2017-2018学年新疆生产建设兵团二中高二上学期期中数学试题（解析版）

2017-2018学年新疆生产建设兵团二中高二上学期期中数学试题（解析版）

2017-2018 学年新疆生产建设兵团二中高二（上）期中数学试卷 　 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）已知命题 p：∀x∈R，sinx≤1，则（　　） A．￢p：∃x0∈R，sinx0≥1 B．￢p：∀x∈R，sinx≥1 C．￢p：∃x0∈R，sinx0＞1 D．￢p：∀x∈R，sinx＞1 2．（5 分）下列有关命题的说法错误的是（　　） A．“x=2”是“x2=4”的充分不必要条件 B．命题“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“ ” C．“am2＜bm2”是“a＜b”的充分不必要条件 D．若 p∧q 为假命题，则 p，q 均为假命题 3．（5 分）渐近线是 2x﹣ y=0 和 2x+ y=0 且过点（6，6），则双曲线的标准方 程是（　　） A． =1 B． =1 C． =1 D． =1 4．（5 分）若 k∈R，则“k＞3”是“方程 ﹣ =1 表示双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（5 分）椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值 为（　　） A． B． C．2 D．4 6．（5 分）若椭圆 + =1（a＞b＞0）的离心率 e= ，则双曲线 ﹣ =1 的离心率为（　　） A． B． C． D． 7．（5 分）探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处， 已知灯口的直径为 60cm，灯深 40cm，则抛物线的标准方程可能是（　　） A．y2= B．y2= C．x2= yD．x2= y 8．（5 分）如图，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点， MF 的垂直平分线 CD 交 OM 于 P，则点 P 的轨迹是（　　） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 9．（5 分）方程 lg（x2+y2﹣1）=0 所表示的曲线图形是（　　） A． B． C ． D． 10．（5 分）已知点 F1、F2 分别是椭圆 的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A、B 两点，若△ABF2 是锐角三角形，则该椭圆 的离心率 e 的取值范围是（　　） A．（0， ﹣1） B．（ ﹣1，1） C．（0， ﹣1） D．（ ﹣l，1） 11．（5 分）已知 AB=3，A、B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，O 为坐标原点， = + ，则动点 P 的轨迹方程是（　　） A． +y2=1 B．x2+ =1C． +y2=1D．x2+ =1 12．（5 分）已知 F1，F2 是双曲线 的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右 2 个分支分别交于点 B，A，若双曲线的离心率为 ， |AB|=|AF2|，则直线 l 的斜率为（　　） A． B． C． D． 　 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．（5 分）已知双曲线 x 2﹣ =1（b＞0）的一条渐近线的方程为 y=2x，则 b=　 　． 14 ．（ 5 分 ） 若 圆 锥 曲 线 + =1 的 焦 距 与 k 无 关 ， 则 它 的 焦 点 坐 标 是　 　． 15．（5 分）已知命题 p：“ 恒成立”；命题 q： “mx2﹣x+m﹣4=0 有一正根和一负根”．若 p∨q 为真，￢p 为真，求 m 的取值范 围　 　． 16．（5 分）椭圆 的左，右焦点分别为 F1，F2，弦 AB 过 F1，若△ABF2 的内切圆的周长为 π，A，B 两点的坐标分别为（x 1 ，y 1 ），（x 2 ，y 2 ），则 |y2﹣y1|=　 　． 　 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 17．（10 分）已知抛物线顶点在坐标原点，并且经过点 ，求它的标准 方程． 18．（12 分）设命题 p：实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2＜0，其中 a＞0，命题 q：实数 x 满足 （1）若 a=1，且 p∧q 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 19．（12 分）在△ABC 中，BC=24，若 AC，AB 边上的两条中线长度之和为 39， 建立适当的直角坐标系，求△ABC 的重心 G 的轨迹方程． 20．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 ，与双 曲线 共焦点，并且经过点 ． