【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）第7章第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系作业

【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）第7章第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系作业

对应学生用书[练案48理][练案46文]‎ 第三讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．在空间中，下列命题正确的是(　D　)‎ A．经过三个点有且只有一个平面 B．经过一个点和一条直线有且只有一个平面 C．经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个 D．经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个 ‎2．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为(　A　)‎ A．4　 B．3　‎ C．2　 D．1‎ ‎[解析]　首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．‎ ‎3．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　C　)‎ A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等 D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c ‎[解析]　若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C．‎ ‎4．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　C　)‎ A．直线AC　 B．直线AB C．直线CD　 D．直线BC ‎[解析]　由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，‎ 又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，‎ 所以点D在平面ABC与平面β的交线上．‎ 又因为C∈平面ABC，C∈β，‎ 所以点C在平面β与平面ABC的交线上，‎ 所以平面ABC∩平面β＝CD．‎ ‎5．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是(　D　)‎ ‎[解析]　‎ 在A图中分别连接PS，QR，易证PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQ//RS，∴P，Q，R，S共面；如图所示，在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；D图中PS与 QR为异面直线，∴四点不共面，故选D．‎ ‎6．(2020·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　D　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎ [解析]　连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1‎ 所成的角．连接A‎1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A‎1C1＝，A1B＝BC1＝，故cos∠A1BC1＝＝，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.‎ ‎7．(2018·陕西榆林模拟)在直四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1D1的中点，则BM与AN所成的角的余弦值为(　B　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎ [解析]　如图，取B‎1C1的中点P，连接BP，MP.∵直四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，底ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1D1的中点，∴AN∥BP，∴∠MBP是BM与AN所成的角(或所成角的补角)．BM＝BP＝＝，MP＝＝，∴cos∠MBP＝＝＝.∴BM与AN所成的角的余弦值为.故选B．‎ ‎8．(2019·江西高安期末)三棱柱ABC－A1B‎1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B‎1C1，底面三角形A1B‎1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　A　)‎ ‎①CC1与B1E是异面直线；‎ ‎②AE与B‎1C1是异面直线，且AE⊥B‎1C1；‎ ‎③AC⊥平面ABB‎1A1；‎ ‎④A‎1C1∥平面AB1E.‎ A．②　 B．①③　‎ C．①④　 D．②④‎ ‎[解析]　对于①，CC1，B1E都在平面BB1CC1内，故错误；可排除B、C，对于④，A‎1C1‎ 所在的平面与平面AB1E相交，且A‎1C1与交线有公共点，故错误，选A项．‎ ‎9．(文)已知正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　C　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎(理)(2019·福建长汀、连城一中等六校联考)已知正三棱锥S－ABC的底面边长为2、侧棱长为2，D、E分别是AB、SC的中点，则异面直线DE与BC所成的角的大小为(　B　)‎ A．90°　 B．60°　‎ C．45°　 D．