2018-2019学年广东省深圳市深圳外国语学校高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年广东省深圳市深圳外国语学校高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年广东省深圳市深圳外国语学校高二上学期期中数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知点在平面内，并且对空间任一点，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．0‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由于点在平面内，且对空间任一点，根据空间向量基本定理可知，解得；‎ ‎【考点】空间向量基本定理；‎ ‎2．已知（2，﹣1，2），（x，y，6），与共线，则x﹣y＝（ ）‎ A．5 B．6 C．3 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用两个向量共线的坐标表示列方程，解方程求得的值，进而求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于与共线，所以，解得，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查两个空间向量共线的坐标表示，属于基础题.‎ ‎3．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．‎ ‎4．有关命题的说法错误的是（ ）‎ A．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题 B．“x＝1”是“x2﹣3x+2＝0”的充分不必要条件 C．命题“若x2﹣3x＝2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x＝2≠0”‎ D．对于命题p：∃x≥0，2x＝3，则￢P：∀x＜0，2x≠3‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据含有逻辑联结词命题真假性、充分和必要条件、逆否命题和全称命题与特称命题的知识对选项逐一分析，由此确定说法错误的选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，由于为假命题，故均为假命题——A选项说法正确.‎ 对于B选项，，解得或.所以“”是“”的充分不必要条件——B选项说法正确.‎ 对于C选项，根据逆否命题的知识可知，C选项说法正确.‎ 对于D选项错误，原命题的否定应为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查命题与常用逻辑用语的知识，属于基础题.‎ ‎5．双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a、b的值以及焦点位置，进而由其渐近线方程计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，双曲线的方程为1，‎ 其焦点在y轴上，且a＝2，b＝2，‎ 则该双曲线的渐近线方程为y＝±x；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的求法，注意分析双曲线的焦点的位置．‎ ‎6．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则　　‎ A．； B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 故选C ‎7．已知双曲线1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF，则该双曲线离心率e的值为（ ）‎ A．2 B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设左焦点为，根据对称性判断出四边形为矩形，根据，结合双曲线的定义，求得，由此求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ 设左焦点为，画出图像如下图所示，由于直线过原点，故关于原点对称，关于原点对称，由于，所以四边形为矩形，对角线相互平分.由于，故，故可设 ‎，根据双曲线的定义可知.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的对称性，考查双曲线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎8．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，E是CC1的中点，则AE的长为（ ）‎ A．4 B．4 C．3 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】将表示成 的线性和，然后两边平方，利用向量数量积的运算进行化简，由此求得.‎ ‎【详解】‎ 由于是的中点，所以，两边平方得，即 ‎，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间向量法计算空间线段的长，考查化归与转化的数学思想方法，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎9．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　 　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意将所求解的最值问题结合椭圆的定义通过焦点转化为三点共线的问题，然后数形结合求解|PA|＋|PB|的最大值即可.‎ 详解：∵椭圆方程为，∴焦点坐标为和，‎ 连接，根据椭圆的定义，得，可得，‎ 因此.‎ 当且仅当点P在延长线上时，等号成立.‎ 综上所述，可得的最大值为5.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．‎ ‎10．△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是 ( )‎ A． B．（y≠0）‎ C． D．（y≠0）‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ 所以定点的轨迹为以A,B为焦点的椭圆，去掉A,B,C共线的情况，即 ，选D.