题主要考查函数导数与切线，函数导数与不等式存在性问题的求解.第一问涉及函数导数与切线的问题，主要把握住两个关键，一个是切点的坐标，一个是在切点处切线的斜率.第二问根据存在性问题求参数的取值范围，主要采用分离常数法，利用导数求得含有部分函数的最值，即可求得参数的取值范围.‎ ‎3．已知函数.‎ ‎（1）研究函数的单调性；‎ ‎（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 在上单调递增;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：(1)二次求导确定函数的单调区间;(2) 不等式在上恒成立. 在上恒成立，转求的最小值即可.‎ ‎ ‎ ‎(2)依题在上恒成立，‎ 设，则在上恒成立，‎ ，‎ 欲使在上恒成立，则，得，‎ 反之，当时， ，‎ 设，则 设，则，‎ 所以在上单调递增，所以，‎ 所以，所以在上单调递增，所以，‎ 故，所以在上单调递增，‎ 又，所以在上恒成立，‎ 综上所述， 在上恒成立，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎4. 已知, ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，使成立，求参数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的减区间为, 的增区间为， ;（2） ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）对函数求导，列表可得出结果；（Ⅱ）将题意可转化为时， 成立，对函数进行求导，分为当时， ，即，即，设，对其求导，求出的最小值；当时，列表可得， 解不等式得结果.‎ 试题解析：（Ⅰ） ，‎ 时 ， 增 减 增 的减区间为 的增区间为， ‎（Ⅱ）由题意，即 ， 当时， 单调递增 即 即 设 即恒成立 无解 当时 且，由（1）知恒成立，若使则且 [1]‎ ， ， [2]‎ 由[1][2]取交集： 点睛：本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想在解不等式中的应用以及利用导数解决存在性问题，需注意它和恒成立问题的区别，具有一定的难度；由，得函数单调递增， 得函数单调递减；对于存在性问题，使成立等价于成立.‎ ‎5.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调区间；‎ ‎（2）若， 恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎【解析】试题分析：(1) 求出函数的导数，通过讨论 的范围， 得增区间， 得减区间； (2)问题转化为，讨论 的范围，根据函数的单调性求出 的最小值即可求出 的范围.‎ ‎（2）令，由（1）可知，函数的最小值为，所以，即.‎ 恒成立与恒成立等价，‎ 令，即，则.‎ ‎①当时， .（或令，则 在上递增，∴，∴在上递增，∴.‎ ‎∴）.‎ ‎∴在区间上单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴恒成立.‎ ‎②当时，令，则，‎ 当时， ，函数单调递增.‎ 又， ，‎ ‎∴存在，使得，故当时， ，即，故函数在上单调递减；当时， ，即，故函数在上单调递增，‎ ‎∴，‎ 即， 不恒成立，‎ 综上所述， 的取值范围是.‎ ‎6.已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间；‎ ‎(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.‎ ‎【答案】(1) 当时，的单调递增区间为，无减区间，‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为;(2)2.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)首先对函数求导，然后对参数分类讨论可得当时，的单调递增区间为，无减区间，‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为;‎ ‎(2)将原问题转化为在上恒成立，考查函数的性质可得整数的最小值是2.‎ ‎ ‎ ‎(2)解法一：由得，‎ ‎∵，‎ ‎∴原命题等价于在上恒成立，‎ 令，‎ 则，‎ 令，则在上单调递增，‎ 由，，‎ ‎∴存在唯一，使，.‎ ‎∴当时，，为增函数，‎ 当时，，为减函数，‎ ‎∴时，，‎ ‎∴，‎ 又，则，‎ 由，所以.‎ 故整数的最小值为2.‎ 解法二：得，‎ ‎，‎ 令，‎ ‎，‎ ‎①时，，在上单调递减，‎ ‎∵，∴该情况不成立.‎ ‎②时，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增，‎ ‎∴，‎ 恒成立，‎ 即.‎ 令，显然为单调递减函数.‎ 由，且，，‎ ‎∴当时，恒有成立，‎ 故整数的最小值为2.‎ 综合①②可得，整数的最小值为2.‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识 点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎7.设函数）.