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过定点 M （0，2）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A，B，且∠AOB 为 直角（其中 O 为坐标原点），求直线 l 的方程． 21．（12 分）双曲线 =1（a＞b＞0）的右焦点为 F（c，0） （1）若双曲线的一条渐近线方程为 y=x 且 c=2，求双曲线的方程； （2）以原点 O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 A， 过 A 作圆的切线，斜率为 ，求双曲线的离心率． 22 ．（ 12 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 椭 圆 C ： ，且椭圆 C 上一点 N 到点 Q（0，3）的距离 最大值为 4． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 M（3，0）的直线交椭圆 C 于点 A、B．设 P 为椭圆上一点，且满足 （O 为坐标原点），当|AB|＜ 时，求实数 t 的取值范围． 　 2017-2018 学年新疆生产建设兵团二中高二（上）期中数 学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）已知命题 p：∀x∈R，sinx≤1，则（　　） A．￢p：∃x0∈R，sinx0≥1 B．￢p：∀x∈R，sinx≥1 C．￢p：∃x0∈R，sinx0＞1 D．￢p：∀x∈R，sinx＞1 【分析】利用“￢p”即可得出． 【解答】解：∵命题 p：∀x∈R，sinx≤1，∴￢p：∃x0∈R，sinx0＞1． 故选：C． 【点评】本题考查了“非命题”的意义，考查了推理能力，属于基础题． 　 2．（5 分）下列有关命题的说法错误的是（　　） A．“x=2”是“x2=4”的充分不必要条件 B．命题“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“ ” C．“am2＜bm2”是“a＜b”的充分不必要条件 D．若 p∧q 为假命题，则 p，q 均为假命题 【分析】A，由方程 x2=4 的解可判断选项 A 的正误； B，由全称命题的否定形式可判断选项 B 的正误； C，由不等式的性质可判断选项 C 的正误； D，由复合命题的真假表可判断选项 C 的正误． 【解答】解：对于 A，x=2⇒x2=4，但 x2=4 时 x=2 或 x=﹣2，所以 A 正确． 对于 B，命题“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0”，所以 B 正确； 对于 C，am2＜bm2⇒a＜b，但 a＜b 时 am2＜bm2 不一定成立（如 m=0），所以 C 正确； 对于 D，p∧q 为假命题，则 p，q 中至少一个是假命题，所以 D 错误； 故选：D． 【点评】本题考查充分、必要条件的含义，同时考查全称命题的否定及复合命题 的真假等．属于中档题． 　 3．（5 分）渐近线是 2x﹣ y=0 和 2x+ y=0 且过点（6，6），则双曲线的标准方 程是（　　） A． =1 B． =1 C． =1 D． =1 【分析】根据双曲线的方程与双曲线的渐近线的方程的关系，设出双曲线方程， 将已知的点代入，求出双曲线的方程． 【解答】解：∵渐近线是 设双曲线方程为 即 4x2﹣3y2=λ 将（6，6）代入得 4×36﹣3×36=λ ∴λ=36 ∴双曲线的标准方程是 故选 C 【点评】求圆锥曲线的方程一般利用待定系数方法，已知渐近线的方程为 ax± by=0 则双曲线的方程为（ax+by）（ax﹣by）=λ（λ≠0） 　 4．（5 分）若 k∈R，则“k＞3”是“方程 ﹣ =1 表示双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线 k﹣3 和 k+3 同号，进而求 得 k 的范围即可判断是什么条件． 【解答】解：依题意：“方程 ﹣ =1 表示双曲线” 可知（k﹣3）（k+3）＞0，求得 k＞3 或 k＜﹣3， 则“k＞3”是“方程 ﹣ =1 表示双曲线”的充分不必要条件． 故选 A． 【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．解题时要注意讨论焦点在 x 轴和 y 轴两种情况． 　 5．（5 分）椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值 为（　　） A． B． C．2 D．4 【分析】根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍， 解方程求出 m 的值． 【解答】解：椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴ ， 故选 A． 【点评】本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求参数 m 的值． 　 