专题3-3+利用导数研究函数的单调性（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）
【考纲解读】
考 点
考纲内容
5年统计
分析预测
导数在研究函数中的应用
了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
2013·浙江文理科8，21；
2014•浙江文科21，理科22；
2017•浙江卷7，20.
1.以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；
2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现.
3.备考重点：
(1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；
(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.
【知识清单】
1．利用导数研究函数的单调性
在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.
在上为增函数．
在上为减函数．
对点练习：
【2016北京理数】设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
（2）求的单调区间.
【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.
所以，当时，，在区间上单调递减；【来.源：全,品…中&高*考*网】
当时，，在区间上单调递增.
故是在区间上的最小值，
从而.
综上可知，，，故的单调递增区间为.
【考点深度剖析】
导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值等．从题型看，往往有一道选择题或填空题，有一道解答题.其中解答题难度较大，常与不等式、方程等结合考查，综合性较强,其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性．【来.源：全,品…中&高*考*网】
【重点难点突破】
考点1 确定函数的单调性或求函数的单调区间
【1-1】【2017山西五校联考】已知函数与的图象如下图所示，则函数的递减区间为（ ）
A． B．， C． D．，
【答案】B【来.源：全,品…中&高*考*网】
【解析】,由图可知,当时,,即在单调递增；当时,,即在单调递减；当时,,即在单调递增.而和的交点为,所以,在和时,,即,故选B.
【1-2】2017·深圳模拟】已知函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x，当a<0时，讨论函数f
(x)的单调性．
【答案】当a＝－2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当－2
－a时，f′(x)>0；20(<0)在区间D上有解”；
方法二：转化为“存在区间D的一个子区间使f′(x)>0(<0)成立”.
(2)函数f(x)在区间D上递增(减).
方法一：转化为“f′(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立”问题；
方法二：转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.
【触类旁通】
【变式一】已知向量，，若函数在区间(－1,1)上存在增区间，则t的取值范围为________．
【答案】
【变式二】已知函数，（其中）.
（1）求的单调区间；
（2）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；
【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为.（2）.
【解析】
（1），，
，故.
当时，；当时，.
的单调增区间为，单调减区间为.
【易错试题常警惕】
易错典例：【2017·成都诊断】已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0).
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围.
易错分析：对于①：处理函数单调性问题时，应先求函数的定义域；
对于②：h(x)在[1，4]上单调递减，应等价于h′(x)≤0在[1，4]上恒成立，易误认为“等价于h′(x)<0在[1，4]上恒成立”.
正确解析： (1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，①
所以h′(x)＝－ax－2，由h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，
－ax－2<0有解，②【来.源：全,品…中&高*考*网】
即a>－有解.
设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可.
而G(x)＝－1，所以G(x)min＝－1.
所以a>－1.
(2)由h(x)在[1，4]上单调递减得，
温馨提醒：(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．
提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
【学科素养提升之思想方法篇】
_____化整为零，积零为整——分类讨论思想
1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．
2.分类讨论思想的常见类型
⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；
⑵问题中的条件是分类给出的；
⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.
【典例】【2017湖北襄阳四校期中联考】已知函数
当时，求的单调区间；
当时，的图象恒在的图象上方，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）当时，单调增区间是，单调减区间是；当时，单调增区间是，，单调减区间是；当时，单调增区间是，无减区间；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先求得导函数，然后分、、
讨论导函数与0之间的关系，由此求得函数的单调区间；（Ⅱ）首先结合（Ⅰ）将问题转化为对恒成立，然后令，从而通过求导函数，再构造新函数得到函数的单调性，进而求得的取值范围．
试题解析： …（1分）
当时，，时，，单调递减
时，，单调递增 …（2分）
当时，令得．
(i) 当时，，故：
时，，单调递增，
时，，单调递减，
时，，单调递增； …（4分）
(ii) 当时，， 恒成立，
在上单调递增，无减区间； …（5分）
综上，当时，的单调增区间是，单调减区间是；
当时，的单调增区间是，单调减区间是；
当时，的单调增区间是，无减区间. …（6分）
(i) 当时，恒成立，在上单调递增，
， 在上单调递增
，符合题意； …（10分）
