河北省大名县第一中学2019届高三（美术班）下学期第二次（5月）月考数学（理）试题

河北省大名县第一中学2019届高三（美术班）下学期第二次（5月）月考数学（理）试题

高三美术班第二次月考理数试卷 出题人： ‎ 一、单选题（本题共12小题，每小题5分，，共60分）‎ ‎1．已知集合，，则等于（ ）‎ A．{1,3} B．{1,2,3} C．{3} D．{1}‎ ‎2．若复数z满足(3-4i)z=，则z的虚部为（ ）‎ A．-4 B． C．4 D．‎ ‎3．在等差数列中，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若变量x，y满足约束条件，则x-2y的最大值是（ ）‎ A．-1 B．0 C．3 D．4‎ ‎6．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为（ ）‎ A．63 B．252 C．420 D．1260‎ ‎7．在学校举行的一次年级排球比赛中，李明、张华、王强三位同学分别对比赛结果的前三名进行预测：‎ 李明预测：甲队第一，乙队第三.张华预测：甲队第三，丙队第一.王强预测：丙队第二，乙队第三.如果三人的预测都对了一半.则名次为第一、第二、第三的依次是（ ）‎ A．丙、甲、乙 B．甲、丙、乙 C．丙、乙、甲 D．乙、丙、甲 ‎8．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎9．已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若存在点P满足，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．5‎ ‎10．在三棱锥中..，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D．‎ ‎11．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（　　） A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数 ，则的零点个数为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．的展开式中第四项的二项系数为______．（用数字作答）‎ ‎14．设向量的模分别为1,2，它们的夹角为，则向量与的夹角为____．‎ ‎15．若数列满足 ，则________.‎ ‎16．在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若，‎ ‎，则b+2c的最大值等于______．‎ 三、解答题（17——21题，每题12分，22题或23题任选一题，每题10分）‎ ‎17．已知数列{an}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝3a2．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记，设{bn}的前n项和为Sn．求最小的正整数n，使得Sn＞．‎ ‎18．某大型工厂有6台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为.已知1名工人每月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损2万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资.‎ ‎（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人），则称工厂能正常运行.若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；‎ ‎（2）已知该厂现有2名维修工人.‎ ‎（ⅰ）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；‎ ‎（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？‎ ‎19．如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面PAB平面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PAD平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）M为直线PC的中点，且AP=AD=2，求二面角A-MD-B的正弦值．‎ ‎20．已知椭圆C：的两个焦点分别为，点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过点M(1,0)的直线与椭圆C相交于A、B两点，设点N(3，2)，记直线AN、BN的斜率分别为k1、k2,求证：k1+k2为定值．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若，且是函数f(x)的两个极值点，求的最小值.‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程及曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线C交于A,B两点，P(-1,2)，求.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎(1)当a=1,b=2时，解关于x的不等式f(x)>2；‎ ‎(2)若函数f(x)的最大值是3，求的最小值.‎ 美术班理科数学答案 ‎1.【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定集合B，然后进行交集运算即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，则等于.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2.【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 整理得：，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以 所以的虚部为：‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的模及复数的除法运算，还考查了复数的有关概念，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎3.【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的前项和公式直接求解即可．‎ ‎【详解】‎ 在等差数列中，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的前项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎4.【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积．