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）设，若对任意的，存在使得成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) 或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）本问考查导数几何意义，当时， ，则，又，所以可以求出切线方程；（2）本问考查“任意”和“存在”问题，主要是将问题等价转化，“对任意的，存在使得成立”等价于“在区间上， 的最大值大于或等于的最大值”，根据二次函数易求在上的最大值，求在上最大值时，需要分区间对的根进行讨论，通过单调性求出在上最大值，进而解不等式求的取值范围.‎ ‎①当，即时， 在上恒成立， 在上为单调递增函数， 的最大值大为，由，得；‎ ‎②当，即时，当时， 为单调递减函数，当时， 为单调递增函数，所以的最大值大为或.由，得；由，得，又因为，所以；‎ ‎③当，即时， 在上恒成立， 在上为单调递减函数，所以的最大值大为，由，得，又因为，所以，‎ 综上所述，实数的取值范围是或.‎ 考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的最值；3.“任意”、“存在”类问题.‎ 方法点睛：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容是考查的重点.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是 “任意”和“存在”问题的等价转化，可以简化解题过程.本题“对任意的，存在使得成立”等价于“在区间上， 的最大值大于或等于的最大值”.‎ ‎8．已知函数 为常数， .‎ ‎（1）当 在 处取得极值时，若关于的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.‎ ‎（2）若对任意的 ，总存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）的取值范围是 ‎（2）‎ 因为，所以，即 所以在上单调递增，所以 问题等价于对任意，不等式成立 设，‎ 则 当时，，所以在区间上单调递减，此时 所以不可能使恒成立，故必有，因为 若，可知在区间上单调递增，在此区间上有满足要求 若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相矛盾，所以实数的取值范围是.‎ 点睛：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题.在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会.‎ ‎9.已知．‎ ‎（I）若曲线在点处的切线方程为，求的值；‎ ‎（II）若恒成立，求的最大值．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（I）求出导数，由题意有，代入可得；‎ ‎（II）不等式，即恒成立，这样只要求得的最大值，解不等式即得．对，当时，函数递减，在定义域内有（可只取一个值检验），不合题意，当时， ，由导数可得最大值为，得，变形为， ，因此只要设，再由导数求出的最小值即得． ‎ 试题解析：‎ ‎（I），依题意，‎ 有，‎ 解得， ‎（II）设，则，依题意恒成立，‎ ‎①时， 定义域，‎ 取使得，得，‎ 则 与矛盾，‎ 不符合要求，‎ ‎②时， ，‎ 当时， ；当时， ，‎ 在区间上为增函数，在区间上为减函数，‎ 在其定义域上有最大值，最大值为，‎ 由，得，‎ ，‎ 设，则，‎ 时， 时， ，‎ 在区间上为增函数，在区间上为减函数，‎ 的最大值为，‎ 当时， 取最大值为，‎ 综合①，②得， 最大值为．‎ ‎10.已知函数 (为常数， 为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）当时，讨论函数在区间上极值点的个数；‎ ‎（Ⅱ）当， 时，对任意的都有成立，求正实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）第一步求函数的导数，第二步再设，并且求 以及时， ，分析函数的单调性，得到函数的取值范围，并且根据 ，讨论和函数的极值以及端点值的大小关系，得到函数的极值点的个数；（Ⅱ）不等式等价于 ，求的最大值小于的最小值，即求得的取得范围.‎ 试题解析：（Ⅰ） 时， ，记，‎ 则， ， ‎ 当时， ， 时， ，‎ 所以当时， 取得极小值，又， ，‎ ，所以 ‎（ⅳ）当即时， ，函数在区间上 无极值点； ‎ ‎（Ⅱ）当时，对任意的都有，‎ 即，即 ‎ 记， ，‎ 由，当时， 时， ，‎ 所以当时， 取得最大值， ‎ 又，当时， 时， ，‎ 所以当时， 取得最小值， ‎ 所以只需要 ，即正实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了零点存在性定理和利用导数研究函数的单调性和极值以及最值的综合性问题，第一问导函数零点问题，参变分离后转化为的交点个数，即利用导数分析函数的单调性和极值，最值，讨论与函数的极值和最值的大小关系，得到零点个数，第二问，同样需根据条件变化函数，近几年高考在导数命题上难度较大，命题方向也较多，常常要构造函数，思维巧妙，有选拔优秀学生的功能.‎ ‎ ‎