2017-2018学年江西省崇仁县第二中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 Word版

2017-2018学年江西省崇仁县第二中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 Word版

2017-2018 学年江西省崇仁县第二中学高二下学 期第一次月考数学（理）试卷 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1.已知函数 f (x ) = a x 2 ＋c,且 =2 , 则 a 的值为（ ） A.1 B. C.－1 D. 0 2. 一物体的运动方程为 ，其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物 体在 4 秒末的瞬时速度是（ ） A. 8 米/秒 B. 7 米/秒 C. 6 米/秒 D. 5 米/秒 3．已知函数 上任一点 处的切线斜率 ，则该函数 的单调递减区间为(　 　) A. B. C. D. 4.定义运算 ，则符合条件 的复数 的共轭复数 为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取 自阴影部分的概率为 （ ） A. B. C. D. 6．已知 为虚数单位， 为实数，复数 在复平面内对应的点为 ，则“ ” 是“点 在第四象限”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.若 a>0，b>0，且函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2 在 x＝1 处有极值，则 ab 的最大值 等于(　 　)A．2 B．6 C．9 D．3 8．下面四个图像中，有一个是函数 的导函数 的图像，则 等于(　 ) A． B．－ C． D．－ 或 (1)f ′ 2 2 2 5s t t= − + ( )( )y f x x R= ∈ 0 0( , ( ))x f x 2 0 0( 2)( 1)k x x= − + ( )f x [ 1, )− +∞ ( ,2]−∞ ( , 1),(1,2)−∞ − [2, )+∞ a b ad bcc d = − 1 1 4 2iiz z − = + z z 3 i− 1 3i+ 3 i+ 1 3i− 1 4 1 5 1 7 1 6 i a (1 2 )( )z i a i= − + M 0a > M ( ) ( ) ( )3 2 21 1 13f x x ax a x a R= + + − + ∈ ( )y f x′= ( )1f − 1 3 1 3 5 3 1 3 5 3 9．面积为 S 的平面凸四边形的第 条边的边长记为 ，此四边形内任 一 点 P 到 第 条 边 的 距 离 记 为 ， 若 ， 则 ．类比以上性质，体积为 V 的三棱锥的第 个面的面积记为 ，此三棱锥内任一点 Q 到第 个面的距离记为 ，若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 10.函数 的图像与 轴所围成的封闭图形的面积为(　 ) A． B. C. D. 11. 设 函 数 是 奇 函 数 的 导 函 数 ， ， 当 时 ， ，则使得 成立的 的取值范围是（ ） A B C D． 12． 如图所示，连结棱长为 2cm 的正方体各面的中心得一个多面体容器， 从顶点 A 处向该容器内注水，注满为止．已知顶点 B 到水面的高度 h 以每 秒 1cm 匀速上升，记该容器内水的体积 V（cm3）与时间 T（S）的函数关系 是 V（t），则函数 V（t）的导函数 y=V′（t）的图象大致是（　 ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13、若复数 （ 为虚数单位）为纯虚数，则实数 . 14. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说： “是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获 奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是______　 15.已知函数 f(x)=ex-mx+1 的图象为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的切线,则实 i ( 1,2,3,4)ia i = i ( 1,2,3,4)ih i = 31 2 4 1 2 3 4 aa a a k= = = = 1 2 3 4 22 3 4 Sh h h h k + + + = i ( 1,2,3,4)iS i = i ( 1,2,3,4)iH i = 31 2 4 1 2 3 4 SS S S K= = = = 1 2 3 42 3 4H H H H+ + + 2V K 3V K 2 V K 3 V K ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2, 2 0 , 0 2 x x f x x x x  − − − ≤ <=  − ≤ ≤ x 5 π− 1 π+ 3π − 1 π− ' ( )f x ( )( )f x x R∈ ( 1) 0f − = 0x > ' ( ) ( ) 0xf x f x− < ( ) 0f x > x ( , 1) ( 1,0)−∞ − − ( 1,0) (1, )− +∞ ( , 1) (0,1)−∞ −  (0,1) (1, )+∞ (1 )(3 )z i ai= + − i a = 数 m 的取值范围是__________. 