30°‎ ‎[解析]　(文)连接BA1，则CD1∥BA1，于是∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成的角(或补角)，设AB＝1，则BE＝，BA1＝，A1E＝1，在△A1BE中，cos∠A1BE＝＝，选C．‎ ‎(理)作SO⊥平面ABC于O，则C、O、D共线，由题意可知CO＝，∴cos∠SCD＝，取SB的中点H，连HE，HD，则HE∥BC，从而∠HED即为异面直线DE与BC所成的角，且HE＝1，DH＝，又DE2＝DC2＋CE2－2DC·CE·cos∠DCS＝4，∴∠EHD＝90°，又EH＝DE，∴∠HED＝60°，故选B．‎ ‎10．(2019·福建漳州二模)在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，O为AC的中点，则异面直线AD1与OC1所成角的余弦值为(　C　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎ [解析]　由题意知O∈BD，连BC1，则BC1∥AD1，‎ ‎∴∠OC1B即为AD1与OC1所成的角，‎ 设正方体棱长为a，‎ 则BO＝a，BC1＝a，‎ 又BC1＝DC1，∴C1O⊥BD，‎ ‎∴sin∠OC1B＝，‎ 从而cos∠OC1B＝，故选C．‎ ‎11．(2019·内蒙古包头模拟)如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是(　D　)‎ A．(0，)　 B．(0，]‎ C．[0，]　 D．(0，]‎ 二、填空题 ‎12．(2020·郑州质检)在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M、N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为　.‎ ‎ [解析]　如图所示，取AB的中点E，连接B1E，则AM∥B1E，取EB的中点F，连接FN，则B1E∥FN，因此AM∥FN，则直线FN与CN所夹的锐角或直角为异面直线AM与CN 所成的角，设AB＝1，连接CF，在△CFN中，CN＝，FN＝，CF＝.由余弦定理，得cos∠CNF＝＝.‎ ‎13．三个平面可将空间分成4或6或7或8 部分．‎ ‎14．(2019·云南模拟)在正三棱柱ABC－A1B‎1C1中，若AB＝BB1，则异面直线AB1与C1B所成的角是90° .‎ ‎[解析]　将正三棱柱补成四棱柱，如图，设BB1＝，则AB＝2，连接AD1，BD1，则BC1∥AD1，∴∠D1AB1即为异面直线AB1与BC1所成的角，又由题意易知AB1＝AD1＝，B1D1＝2，∴B1D＝AB＋AD，∴∠B1AD1＝90°.‎ 另解1：本题若取A1B1的中点D，连DC1，易证AB1⊥平面BDC1，从而AB1⊥BC1.‎ ‎(理)另解2：可建立空间直角坐标系，用向量法求解．‎ B组能力提升 ‎1．(2020·甘肃诊断)直三棱柱ABC－A′B′C′中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BB′＝，则异面直线AC′与B′C所成角的余弦值为　.‎ ‎[解析]　连接BC′，交CB′于E，则E为BC′为中点，取AB中点F，连接EF，故EF∥AC′，则∠FEC或其补角为所求，又EF＝AC′＝，FC＝＝2，CE＝B′C＝，在三角形EFB中，cos∠FEC＝，故答案为.‎ ‎2. (2020·河北衡水中学调研)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为(　D　)‎ A．　 B． C．　 D． ‎ [解析]　由题意可知AD∥BC，∴∠EAD即为异面直线AE与BC所成的角，设圆柱上、下底面圆心为O，O1，连OE、OA、ED，不妨设正方形ABCD的边长为2，则AO＝，从而AE＝ED＝，则cos∠EAD＝＝，即AE与BC所成角的余弦值为，故选D．‎ ‎3．如图是侧棱长和底面边长都相等的正四棱锥的平面展开图，M，N，P，Q分别是边BF，AB，CD，DH的中点，则在这个正四棱锥，下列四个结论正确的个数为(　B　)‎ ‎①MN和CD平行；‎ ‎②CE和PQ平行；‎ ‎③MN和PE所成的角为60°；‎ ‎④EP和AB垂直．‎ A．1　 B．2‎ C．3　 D．4‎ ‎[解析]　正棱锥直观图如图，显然MN与CD异面，①错；②对；连AP，由MN∥AE 知，∠AEP为异面直线MN与PE所成的角，设四棱锥的棱长为‎2a，则AP＝a，PE＝a，∴cos∠AEP＝＝，③错；∵PE⊥CD，CD∥AB，∴PE⊥AB，④对．故选B．‎ ‎4．(2019·西安模拟)如图，四边形ABCD和四边形ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为60° .‎ ‎[解析]　将图形补成正方体，如图，连BH，HD，则∠HBD即为异面直线AP与BD所成的角，又BH＝BD＝HD，∴∠HBD＝60°.‎ ‎5.如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．‎ ‎ (1)求证：AE与PB是异面直线；‎ ‎(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；‎ ‎(3)求三棱锥A－EBC的体积．‎ ‎[解析]　(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α，‎ ‎∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即为平面ABE，‎ ‎∴P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，‎ ‎∴AE与PB是异面直线．‎ ‎(2)取BC的中点F，连接EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角．‎ ‎∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，‎ ‎∴AF＝，AE＝，EF＝，‎ cos∠AEF＝＝，‎ ‎∴异面直线AE和PB所成角的余弦值为.‎ ‎(3)因为E是PC的中点，所以E到平面ABC的距离为PA＝1，‎ VA－EBC＝VE－ABC＝×(×2×)×1＝.‎