2018-2019学年福建省厦门市湖滨中学高二下学期期中考试数学（理） Word版
厦门市湖滨中学 2018---2019 学年第二学期期中考
高二理科数学试卷
一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的．在答题卷上相应题目的答题区域内作答．
1．若复数 z 满足 2z＋ ＝3－2i，其中 i 为虚数单位，则 z＝( )
A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i
2．设命题 p：∀x>0，2x>log2x，则¬p 为( )
A．∀x>0，2x
0，2x≤log2x
C．∃x>0，2x0，2x≥log2x
3.已知 ，若 8，则 ( )
A．1 B．－2 C．－2 或 4 D．4
4．设曲线 在点 处的切线与直线 平行，则实数 等
于（ ）
A． B． C． D．
5.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位
优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对
大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( )
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
6．若 p：
x＋5
x－3≤0，q∶x2－5x＋6＜0，则¬q 是¬p 的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于 120 分为优秀，
120 分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的 2×2 列联表．根据列联表的数据判断有多
少的把握认为“成绩与班级有关系”．（ ）
优秀 非优秀 合计
甲班 10 50 60
z
t >0 ( )
0
2 2 dt
x x−∫ t =
xxf cos1)( += ))4(,4(
ππ
f 01=+− ayx a
2
2
2
2− 2 2−
乙班 20 30 50
合计 30 80 110
K2≥k 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
参考公式与临界值表： ．
A．90% B．95% C．99% D．99.9%
8．方程(x＋y－3) y2－4x＝0 表示的曲线是( )
A．两条射线 B．抛物线和一条线段 C．抛物线和一条直线 D．抛物线和两条射线
9．已知 2＋
2
3＝2
2
3， 3＋
3
8＝3
3
8， 4＋
4
15＝4
4
15，…， 6＋
a
b＝6
a
b(a，b 均为实
数)，则推测 a，b 的值分别是( )
A．a＝6，b＝18 B．a＝6，b＝25 C．a＝6，b＝30 D．a＝6，b＝35
10．设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f ′(x)，且函数 y＝(1－x)f ′(x)的图像
如图(9)所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极
小值 f(1) 图(9）
C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2)D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
11．已知椭圆 C:
x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与
直线 bx－ay＋2ab＝0 相切，则椭圆 C 的离心率为( )
A.
6
3 B.
3
3 C.
2
3 D.
1
3
12．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a 在 x＝1 处取得极大值 10，则
a
b的值为( )
A．－
2
3 B．－2 C．－2 或－
2
3 D．2 或－
2
3
第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．在答题卷上的相应题目的答题区域内
作答．
13．已知 a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则 a2＋b2＝____________．
))()()((
)( 2
2
dbcadcba
bcadnK ++++
−=
14．函数 f(x)＝lnx－x 在区间(0，e]上的最大值为________．
15．已知整数对的序列如下：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，
(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，按规律，第 600 个整数对为________．
16．已知⊙O 的方程是 x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是 x2＋y2－8x＋10＝0.由动点 P 向⊙O 和
⊙O′所引的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程是________．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在
答题卷上相应题目的答题区域内作答．
17．（本小题满分 8 分）已知椭圆过点 M(2， 6)，且与椭圆 9x2＋5y2＝45 有相同的焦点,求椭
圆的标准方程．
18．（本小题满分 12 分）．已知函数 f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求 f(x)的单调递减区间；
(2)若 f(x)在区间 [－2,2]上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值．
19.（本小题满分 12 分）设非等腰△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c 且 A，
B，C 成等差数列，用分析法证明：
1
a－b＋
1
c－b＝
3
a－b＋c.
