河北省深州市长江中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学试题（解析版）

河北省深州市长江中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学试题（解析版）

河北省深州市长江中学2019-2020学年 高二下学期第一次月考试题 第I卷（选择题)‎ 一、单选题（每题5分，共60分）‎ ‎1．设是椭圆上的一动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若曲线表示椭圆，则的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D．或 ‎3．若椭圆＋＝1(m>0)的一个焦点坐标为(1，0)，则m的值为（ ）‎ A．5 B．3 C．2 D．2‎ ‎4．已知双曲线的标准方程是，其渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．双曲线：的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是 A． B． C． D．‎ ‎7．抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．下列求导结果正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．已知函数在处的切线与直线垂直，则（ ）‎ A．2 B．0 C．1 D．－1‎ ‎10．已知函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若向量，向量，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知平面α和平面β的法向量分别为，则（ ）‎ A．α⊥β B．α∥β C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．焦点在x轴上的椭圆的焦距是2，则m的值是______．‎ ‎14．双曲线的渐近线方程是____；焦点坐标____.‎ ‎15．若向量，向量，且，则_____，_____.‎ ‎16．已知函数,则函数的单调减区间为_________.‎ 三、解答题（17题10分，其他每题12分，共70分）‎ ‎17．求下列函数的导数：‎ ‎（1）；（2）.‎ ‎18．设函数（1）求的单调区间；（2）求函数在区间上的最小值．‎ ‎19．已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6．⑴求椭圆C的标准方程; ⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度．‎ ‎20．如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD．‎ Ⅰ证明：；Ⅱ求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小．‎ ‎21．长方体中，‎ ‎（1）求直线与所成角；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦.‎ ‎22．已知抛物线的准线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）直线交抛物线于、两点，求弦长.‎ 参考答案 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题)‎ 一、单选题（每题5分，共60分）‎ ‎1．设是椭圆上的一动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：设椭圆的两个焦点为，点为椭圆上的点，‎ 由椭圆的定义有：，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的定义，属基础题.‎ ‎2．若曲线表示椭圆，则的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆标准方程可得，解不等式组可得结果.‎ ‎【详解】‎ 曲线表示椭圆，‎ ‎，‎ 解得，且，‎ 的取值范围是或，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.‎ ‎3．若椭圆＋＝1(m>0)的一个焦点坐标为(1，0)，则m的值为（ ）‎ A．5 B．3 C．2 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解方程即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，所以.‎ 因为，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎4．已知双曲线的标准方程是，其渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由标准方程求出，即可求解 ‎【详解】‎ 双曲线的标准方程是，可得，，‎ 由于渐近线方程为，即为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线渐近线方程的求法，需要注意焦点是在轴还是轴上，属于基础题 ‎5．双曲线：的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线离心率定义直接计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 双曲线：，故，，，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的离心率，属于简单题.‎ ‎6．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 实轴长、虚轴长、焦距成等差数列可得，再结合可求得离心率.‎ ‎【详解】‎ 因为实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，故，‎ 所以，又，故，‎ 整理得到，故，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的离心率，注意根据题设条件构建的方程，本题属于基础题.‎ ‎7．抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴2p=1，∴，∴抛物线的焦点坐标为，故选C 考点：本题考查了抛物线焦点坐标的求法 点评：熟练掌握常见标准抛物线的性质是解决此类问题的关键，属基础题 ‎8．下列求导结果正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照基本初等函数的求导法则，求出、、、选项中正确的结果即可．‎ ‎【详解】‎ 对于A，，故A错误；‎ 对于B，，故B错误；‎ 对于C，，故C错误；‎ 对于D，，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本初等函数求导问题，解题时应按照基本初等函数的求导法则进行计算，求出正确的导数即可．‎ ‎9．已知函数在处的切线与直线垂直，则（ ）‎ A．2 B．0 C．1 D．－1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据切线方程和直线垂直的结论即可.‎ 详解：由题可知：函数在处的切线的斜率为，直线的斜率为-1，故=-1得1，故选C.‎ 点睛：考查切线的斜率求法和直线垂直时的斜率关系的结论，属于基础题.‎ ‎10．已知函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出导函数，再计算导数值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的运算，掌握基本初等函数的导数公式和导数运算法则是解题基础．‎ ‎11．若向量，向量，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，则，代入运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解:因为向量，向量，‎ 则,‎ 则,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量减法的坐标运算，属基础题.‎ ‎12．已知平面α和平面β的法向量分别为，则（ ）‎ A．α⊥β B．α∥β C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的数量积运算结果，即可判断.‎ ‎【详解】‎ 因为 故可得，‎ 则平面α和平面β垂直.