16.下列命题中 ①若 ,则函数 在 取得极值； ②若 ，则 -12 ③若 （ 为复数集），且 的最小值是 ； ④若函数 既有极大值又有极小值, 则 a> 或 a< － 正确的命题有__________． 三、解答题（17 题满分 10 分，18 题、19 题、20 题、21 题、22 题满分各 12 分） 17.（1）已知复数 z 满足 , 的虚部为 2,求复数 z; （2）求函数 、直线 及两坐标轴围成的图形绕 轴旋转一周所得几何体的 体积； 18. 已知函数 的图像如图，直线 在原点处与函数图像相切， 且此切线与函数图像所围成的区域(阴影)面积为 . （1）求 的解析式； （2）若常数 ，求函数 在区间 上的最大值. 19.某商城销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x（单 位：元/千克）满足关系式 y= ,其中 ,a 为常数，已知 销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该产品 11 千克。 （1）求 a 的值 （2）若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 的值，使商场每日销售该商品所获得的 利润最大。 0( ) 0f x′ = ( )y f x= 0x x= 0( ) 3f x′ = − 0 0 0 ( ) ( 3 )lim h f x h f x h h→ + − − = z ∈C C | 2 2i | 1, | 2 2i |z z+ − = − −则 3 2( ) lnf x x ax x= − + − 2 2 2 2 ( ) xf x e= 2x = x 3 2( )f x x ax bx c= + + + 0y = 27 4 ( )f x 0m > ( )f x [ ],m m− 63 << x x 20、设函数 （Ⅰ）求函数 的单调递减区间； （Ⅱ）已知 对任意 成立，求实数 的取值范围。 21. 已知函数 （1）若函数 在定义域内单调递增，求 的取值范围； （2）若 且关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求 实数 的取值范围； 22. 定 义 在 上 的 函 数 满 足 ， . ⑴ 求函数 的解析式； ⑵ 求函数 的单调区间； ⑶ 当 时，求证： 21( ) ln 2 ( 0).2f x x ax x a= − − < ( )f x a 1 2a = − 1( ) 2f x x b= − + [ ]1,4 b 1−>> eyx )1ln( )1ln( + +>− y xe yx 1( ) ( 0 1)lnf x x xx x = > ≠且 ( )f x 1 2 ax x> (0,1)x∈ a x R ( )f x 2 2 2(1)( ) 2 (0)2 xff x e x f x−′= ⋅ + − 21( ) ( ) (1 )2 4 xg x f x a x a= − + − + ( )f x ( )g x 参考答案 1--5 A C B C D 6-10 B C D B A 11-12 C D 13 -3 14 丙 15，m>1/e 16 ②③ 17.（1）设 z=a+bi(a,b R)由已知条件得 的虚部为 2， 2ab=2 a=b=1 或 a=b=-1, 即 z=1+i 或 z=-1-i. （5 分） （2） ……（10 分） 18 解析】 (1)由 得 ， ………………………………………2 分 .由 得 ， ………………………………………4 分 ∴ ，则易知图中所围成的区域(阴影)面积为 从而得 ，∴ . ………………………8 分 （2）由（1）知 . 的取值变化情况如下： 2 单调 递增 极大值 单调 递减 极小值 单调 递增 又 ,①当 时, ； ②当 时, …………………………………………11 分 综上可知：当 时, ； 当 时, …………………………………12 分 19 （ 1 ） 因 为 x=5 时 ， y=11, 所 以 ， 解 得 a=2. （3 分） 2z ∈ abibazba 2,2 22222 +−==+  ∴ ∴ 2 2 2 4 0 2( ) ( 1)02 2 x xV e dx e e π ππ= = = −∫ (0) 0f = 0c = 2( ) 3 2f x x ax b′ = + + (0) 0f ′ = 0b = 3 2 2( ) ( )f x x ax x x a= + = + 0 27[ ( )] 4 