‎ ‎11．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（ ）‎ A． B． C．24 D．48‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据双曲线的定义结合勾股定理，判断出三角形是直角三角形，并计算出边长，由此计算出三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ 由于，设，根据双曲线的定义可知，所以，而，‎ ‎，所以三角形是直角三角形，所以三角形的面积为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎12．已知O为坐标原点，F是椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的三等分点G（靠近O点），则C的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据平行线分线段成比例列方程，化简后求得离心率.‎ ‎【详解】‎ 由于轴，所以轴，根据平行线分线段成比例可知，两式相乘得，即，化简得.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查平行线分线段成比例，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎13．已知x＞0，若向量（x，1，0），（1，0，﹣2），（23）⊥（2），则x＝_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求得，再根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵向量=（x，1，0），（1，0，﹣2），‎ ‎∴23（2x﹣3，2，6），2（x+2，1，﹣4），‎ ‎∵（23）⊥（2），‎ ‎∴（23）•（2）＝（2x﹣3）（x+2）+2﹣24＝0，‎ 由x＞0，解得x．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间向量坐标的线性运算，考查空间两个向量垂直的坐标表示，属于基础题.‎ ‎14．若抛物线y＝4x2上的点A到焦点的距离为，则A到x轴的距离是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求得抛物线的焦点坐标和准线方程，根据抛物线的定义求得到轴的距离.‎ ‎【详解】‎ 抛物线y＝4x2的焦点坐标为F（0，），准线方程为y，‎ ‎∵抛物线y＝4x2上的点A到焦点的距离为，‎ 由抛物线定义可知，点A到准线y的距离是，‎ 则点A到x轴的距离是2．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抛物线的定义和标准方程，属于基础题.‎ ‎15．直线y＝x+m与曲线y有两个公共点，则m的取值范围是_____．‎ ‎【答案】[2，）‎ ‎【解析】首先判断出曲线是椭圆的上半部分，画出直线与曲线的图像，根据判别式和图像，确定的取值范围，使直线和曲线有两个交点.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，曲线y，变形可得1，（y≥0），为椭圆1的上半部分，如图：‎ 若，变形可得：7x2+8mx+4m2﹣12＝0，‎ ‎△＝64m2﹣4×7×（4m2﹣12）＝0，解可得m＝±，‎ 结合图形，当m时，直线y＝x+m与椭圆1的上半部分相切，‎ 同时，当m＝2时，直线y＝x+2与椭圆1的上半部分有2个交点，‎ 综上：当直线y＝x+m与曲线y有两个公共点时，必有2≤m，即m的取值范围为[2，）；‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查曲线轨迹方程对应图像的判断，考查利用判别式研究直线和椭圆交点，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎16．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0），右顶点是A，若双曲线C右支上存在两点B、C，使△ABC为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是_____．‎ ‎【答案】1＜e ‎【解析】首先求得双曲线的渐近线方程，根据等边三角形的性质以及双曲线图像的对称性，判断出直线（或）的斜率要比渐近线的斜率要大，由此列不等式，再将其转化为离心率表示，进而求得离心率的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x，‎ 要使该双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为正三角形，‎ 则需过右顶点A，且斜率为的直线与双曲线有两个不同的交点，‎ 也只需其斜率大于渐近线yx的斜率．‎ ‎∴，∴ba，‎ 即b2a2，‎ 即有c2＜a2a2，‎ 即为ca，‎ 即有1＜e．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线的离心率的取值范围的求法，考查双曲线的渐近线，考查等边三角形的性质，考查双曲线的对称性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．设函数f（x）＝lg（﹣x2+5x﹣6）的定义域为A，函数g（x），x∈（0，m）的值域为B．‎ ‎（1）当m＝2时，求A∩B；‎ ‎（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）A∩B＝（2，）（2）（0，]‎ ‎【解析】（1）解一元二次不等式求得集合，当时，利用的单调性求得的值域，也即求得集合，由此求得两个集合的交集.‎ ‎（2）根据的单调性求得的值域，根据必要不充分条件的知识，判断出是的真子集，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由﹣x2+5x﹣6＞0，即x2﹣5x+6＜0，解得2＜x＜3，即A＝（2，3），‎ 当m＝2时，g（x），x∈（0，2）上为减函数，‎ ‎∴g（x），即B＝（，），‎ 则A∩B＝（2，）；‎ ‎（2）∵g（x），x∈（0，m）上为减函数，‎ ‎∴g（x），即B＝（，）‎ 若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，‎ 则是的真子集，‎ 即，则，‎ 即0＜m，‎ 故实数m的取值范围是（0，]．