6．（5 分）若椭圆 + =1（a＞b＞0）的离心率 e= ，则双曲线 ﹣ =1 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用 a 与 b 表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出 ， 接着利用 a，b 表示出双曲线的离心率 ，即可求出双曲线的离心 率． 【解答】解：由题意得椭圆 + =1（a＞b＞0）的离心率 e= ， 所以 = ． 所以 ． 所以双曲线的离心率 = ． 故选 B． 【点评】解决此类问题的关键是熟悉椭圆与双曲线中的相关数值的关系，区分椭 圆的离心率与双曲线的离心率的表达形式有何不同，离心率一直是高考考查的重 点． 　 7．（5 分）探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处， 已知灯口的直径为 60cm，灯深 40cm，则抛物线的标准方程可能是（　　） A．y2= B．y2= C．x2= yD．x2= y 【分析】设抛物线方程为 y2=﹣2px，（p＞0），依题意点（﹣40，30）在抛物线上， 将该点坐标代入抛物线方程可得 p 的值，将 p 的值代入抛物线方程即可得答 案． 【解答】解：根据题意，假设抛物线开口向左，设其方程为 y2=﹣2px，（p＞0）， 若灯口的直径为 60cm，灯深 40cm， 则点（﹣40，30）在抛物线上，代入抛物线方程得 302=80p， 解可得 p= ， 则抛物线的方程可能为 x2=﹣ y， 故选：C． 【点评】本题考查抛物线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物 线性质的合理运用． 　 8．（5 分）如图，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点， MF 的垂直平分线 CD 交 OM 于 P，则点 P 的轨迹是（　　） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【分析】根据垂直平分线的性质可得|PM|=|PF|，可得|PO|+|PF|=|OM|＞ |OF|，故点 P 的轨迹是以点 O 和点 F 为焦点的椭圆． 【解答】解：根据垂直平分线的性质可得|PM|=|PF|，∴|PO|+|PF|=|OM|＞|OF|， 即点 P 到点 O 和点 F 的距离之和等于圆的半径|OM|，且|OM|＞|OF|， 根据椭圆的定义可得点 P 的轨迹是以点 O 和点 F 为焦点的椭圆， 故选 A． 【点评】本题考查椭圆的定义、线段的垂直平分线的性质，得到|PO|+|PF|=半 径|OM|＞|OF|，是解题的关键． 　 9．（5 分）方程 lg（x2+y2﹣1）=0 所表示的曲线图形是（　　） A． B． C ． D． 【分析】方程 x=1（y≠0），或 x2+y2=2（x≥1），由此得到方程表示的曲线． 【解答】解：方程 即：x=1（y≠0），或 x2+y2=2（x≥1）， 表示一条直线 x=1（去掉点（1，0））以及圆 x2+y2=2 位于直线 x=1 右侧的部分， 故选 D． 【点评】本题主要考查函数的图象，方程的曲线，属于基础题． 　 10．（5 分）已知点 F1、F2 分别是椭圆 的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A、B 两点，若△ABF2 是锐角三角形，则该椭圆 的离心率 e 的取值范围是（　　） A．（0， ﹣1） B．（ ﹣1，1） C．（0， ﹣1） D．（ ﹣l，1） 【分析】由题设知 F1（﹣c，0），F2（c，0），A（﹣c， ），B（﹣c，﹣ ）， 由△ABF2 是锐角三角形，知 tan∠AF2F1＜1，所以 ，由此能求出椭圆的离 心率 e 的取值范围． 【解答】解：∵点 F1、F2 分别是椭圆 的左、右焦点， 过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A、B 两点， ∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（﹣c， ），B（﹣c，﹣ ）， ∵△ABF2 是锐角三角形， ∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1， ∴ ， 整理，得 b2＜2ac， ∴a2﹣c2＜2ac， 两边同时除以 a2，并整理，得 e2+2e﹣1＞0， 解得 e＞ ，或 e＜﹣ ，（舍）， ∴0＜e＜1， ∴椭圆的离心率 e 的取值范围是（ ）． 故选 B． 【点评】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解 答，注意合理地进行等价转化． 　 11．（5 分）已知 AB=3，A、B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，O 为坐标原点， = + ，则动点 P 的轨迹方程是（　　） A． +y2=1 B．