20．（本小题满分 14 分）新能源汽车的春天来了！2018 年 3 月 5 日上午，李克强总理做政府
工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自 2018 年 1 月 1 日至 2020
年 12 月 31 日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税．某人计划于 2018 年 5 月购买一辆某品
牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解了近五个月的实际销量如下表：
月份 2017.12 2018.01 2018.02 2018.03 2018.04
月份编号 1 2 3 4 5
销量(万辆) 0.5 0.6 1 1.4 1.7
(Ⅰ)经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量 y(万辆)与月份编号
t 之间的相关关系．请用最小二乘法求 y 关于 t 的线性回归方程 ，并预测 2018
年 5 月份当地该品牌新能源汽车的销量；
(Ⅱ)2018 年 6 月 12 日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程(新能源
∧∧∧
+= atby
汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里
程)对购车补贴进行新一轮调整．已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研
机构对其中的 200 名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下
一份频数表：
补贴金额
预期值区
间(万元)
[1，2) [2，3) [3，4) [4，5) [5，6) [6，7)
频数 20 60 60 30 20 10
求这 200 位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值 x 的方差 s2 及中位数的
估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替，估计值精确到 0.1)；
附：①回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
②
.
21.（本小题满分 14 分）设点 P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系 xOy 内的一个动点(其中 O 为
坐标原点)，点 P 到定点 的距离比点 P 到 x 轴的距离大
1
2.
(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程；
(Ⅱ)若直线 l：y＝kx＋1 与点 P 的轨迹相交于 A，B 两点，且|AB |＝2 6，求实数 k 的
值．
22.（本小题满分 14 分）函数 （ ＞0，e 是自然常数）.
（1）当 x∈[0，1]时，函数 的最大值是 ，求 的值；
（2）当 x∈（0，1]时，证明： ．
;,
1
22
1 tbya
tnt
ytnyt
b n
i
i
n
i
ii ∧∧
=
=
∧
−=
−
−
=
∑
∑
∑
=
=
5
1
8.18
i
ii yt
），（
2
10
xeaaxxxf )()( 2 ++−= a
)(xf
2
e a
xe
xxexxx )(ln2 23 −>−−
厦门市湖滨中学 2018---2019 学年第二学期期中考
高二理科数学试卷
参考答案
一，选择题：（每小题 5 分}
1-5 BBDDD 6-10 BCDDD 11-12 AA
二．填空题
13.5 14.-1 15.（5,31） 16. x＝
3
2
三．.解答题
17.（本小题满分 8 分）
解：(法一)由 9x2＋5y2＝45，得
x2
5 ＋
y2
9 ＝1，其焦点分别为 F1(0，2)，F2(0，－2)．设所
求椭圆的标准方程为
y2
a2＋
x2
b2＝1(a>b>0)．∵点 M(2， 6)在所求椭圆上，∴|MF1|＋|MF2|＝2a，
即 2a＝ （2－0）2＋（ 6－2）2＋ （2－0）2＋（ 6＋2）2＝4 3，解得 a＝2 3.又∵c
＝2，∴b2＝a2－c2＝8，∴所求椭圆的标准方程是
y2
12＋
x2
8 ＝1.
(法二)∵所求椭圆与椭圆
x2
5 ＋
y2
9 ＝1 有相同的焦点，
∴可设所求椭圆的标准方程为
x2
5＋λ＋
y2
9＋λ＝1(λ>－5)．
又∵所求椭圆过点(2， 6)，∴
4
5＋λ＋
6
9＋λ＝1，解得 λ＝3 或 λ＝－7(舍去)，
∴所求椭圆的标准方程是
x2
8 ＋
y2
12＝1.
18.（本小题满分 12 分）
解：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.
令 f′(x)<0，解得 x<－1，或 x>3，
∴函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)．
(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)>f(－2)．
∵在(－1,3)上 f′(x)>0，
∴f(x)在(－1,2]上单调递增．
又由于 f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此 f(2)和 f(－1)分别是 f(x)在区间[－2,2]上
的最大值和最小值．
于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2，
∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.
∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数 f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7.