‎ ‎【详解】‎ 几何体的三视图的直观图如图所示，‎ 则该几何体的体积为：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．‎ ‎5.【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的区域，由目标函数的几何意义求出z＝x﹣2y的最大值．‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组表示的平面区域，如图所示：‎ 由z＝x﹣2y可得yxz，则表示直线yxz在y轴上的截距，‎ 且截距越小，z越大，‎ 结合图象可知，当z＝x﹣2y经过点A时，z最大，‎ 由可得A（2，﹣1），此时z＝4．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划，是线性规划中求最值的常规题型．其步骤是作图，找点，求最值．‎ ‎6.【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先从后排的7人中选出2人，有种结果，再把两人在5个位置中选出2个位置进行排列，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 首先从后排的7人中选出2人，有种结果，再把两人在5个位置中选出2个位置进行排列有种不同的排法，所以不同的调整方法共有种，故选C.‎ ‎7.【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据他们几个都只猜对了一半，假设李明说的前半句“甲队第一”是正确的，那么张华预测的“甲队第三”和“丙队第一”就都是错误的，这与每人只说对了一半相矛盾，得到张华说的后半句“乙队第三”就是正确的；再由此推理其它两人的说法，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 假设李明说的前半句“甲队第一”是正确的，‎ 那么张华预测的“甲队第三”和“丙队第一”就都是错误的，这与每人只说对了一半相矛盾，那么张华说的后半句“乙队第三”就是正确的；‎ 由于乙队第三，那么张华说的前半句“甲队第三”就是错的，那么后半句“丙队第一”就是正确的，‎ 由此可以得到，丙队第一，甲队第二，乙队第三，‎ 由此可以得到王强说的前半句“丙队第二”是错的，后半句“乙队第三”是正确的，‎ 所以名次为第一、第二、第三的依次是丙、甲、乙，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关推理的问题，属于简单题目.‎ ‎8.【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：模拟程序的运行，可得 ‎ S=12，k=0 ‎ 执行循环体，k=2，S=10 ‎ 不满足条件S≤0，执行循环体，k=4，S=6 ‎ 不满足条件S≤0，执行循环体，k=6，S=0 ‎ 满足条件S≤0，退出循环，输出k的值为6． ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎9.【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.‎ ‎【详解】‎ ‎.选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c的关系式.‎ ‎10.【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理求出，利用正弦定理求得的外接圆的半径，根据题中的条件，可知三棱锥的顶点P在底面上的射影为的外心D，从而可知其外接球的球心在线段PD上，设其半径为，利用勾股定理可求得该三棱锥的外接球的半径，从而求得其表面积.‎ ‎【详解】‎ 因为，由余弦定理可求得，‎ 再由正弦定理可求得的外接圆的半径，‎ 因为，‎ 所以P在底面上的射影为的外心D，且，‎ 设其外接球的半径为，‎ 则有，解得，‎ 所以其表面积为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关三棱锥的外接球的表面积的问题，涉及到的知识点有三棱锥的外接球的球心的位置的确定方法，球的表面积公式，属于简单题目.‎ ‎11.【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程 ‎【详解】‎ 函数，若为奇函数， ‎ 可得，所以函数，可得，； ‎ 曲线在点处的切线的斜率为：5， ‎ 则曲线在点处的切线方程为：．即． ‎ 故选：A．‎ ‎12.【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，函数的零点个数，即方程的实数根个数，设，则，作出的图象，结合图象可知，方程有三个实根，进而可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数的零点个数，即方程的实数根个数，‎ 设，则，作出的图象，‎ 如图所示，结合图象可知，方程有三个实根，，，‎ 则 有一个解，有一个解，有三个解，‎ 故方程有5个解.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.‎ ‎13.【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式系数的定义进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：第四项的二项式系数为, ‎ 故答案为：10．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的应用，结合二项式系数的定义是解决本题的关键．比较基础．注意要区分二项式系数和项的系数的区别．‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量夹角公式cosθ，先求出的模以及与的数量积，再代入公式计算求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵（）22﹣2•2＝12﹣2×1×2×cos60°+22＝3，‎ ‎∴||，‎ ‎（）•＝3，‎ ‎∴cosθ，‎ ‎∴θ＝‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了向量夹角的计算，涉及到向量数量积的计算，模的计算知识比较基础，掌握基本的公式和技巧即可顺利求解 ‎15.【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出=8，再求出，（n≥2），与已知等式作差，即得.‎ ‎【详解】‎ 当n=1时，=8.‎ 因为，‎ 所以，（n≥2）‎ 两式相减得8=，‎ 所以（n≥2），适合n=1.‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎16.【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据正弦定理化为边的关系，再根据余弦定理得A，最后根据正弦定理以及三角形内角关系化基本三角函数，根据正弦函数性质得最大值.‎ ‎【详解】‎ 原等式可化为，整理，得，‎ 故.因为 ，‎ 其中为锐角，.∵，故当时，取得最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理、余弦定理、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎17.