2017届高考数学（文）二轮复习（江苏专用）解答题 第二周 星期四

2017届高考数学（文）二轮复习（江苏专用）解答题 第二周 星期四

星期四　(函数与导数问题)　2017年____月____日 已知函数f(x)＝kex－x2(其中k∈R，e是自然对数的底数.‎ ‎(1)若k＜0，试判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；‎ ‎(2)若k＝2，当x∈(0，＋∞)时，试比较f(x)与2的大小；‎ ‎(3)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，求k的取值范围，并证明0＜f(x1)＜1.‎ 解　(1)由f′(x)＝kex－2x可知，当k＜0时，由于x∈(0，＋∞)，f′(x)＝kex－2x＜0，故函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数.‎ ‎(2)当k＝2时，f(x)＝2ex－x2，‎ 则f′(x)＝2ex－2x，‎ 令h(x)＝2ex－2x，h′(x)＝2ex－2，‎ 由于x∈(0，＋∞)，‎ 故h′(x)＝2ex－2＞0，‎ 于是h(x)＝2ex－2x在(0，＋∞)为增函数，‎ 所以h(x)＝2ex－2x＞h(0)＝2＞0，‎ 即f′(x)＝2ex－2x＞0在(0，＋∞)恒成立，‎ 从而f(x)＝2ex－x2在(0，＋∞)为增函数，‎ 故f(x)＝2ex－x2＞f(0)＝2.‎ ‎(3)函数f(x)有两个极值点x1，x2，‎ 则x1，x2是f′(x)＝kex－2x＝0的两个根，‎ 即方程k＝有两个根，设φ(x)＝，‎ 则φ′(x)＝，‎ 当x＜0时，φ′(x)＞0，‎ 函数φ(x)单调递增且φ(x)＜0；‎ 当0＜x＜1时，φ′(x)＞0，‎ 函数φ(x)单调递增且φ(x)＞0；‎ 当x＞1时，φ′(x)＜0，‎ 函数φ(x)单调递减且φ(x)＞0.‎ 要使k＝有两个根，只需0＜k＜φ(1)＝，如图所示，‎ 故实数k的取值范围是(0，).‎ 又由上可知函数f(x)的两个极值点x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，‎ 由f′(x1)＝kex1－2x1＝0，得k＝.‎ ‎∴f(x1)＝kex1－x＝ex1－x ‎＝－x＋2x1＝－(x1－1)2＋1，‎ 由于x1∈(0，1)，‎ 故0＜－(x1－1)2＋1＜1，所以0＜f(x1)＜1.‎