x2+ =1C． +y2=1D．x2+ =1 【分析】设 A（a，0），B（O，b），P（x，y）．由|AB|=3，可得 a2+b2=9．由于 = + ，可得 ．消去 a，b 即可得出． 【解答】解：设 A（a，0），B（O，b），P（x，y）． ∵|AB|=3，∴ =3，化为 a2+b2=9． ∵ = + ， ∴（x，y）= = ． ∴ ． ∴ ， 化为 =1． ∴动点 P 的轨迹方程是 =1． 故选：A． 【点评】本题考查了向量的线性运算、向量相等、两点之间的距离公式，考查了 推理能力和计算能力，属于中档题． 　 12．（5 分）已知 F1，F2 是双曲线 的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右 2 个分支分别交于点 B，A，若双曲线的离心率为 ， |AB|=|AF2|，则直线 l 的斜率为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意画出图形，利用定义结合|AB|=|AF2|求得|BF1|=2a，|BF2|=4a， 在△BF1F2 中，由余弦定理即可求得∠BF1F2 的余弦值，进一步求得直线 l 的斜 率． 【解答】解：如图， 由 e= ，得 c2=7a2， 由双曲线定义可得：|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a， 又|AB|=|AF2|， ∴|BF1|=2a，|BF2|=4a， 在△BF1F2 中，由余弦定理可得： •cos∠BF1F2， ∴16a2=4a2+4c2﹣2×2a×2c×cos∠BF1F2， 得 cos∠BF1F2= ． ∴sin∠BF1F2= ， 则 tan = ． 即直线 l 的斜率为 ． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义及余弦定理的应用，是中 档题． 　 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．（5 分）已知双曲线 x2﹣ =1（b＞0）的一条渐近线的方程为 y=2x，则 b=　 2　． 【分析】利用双曲线的标准方程写出其渐近线方程是解决本题的关键，根据已知 给出的一条渐近线方程对比求出 b 的值． 【解答】解：该双曲线的渐近线方程为 ，即 y=±bx，由题意该双曲线 的一条渐近线的方程为 y=2x，又 b＞0，可以得出 b=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查根据双曲线方程求解其渐近线方程的方法，考查学生对双曲线 标准方程和渐近线方程的认识和互相转化，考查学生的比较思想，属于基本题 型． 　 14．（5 分）若圆锥曲线 + =1 的焦距与 k 无关，则它的焦点坐标是　（0， ± ）　． 【分析】先假设圆锥曲线 + =1 是椭圆，求出它的焦点坐标；再先假设圆 锥曲线 + =1 是双曲线，求出它的焦点坐标． 【解答】解：若这是椭圆因为 k+5＞k﹣2，所以 c2=k+5﹣k+2=7，所以焦点（0， ﹣ ），（0， ），若是双曲线，k+5＞k﹣2，所以只有 k+5＞0＞k﹣2，则 ，∴c2=k+5+2﹣k=7，则也有焦点（0，﹣ ）（0， ）， 所以焦点（0，﹣ ）（0， ）， 故答案为：（0，± ） 【点评】本题考查圆锥曲线的简单性质，解题时要认真审题，注意公式的灵活运 用． 　 15．（5 分）已知命题 p：“ 恒成立”；命题 q： “mx2﹣x+m﹣4=0 有一正根和一负根”．若 p∨q 为真，￢p 为真，求 m 的取值范 围　（2，4）　． 【分析】利用基本不等式即可求出 m 的范围，讨论分 m＞0 和 m＜0，求解 m 的 范围，再结合已知条件可得 p 假，q 真，即可求出 m 的取值范围． 【解答】解：∵命题 p：“ 恒成立”； ∴ ，即 m2﹣m﹣2≤0，解得﹣1≤m≤2． ∵命题 q：“mx2﹣x+m﹣4=0 有一正根和一负根”， ∴设 f（x）=mx2﹣x+m﹣4， 若 m＞0，则满足 f（0）＜0，即 ，解得 0＜m＜4． 若 m＜0，则满足 f（0）＞0，即 ，此时无解． 综上 0＜m＜4．即 q：0＜m＜4． 又∵p∨q 为真，非 p 为真， ∴p 假，q 真，即 ，即 2＜m＜4． ∴m∈（2，4）． 故答案为：（2，4）． 【点评】本题主要考查复合命题的与简单命题的真假应用，将命题进行等价化简 是解决此类问题的关键，是中档题． 　 16．（5 分）椭圆 的左，右焦点分别为 F1，F2，弦 AB 过 F1，若△ABF2 的内切圆的周长为 π，A，B 两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y2﹣y1|=　 　． 【分析】先确定△ABF2 的内切圆的半径，进而可得△ABF2 的面积，再利用 ABF2 的面积为 |y2﹣y1|×|F1F2|，即可求得结论． 【解答】解：∵△ABF2 的内切圆的周长为 π，∴△ABF2 的内切圆的半径为 ∴△ABF2 的面积为 =5 又△ABF2 的面积为 |y2﹣y1|×|F1F2|=3|y2﹣y1| ∴3|y2﹣y1|=5 ∴|y2﹣y1|= 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的定义，考查三角形面积的计算，属于基础题． 　 