19.（本小题满分 12 分）
证明：要证明
1
a－b＋
1
c－b＝
3
a－b＋c，
只要证明 ＝
3
a－b＋c，
只要证明(a＋c－2b)(a－b＋c)＝3(a－b)(c－b)，
只要证明(a＋c－b)2－b(a＋c－b)＝3(ac＋b2－bc－ab)，
只要证明 a2＋c2－b2＝ac，
只要证明 cos B＝ ＝
1
2，
只要证明 B＝60°，
考虑到 A＋B＋C＝180°，
所以只要证明 A＋C＝2B，即证 A，B，C 成等差数列．
因为 A，B，C 成等差数列，故结论成立．
20（本小题满分 14 分）
解：(Ⅰ)由表格数据可知， ＝
1＋2＋3＋4＋5
5 ＝3，
＝
0.5＋0.6＋1＋1.4＋1.7
5 ＝1.04，
( )
( )( )
2a c b
a b c b
+ −
− −
2 2 2
2
a c b
ac
+ −
__
t
__
y
,2.304.1358.185))((
____5
1
5
1
____
=××−=−=−− ∑∑
==
ytytyytt
i
ii
i
ii
,1045555)(
2__5
1
2
5
1
2
__
=−=−=− ∑∑
==
tttt
i
i
i
i
∴
＝1.04－0.32×3＝0.08，
∴y 关于 t 的线性回归方程为 ＝0.32t＋0.08.
根据 t 的含义，2018 年 5 月时，t＝6，代入可得 ＝0.32×6＋0.08＝2(万辆)，即 2018
年 5 月销量的预测值为 2 万辆．
(Ⅱ)(ⅰ)由表中数据可知各组频率依次为 0.1，0.3，0.3，0.15，0.1，0.05，平均值x＝
1.5×0.1＋2.5×0.3＋3.5×0.3＋4.5×0.15＋5.5×0.1＋6.5×0.05＝3.5，
∴s2＝(1.5－3.5)2×0.1＋(2.5－3.5) 2×0.3＋(3.5－3.5) 2×0.3＋(4.5－3.5) 2×0.15
＋(5.5－3.5)2×0.1＋(6.5－3.5)2×0.05＝1.7.
∵0.1＋0.3＝0.4<0.5，0.4＋0.3＝0.7>0.5，∴中位数在区间[3，4)内．设中位数为 m，
有 20＋60＋
m－3
4－3×60＝100，解得 m≈3.3，∴中位数 m≈3.3 万元．
21. （本小题满分 14 分）
解：(Ⅰ)设点P(x，y)，过点 P 作 x 轴的垂线且垂足为点 N，则|PN |＝y，由题意知|PM |
－|PN |＝
1
2，∴ x2＋(y－
1
2 )2＝y＋
1
2，
化简得 x2＝2y.
故点 P 的轨迹方程为 x2＝2y.
(Ⅱ)由题意设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与点 P 的轨迹方程，得{y＝kx＋1，
x2＝2y，
消去 y，化简得 x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB |＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2＝ 1＋k2· 4k2＋8＝2 6，
∴k4＋3k2－4＝0，(11 分)
又 k2≥0，∴k2＝1，解得 k＝±1.
22. （本小题满分 14 分）
,32.010
2.3
)(
))((
5
1
2
__
5
1
____
==
−
−−
=
∑
∑
=
=
∧
i
i
i
ii
tt
yytt
b ;
____
tbya
∧∧
−=
∧
y
∧
y
解：（1）由题意得：f′（x）=﹣（x+2）（x﹣a）ex，
a＞0 时，由 f′（x）≥0，解得：﹣2≤x≤a，
∴f（x）在[﹣2，a]递增，在（﹣∞，﹣2]，[a，+∞）递减，
a≥1 时，f（x）在[0，1]递增，
∴f（x）max=f（1）=（2a﹣1）e= ，解得：a= + ＜1，不合题意，舍，
0≤a＜1 时，f（x）在[0，a]递增，在[a，1]递减，
∴f（x）max=f（a）=aea= ，解得：a= ，符合题意，
综上，存在 a= ，使得 x∈[0，1]时，f（x）的最大值是 ；
（2）当 x∈（0，1]时，要证：2x3﹣x2﹣x＞ ，
即证（﹣x2+ x+ ）ex＜ （1﹣ ），
设 g（x）=﹣x2+ x+ ）ex，
由（1）可得 g（x）max=g（ ）= ，
设 h（x）= （1﹣ ），h′（x）= ，
h（x）在（0，1]递减，h（x）min=h（1）= ，
∴（﹣x2+ x+ ）ex＜ （1﹣ ），
即 2x3﹣x2﹣x＞ ．