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面的法向量垂直，与平面垂直之间的等价关系.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．焦点在x轴上的椭圆的焦距是2，则m的值是______．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知：，根据椭圆的性质可知：，即可求得m的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，，即，‎ 由椭圆的性质可知：，‎ 即，‎ 故答案为:5.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14．双曲线的渐近线方程是____；焦点坐标____.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据双曲线的简单性质即可求出．‎ ‎【详解】‎ 解：在双曲线1中，a2＝2，b2＝1，‎ 则c2＝a2+b2＝3，‎ 则a，b＝1，c，‎ 故双曲线1的渐近线方程是y＝±x，焦点坐标（，0），‎ 故答案为：y＝±x，（，0）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．‎ ‎15．若向量，向量，且，则_____，_____.‎ ‎【答案】1 -2 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，再求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由向量，向量，且，‎ 则，‎ 解得：，‎ 故答案为：1，-2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间向量共线的坐标运算，属基础题.‎ ‎16．已知函数,则函数的单调减区间为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导求导，解即可.‎ ‎【详解】‎ 求导，令 得到 ‎∴函数的单调减区间为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求三次函数的单调区间，属于基础题.‎ 三、解答题（17题10分，其他每题12分，共70分）‎ ‎17．求下列函数的导数：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据导数的加法法则，以及基础函数的导数，可得结果.‎ ‎（2）根据导数的除法法则，以及基础函数的导数，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）.‎ ‎（2）.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的运算，属基础题.‎ ‎18．设函数 ‎（1）求的单调区间；‎ ‎ （2）求函数在区间上的最小值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用导数求函数的单调区间.(2)利用导数先求函数的单调区间，即得函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）定义域为，，由得，‎ ‎∴的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ ‎（2）‎ ‎，由得，‎ ‎∴在上单调递减，在（1，2）上单调递增，‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查利用导数求函数单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）用导数求函数的单调区间：求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求,得函数的单调递增（减）区间.‎ ‎19．‎ 已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6．‎ ‎⑴求椭圆C的标准方程; ⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由焦点坐标可求c值，a值，然后可求出b的值．进而求出椭圆C的标准方程．‎ ‎（2）先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度．‎ ‎【详解】‎ 解：⑴由，长轴长为6‎ 得：所以 ‎∴椭圆方程为 ‎⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,‎ ‎∵直线AB的方程为②‎ 把②代入①得化简并整理得 所以 又 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的方程和性质，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎20．如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD．‎ Ⅰ证明：；‎ Ⅱ求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由余弦定理得 ，从而BD⊥AD，由PD⊥底面ABCD，得BD⊥PD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明PA⊥BD．‎ ‎（Ⅱ）以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能法出平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小．‎ ‎【详解】‎ 证明：Ⅰ因为，，‎ 由余弦定理得，从而，故BD，‎ 又底面ABCD，可得，所以平面故 Ⅱ如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，‎ 射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，0，，‎ ‎，，0，，‎ 平面PAD的一个法向量为1，，设平面PBC的法向量为y，，‎ 则，取，得1，，‎ ‎，故平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为 ‎【点睛】‎ 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎21．长方体中，‎ ‎（1）求直线与所成角；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦.‎ ‎【答案】（1）直线所成角为90°；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求出直线AD1与B1D的方向向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AD1与B1D所成角；‎ ‎（2）求出平面B1BDD1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦．‎ 解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），D1（1，0，1），B1（0，2，1），D（1，0，0）．‎ ‎∴，‎ ‎∴cos==0，‎ ‎∴=90°，‎ ‎∴直线AD1与B1D所成角为90°；‎ ‎（2）设平面B1BDD1的法向量=（x，y，z），则 ‎∵，=（﹣1，2，0），‎ ‎∴，‎ ‎∴可取=（2，1，0），‎ ‎∴直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦为=．‎ 考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．‎ ‎22．已知抛物线的准线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）直线交抛物线于、两点，求弦长.‎ ‎【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）依已知得，所以；（Ⅱ）设，，由消去，得,再利用韦达定理求弦长.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）依已知得，所以；‎ ‎（Ⅱ）设，，由消去，得，‎ 则，，‎ 所以 ‎ ‎ .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的简单几何性质和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力.‎