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 17．（10 分）已知抛物线顶点在坐标原点，并且经过点 ，求它的标准 方程． 【分析】根据题意，分析可得抛物线开口向上或向左，分 2 种情况讨论分别求出 抛物线的方程，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，抛物线经过点 ，则抛物线开口向上或向左， 若抛物线开口向上，设其方程为 x2=2py， 又由抛物线经过点 ，则有（﹣1）2=2p× ， 解可得：p= ， 则抛物线的标准方程为 x2= y， 若抛物线开口向左，设其方程为 y2=2px， 又由抛物线经过点 ，则有（ ）2=2p×（﹣1）， 解可得：p= ， 则抛物线的标准方程为 y2=﹣3x， 综合可得：抛物线的方程为 x2= y 或 y2=﹣3x． 【点评】本题考查抛物线的标准方程的求法，关键是由点的坐标分析抛物线的开 口方向． 　 18．（12 分）设命题 p：实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2＜0，其中 a＞0，命题 q：实数 x 满足 （1）若 a=1，且 p∧q 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 【分析】（1）把 a=1 代入命题 p，可得 x 的取值范围是{x|1＜x＜3}，命题 q：分 别利用因式分解解出不等式并取交集，可得 x 范围是{x|2＜x≤3}，p∧q 为真即 p 真且 q 真； （2）¬p 是¬q 的充分不必要条件，可转化为 q 是 p 的充分不必要条件，进而转化 为两个集合间的真子集关系，列出不等式即可． 【解答】（1）当 a＞0 时，{x|x2﹣4ax+3a2＜0}={x|（x﹣3a）（x﹣a）＜0}={x|a＜ x＜3a}，如果 a=1 时，则 x 的取值范围是{x|1＜x＜3}，而{x|x 2﹣x﹣6≤0，且 x2+2x﹣8＞0}={x|2＜x≤3}， 因为 p∧q 为真，所以有{x|1＜x＜3}∩{x|2＜x≤3}={x|2＜x＜3}．故实数 x 的 取值范围是{x|2＜x＜3}． （2）若¬p 是¬q 的充分不必要条件，表明 q 是 p 的充分不必要条件．由（1）知， {x|2＜x≤3}是{x|a＜x＜3a}（a＞0）的真子集，易知 a≤2 且 3＜3a，解得{a|1＜ a≤2}． 故实数 a 的取值范围是{a|1＜a≤2}． 【点评】本题考查了二次不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题． 　 19．（12 分）在△ABC 中，BC=24，若 AC，AB 边上的两条中线长度之和为 39， 建立适当的直角坐标系，求△ABC 的重心 G 的轨迹方程． 【分析】先依据题中△ABC 中底边 BC 的确定性建立适当的坐标系，再据：“AB 和 AC 上中线的和为 39”得出 G 点轨迹以 B、C 为其两焦点的椭圆，最后依据椭圆 的标准方程写出顶点 A 的轨迹方程即可． 【解答】解：以 BC 所在直线为 x 轴，BC 边中点为原点，建立直角坐标系， 则 B（12，0），C（﹣12，0）， D 为 AC 的中点，E 为 AB 的中点，△ABC 的重心为 G， 由题意可知：|BD|+|CE|=39， 可知|GB|+|GC|= （|BD|+|CE|）=26 ∴G 点轨迹是椭圆，B、C 为其两焦点 G 点轨迹方程为 + =1，去掉（13， 0）、（﹣13，0）两点， 所求△ABC 的重心轨迹方程为： + =1，（y≠0） 【点评】轨迹方程的求解利用了直译法，对应的轨迹则需对照椭圆的定义．解题 时，一要注意正确建立坐标系；二应注意轨迹的纯粹性． 　 20．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 ，与双 曲线 共焦点，并且经过点 ． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过定点 M （0，2）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A，B，且∠AOB 为 直角（其中 O 为坐标原点），求直线 l 的方程． 【分析】（1）推导出 c2=2，从而焦点 F1（﹣ ，0），F2（ ，0），由椭圆定义 得 a=2，b=1，由此能求出椭圆的标准方程． （2）设直线 l：y=kx+2，联立 ，得（4k2+1）x2+16kx+12=0，由此利用 根的判别式、韦达定理、向量垂直，结合题设条件能求出直线 l 的方程． 【解答】解：（1）∵椭圆 ，与双曲线 共焦点， 并且经过点 ， ∴c2=2，∴焦点 F1（﹣ ，0），F2（ ，0）， 2a= + =4， 解得 a=2，b=1， ∴椭圆的标准方程 =1． （2）依题意斜率存在，设直线 l：y=kx+2， 联立 ，得（4k2+1）x2+16kx+12=0， △=（16k）2﹣4×12（4k2+1）=64k2﹣48＞0， 解得 k＜﹣ 或 k＞ ． ， ， 若∠AOB=90°，则 x1x2+y1y2=0， ∴ +2k（x1+x2）+4=0， ∴ +4=0， 解得 k=±2， ∴直线 l 的方程为：y=2x+2 或 y=﹣2x+2． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、 韦达定理、弦长公式、向量垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力， 考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 　 21．（12 分）双曲线 =1（a＞b＞0）的右焦点为 F（c，0） （1）若双曲线的一条渐近线方程为 y=x 且 c=2，求双曲线的方程； （2）以原点 O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 A， 过 A 作圆的切线，斜率为 ，求双曲线的离心率． 【分析】（1）由双曲线 =1（a＞b＞0）的双曲线的一条渐近线方程为 y=x 且 c=2，列出方程组求出 a，b，由此能求出双曲线方程． （2）设 A（m，n），则 ，从而 ，m 2+n2=c2， ，进而 ，由此能求出双曲线的离心率． 【解答】解：（1）∵双曲线 =1（a＞b＞0）的右焦点为 F（c，0） 双曲线的一条渐近线方程为 y=x 且 c=2， ∴由题意， ， ∴所求双曲线方程为 x2﹣y2=2． （2）由题意，设 A（m，n），则 ， 从而 ，m2+n2=c2，∴ ， 将 代入双曲线 ， 得： ， ∴c2（3b2﹣a2）=4a2b2，且 c2=a2+b2 ∴（a2+b2）（3b2﹣a2）=4a2b2 ∴3b4﹣2a2b2﹣a4=0， ∴ ， 从而 ． 【点评】本题考查双曲线方程、双曲线的离心率等基础知识，考查推理论证能力、 运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 　 22 ．（ 12 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 椭 圆 C ： ，且椭圆 C 上一点 N 到点 Q（0，3）的距离 最大值为 4． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 M（3，0）的直线交椭圆 C 于点 A、B．设 P 为椭圆上一点，且满足 （O 为坐标原点），当|AB|＜ 时，求实数 t 的取值范围． 【分析】（1）由离心率及 a2=b2+c2 可得关于 a，b 的方程，由此可简化椭圆方程， 设 N（x，y），则|NQ|可表示为关于 y 的函数，据此可求得其最大值为 4，解得 b，进而求得 a； （2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），AB 方程为 y=k（x﹣3），与椭圆方 程联立消掉 y 得 x 的二次方程，由△＞0，求得 k2＜ ，由韦达定理及 可用 k、t 表示出点 P 的坐标，代入椭圆方程得 36k2=t2（1+4k2）①，由弦长公式 可得 k2＞ ，则 ＜k2＜ ，由 t2= ，根据函数的性质，即可求得 t 的取值 范围． 【解答】解：（1）椭圆的离心率 e= = = ，∴a2=4b2， 则椭圆方程为 ，即 x2+4y2=4b2． 设 N（x，y），则|NQ|= = ， 当 y=﹣1 时，|NQ|有最大值为 ，即 =4， 解得 b2=1，∴a2=4， ∴椭圆方程 ； （2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），AB 方程为 y=k（x﹣3）， 由 ，整理得（1+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣4=0． 由△=242k4﹣16（9k2﹣1）（1+4k2）＞0，得 k2＜ ， x1+x2= ，x1x2= ， 可得 即有（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）， 则 x= （x1+x2）= • ，y= （y1+y2）= [k（x1+x2）﹣6k]= ， 由点 P 在椭圆上，得 + =4，化简得 36k2=t2（1+4k2） ①， 又由|AB|= •|x1﹣x2|＜ ，即（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]＜3， 将 x1+x2，x1x2 代入得（1+k2）[（ ）2﹣4× ]＜3， 化简得（8k2﹣1）（16k2+13）＞0， 则 8k2﹣1＞0，即 k2＞ ，则 ＜k2＜ ，② 由①，得 t2= =9﹣ ，联立②，可得 3＜t2＜4， 解得﹣2＜t＜﹣ 或 ＜t＜2． 则实数 t 的取值范围是（﹣2，﹣ ）∪（ ，2）． 【点评】本题考查直线方程、椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、向量的线性运 算，考查学生的运算能力、解决问题的能力，综合性较强，属于难题．