专题02 不等式与线性规划-2017年高考数学（理）备考学易黄金易错点
专题02 不等式与线性规划
2017年高考数学（理）备考学易黄金易错点
1. 【2016高考新课标1卷】若,则( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
2.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
（A） （B）6 （C）10 （D）17
【答案】B
【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.
3.【2016高考山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（ ）
（A）4 （B）9 （C）10 （D）12
【答案】C
【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,
表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.
4.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（ ）
A．2 B．4 C．3 D．
【答案】C
5.【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）
A.0 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴
所求最大值为4，故选C.
6.【2016年高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A.
7.【2016高考新课标3理数】若满足约束条件 则的最大值为_____________.
【答案】
8.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
【答案】
【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么
①
目标函数.
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.
将变形,得,平行直线,当直线经过点时, 取得最大值.
解方程组,得的坐标.
所以当,时,.
故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.
9.【2016高考江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是 ▲ .
【答案】
【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为
易错起源1、不等式的解法
例1、(1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b (a，b∈R)的值域为0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)
0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>－lg2}
B．{x|－1－lg2}
D．{x|x<－lg2}
答案 (1)9 (2)D
【变式探究】(1)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝________.
(2)不等式2＜4的解集为________．
答案 (1) (2)(－1,2)
解析 (1)由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，因为a>0，所以不等式的解集为(－2a,4a)，即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝.
(2)∵2＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－10(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
2．简单分式不等式的解法
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．
易错起源2、基本不等式的应用
例2、(1)已知向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，若a⊥b，则2m＋4n的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．8
(2)设实数m，n满足m>0，n<0，且＋＝1，则4m＋n( )
A．有最小值9 B．有最大值9
C．有最大值1 D．有最小值1
答案 (1)C (2)C
解析 (1)因为向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，a⊥b，
所以m＋2(n－1)＝0，即m＋2n＝2.
所以2m＋4n≥2＝2＝2＝4(当且仅当即时，等号成立)，
所以2m＋4n的最小值为4，故选C.
【变式探究】(1)若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最大值为________．
(2)若圆(x－2)2＋(y－2)2＝9上存在两点关于直线ax＋by－2＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值为__________．
答案 (1) (2)16
解析 (1)∵正数a，b满足a＋b＝1，
∴＋＝
＝
＝＝＝2－
≤2－＝2－＝，
当且仅当a＝b＝时取等号，
∴＋的最大值为.
(2)圆(x－2)2＋(y－2)2＝9的圆心坐标为(2,2)，
由已知得直线ax＋by－2＝0必经过圆心(2,2)，即a＋b＝1.
所以＋＝(＋)(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16(当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立)，所以＋的最小值为16.
【名师点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
【锦囊妙计，战胜自我】
利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值)．
易错起源3、简单的线性规划问题
例3、(1)已知实数x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值与最小值之和为( )
A．－2 B．14
C．－6 D．2
(2)若变量x，y满足约束条件且目标函数z＝－kx＋y当且仅当时取得最小值，则实数k的取值范围是________．
答案 (1)A (2)
解析 (1)根据x，y的约束条件画出可行域，如图阴影部分所示，其中A，B(6,0)，C(0,4)．
由z＝x＋2y可知，当直线y＝－x＋过点A时，z取最小值，即zmin＝－＋2×＝－10；当直线y＝－x＋过点C时，z取最大值，即zmax＝0＋2×4＝8，∴zmin＋zmax＝－2.故选A.
(2)由题意知不等式组所表示的可行域为如图所示的△ABC及其内部，其中A(3,1)，B(4,2)，C(1,2)．将目标函数变形得y＝kx＋z，当z取得最小值时，直线的纵截距最小．由于直线当且仅当经过点(3,1)时纵截距最小，结合动直线y＝kx＋z绕定点A旋转进行分析，知－b，则下列不等式中恒成立的是( )
A．lna>lnb B.<
C．a2>ab D．a2＋b2>2ab
答案 D
解析 只有当a>b>0时A成立；只有当a，b同号时B成立；只有当a>0时C成立；因为a≠b，所以D恒成立，故选D.
2．若函数f(x)＝则“00时，由log3x≥1可得x≥3，
当x≤0时，由()x≥1可得x≤0，
∴不等式f(x)≥1的解集为(－∞，0]∪3，＋∞)．
8．要制作一个容积为4m3
，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．
答案 160
9．已知x>0，y>0，若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案 (－4,2)
解析 由题意可得m2＋2m应小于＋的最小值，所以由基本不等式可得＋≥2＝8，
所以m2＋2m<8⇒－40}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B，求集合D.(用区间表示)
解 令g(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a，
其对称轴方程为x＝(1＋a)，
Δ＝9(1＋a)2－48a＝9a2－30a＋9＝3(3a－1)(a－3)．
①当00，g(0)＝6a>0，
方程g(x)＝0的两个根分别为
00恒成立，
所以D＝A∩B＝(0，＋∞)．
综上所述，当0
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