【答案】（1）an＝2n－1；（2）n＝1010‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列的通项公式，对两个等式进行化简，组成方程组，求得等差数数列的首项及公差；‎ ‎（2）根据（1）写出的通项公式，用裂项相消法，求出的前和，然后解不等式，求出最小的正整数.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设等差数列{an}的公差为d，依题意有 ‎，‎ 从而的通项公式为.‎ ‎(2)因为,‎ 所以Sn＝，‎ 令，解得n>1009，n∈N*，故取n＝1010.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式以及裂项相消法求数列前项和。‎ ‎18.【答案】（1）；（2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）是.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由该工厂只有1名维修工人，所以要使工厂能正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障．利用二项分布计算公式即可得出． （2）X的可能取值为34，46，58．利用二项分布列的计算公式即可得出概率分布列．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为该厂只有1名维修工人，‎ 所以要使工厂正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障， ‎ 故该工厂能正常运行的概率为. ‎ ‎（2）（ⅰ）的可能取值为34，46，58，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则的分布列为 故.‎ ‎（ⅱ）若该厂有3名维修工人，则该厂获利的数学期望为万元.‎ 因为，所以该厂应再招聘1名维修工人.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎19.【答案】（Ⅰ）见解析；‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由为矩形，得，再由面面垂直的性质可得平面，则，结合，由线面垂直的判定可得平面，进一步得到平面平面； ‎ ‎（Ⅱ）取中点O，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值，再由平方关系求得二面角的正弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）证明：为矩形，，‎ 平面平面，平面平面，‎ 平面，则，‎ 又，，‎ 平面，而平面，‎ 平面平面；‎ ‎（Ⅱ）取中点O，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，‎ 由，是以为直角的等腰直角三角形，‎ 得：，‎ ‎．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，取，得；‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，取，得.‎ ‎．‎ ‎∴二面角的正弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．‎ ‎20.【答案】(1) (2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据几何条件得即可，（2）先考虑斜率不存在时特殊情况，再考虑斜率存在情况，设直线方程以及交点坐标，化简，联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理代入化简即得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)依题意， 由已知得,解得 所以椭圆的方程为 ‎（2）①当直线的斜率不存在时，由解得 设 ‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为 代入化简整理得 依题意，直线与椭圆必相交于两点，设则 ‎ ‎ 又 故 ‎=‎ ‎=‎ ‎=为定值. ‎ 综上，为定值2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎21.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出函数的导函数，对a分类讨论，解不等式即可得到结果；‎ ‎（Ⅱ） ，构造新函数，研究函数的单调性，极值与最值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ），，，‎ 令，，‎ ‎①当，即时，恒成立，∴，‎ ‎∴在上单调递增；‎ ‎②当，即或时，‎ 有两个实数根，，‎ 若，则，∴，‎ ‎∴当时，，；当时，，，‎ ‎∴在上单调递减；在上单调递增，‎ 若，则，∴，‎ 当或时，，；‎ 当时，，，‎ ‎∴在，上单调递增；在上单调递减；‎ ‎（Ⅱ） ，‎ 令，由，，得，，∴，‎ ‎∴ 或（舍去），‎ ‎∴ ，‎ 令，，，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∴，且当时，，也取得最小值，‎ ‎∴ .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎22.【答案】（1）,；（2）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由直线l的参数方程能求出l的普通方程. 由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．‎ ‎(2) 将,代人，得，利用韦达定理能求出|PA|•|PB|的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线的普通方程为.‎ 由，得， ‎ 则，故曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将,代人，得， ‎ 则，‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的普通方程和曲线的直线坐标方程的求法，考查两段积的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力.‎ ‎23.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）代入，的值，通过讨论的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质求出，结合基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵当，时，，‎ ‎∴的解集为；‎ ‎（Ⅱ）∵，，‎ ‎ ，‎ ‎∴，∴ ，‎ 当且仅当，即，时，等号成立.‎ 故的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