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法，考查分式函数值域的求法，考查集合的交集，考查根据必要不充分条件求参数的取值范围，属于中档题.‎ ‎18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝3，AC⊥BC，点M在线段AB上．‎ ‎（1）若M是AB中点，证明AC1∥平面B1CM；‎ ‎（2）当BM时，求直线C1A1与平面B1MC所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）连结BC1，交B1C于E，连结ME．利用三角形的中位线证得，由此证得平面.‎ ‎（2）以为原点建立空间直角坐标系，通过直线的方向向量和平面 的法向量，计算出线面角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连结BC1，交B1C于E，连结ME．‎ ‎∵侧面BB1C1C为矩形，‎ ‎∴E为BC1的中点，又M是AB的中点，‎ ‎∴ME∥AC1．‎ 又ME⊂平面B1CM，AC1⊄平面B1CM，‎ ‎∴AC1∥平面B1CM．‎ ‎（2）以C为原点，以CB，CA，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系C﹣xyz如图所示：‎ 则B1（0，3，3），A1（3，0，3），A（3，0，0），B（0，3，0），C1（0，0，3），AB＝3，∴BMBA．‎ ‎∴（0，3，3），（1，2，0），（3，0，0）．‎ 设平面B1MC的法向量为（x，y，z），则0，，‎ ‎∴，令z＝1得（2，﹣1，1）．‎ ‎∴cos，．‎ 故当BM时，直线C1A1与平面B1MC所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法计算线面角，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎19．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：双曲线 的离心率，若是真命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】试题分析：若为真，则解得；若为真，则，且，解得，而或为真，则，同时为真，联立不等式组解得即可．‎ 试题解析：‎ 将方程改写为，只有当，即时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，所以命题等价于；‎ 因为双曲线的离心率，所以，且，解得，所以命题等价于．‎ 或为真，则．‎ ‎【考点】1、逻辑联结词；2、椭圆、双曲线的性质．‎ ‎20．椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，点到短轴的一个端点的距离等于焦距.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆与曲线的交点为，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由右焦点为，得.‎ 由点到短轴的一个端点的距离等于焦距，得.‎ ‎∴，因此，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设点，则.‎ 设交轴于点，由对称性知：‎ ‎.‎ 由得，∴.‎ ‎∵，当且仅当时取等号.‎ ‎∴面积的最大值.‎ ‎21．如图，在四边形中，，，四边形为矩形，且平面，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）在梯形中，设，题意求得,再由余弦定理求得,满足,得则.再由平面得，由线面垂直的判定可.进一步得到丄平面;（Ⅱ）分别以直线为:轴，轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 ,令得到的坐标，求出平面的一法向量.由题意可得平面的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当时，有最小值为,此时点与点重合.‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：在梯形中，∵,设，‎ 又∵,∴,∴‎ ‎∴.则.‎ ‎∵平面,平面，‎ ‎∴,而,∴平面.∵,∴平面.‎ ‎（Ⅱ）解：分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设，令，‎ 则，‎ ‎∴‎ 设为平面的一个法向量，‎ 由得，取，则，‎ ‎∵是平面的一个法向量，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴当时，有最小值为，‎ ‎∴点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，此时二面角的余弦值为.‎ ‎22．已知椭圆： 的离心率为，且上焦点为，过的动直线与椭圆相交于、两点．设点，记、的斜率分别为和．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如果直线的斜率等于，求的值；‎ ‎（3）探索是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）2（3）为定值，且定值为2.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据离心率以及焦点坐标列方程组，解得（2）先设、，利用斜率公式化简得，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得的值；（3）设直线： ，同（2）化简得，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得定值，最后验证斜率不存在情况也满足 试题解析：解：（1）， ， ，‎ 椭圆方程为. ‎ ‎（2）因为直线的斜率等于，且经过焦点F，‎ 所以直线， ‎ 设、，‎ 由消得，‎ 则有， ． ‎ 所以. ‎ ‎（3）当直线的斜率不存在时， ， ，‎ 则， ，故． ‎ 当直线的斜率存在时，设其为，‎ 则直线： ，‎ 设， ，‎ 由消得，‎ 则有， ． ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ . ‎ 所以为定值，且定值为2.‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