a f x dx − − =∫ 3a = − 3 2( ) 3f x x x= − 2( ) 3 6 3 ( 2)f x x x x x′ = − = − , ( ), ( )x f x f x′ x ( ,0)−∞ 0 (0,2) (2, )+∞ ( )f x′ + 0 − 0 + ( )f x (0) 0f = (2) 4f = − (3) 0f = 0 3m< ≤ max( ) (0) 0f x f= = 3m > 3 2 max( ) ( ) 3 .f x f m m m= = − 0 3m< ≤ max( ) (0) 0f x f= = 3m > 3 2 max( ) ( ) 3 .f x f m m m= = − 11102 =+a (2)由（1）知该商品每日的销售量 , 所以，商场每日销售该商品所获得的利润为 . （6 分） 从而 = 令 0，得 x=4. 函数 在（3，4）上单调递增，在（4，6）上单调递减， 所以当 x=4 时，函数 取得最大值 =42. 答：当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最 大，最大值为 42. 20.解 (1) 若 则 列表如下 + 0 - - 单调增 极大值 单调减 单调减 …………6 分 (2) 在 两边取对数, 得 ,由于 所以 (1) 由(1)的结果可知,当 时, , 为使(1)式对所有 成立,当且仅当 ,即 …………12 分 21 解：（1） ………1 分 依题意 在 时恒成立，即 在 恒成立． 2 2 1( ) ( 0).ax xf x xx + −′ = − > ( ) 0f x′ ≥ 0x > 2 2 1 0ax x+ − ≤ 0x > ( )26103 2 −+−= xxy ( ) ( ) ( ) ( )( ) 63,631026103 23 22 <<−−+=    −+−•−= xxxxxxxf ( ) =xf ' ( ) ( )( )[ ]6326-x10 2 −−+ xx ( )( )6430 −− xx ( ) =xf ' ( )xf ( )xf ( )4f ' 2 2 ln 1( ) ,ln xf x x x += − ' ( ) 0,f x = 1x e = x 1(0, )e 1 e 1( ,1)e (1, )+∞ ' ( )f x ( )f x 1( )f e ( )1( ) ,1 1 +f x e  ∴ ∞  的单减区间为 和 ， 1 2 ax x> 1 ln 2 lna xx > 0 1,x< < 1 ln 2 ln a x x > (0,1)x∈ 1( ) ( )f x f ee ≤ = − (0,1)x∈ ln 2 a e> − ln 2a e> − 则 在 恒成立，即 ………2 分 当 时， 取最小值 ………………3 分 ∴ 的取值范围是 ………………5 分 （2） 设 则 …………6 分 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ ∴ 极小值 ， 极大值 ， 又 ………………9 分 方程 在[1，4]上恰有两个不相等的实数根． 则 ， ………………11 分 得 ………………12 分 22.解：（1） ，所以 ， 即 . 又 ， …………2 分 所以 ，所以 . …………3 分 （2） ， . …………4 分 ①当 时， ，函数 在 上单调递增； …………5 分 ②当 时，由 得 ， ∴ 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增. …………6 分 2 2 1 2 1( 1) 1xa x x −≤ = − − 0x > min 2 )1)11(( −−≤ xa )0( >x 1=x 21( 1) 1x − − 1− a ( , 1]−∞ − 21 1 1 3, ( ) ln 0.2 2 4 2a f x x b x x x b= − = − + ⇔ − + − = 21 3( ) ln ( 0).4 2g x x x x b x= − + − > ( 2)( 1)( ) .2 x xg x x − −′ = x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) ( )g x′ + 0 − 0 + ( )g x ( )g x (2) ln 2 2g b= = − − ( )g x 5(1) 4g b= = − − (4) 2ln 2 2g b= − −  ( ) 0g x = (1) 0 (2) 0 (4) 0 g g g ≥  <  ≥ 5ln 2 2 4b− < ≤ − 0a ≤ ( )f x R 0a > lnx a= ( ),lnx a∈ −∞ ( )ln ,x a∈ +∞ 2 2'( ) '(1) 2 2 (0)xf x f e x f−= + − '(1) '(1) 2 2 (0)f f f= + − (0) 1f = 2(1)(0) 2 ff e−′= ⋅ 2'(1) 2f e= 2 2( ) 2xf x e x x= + − 2 2( ) 2xf x e x x= − + 2 2 21 1 1( ) ( ) (1 ) (1 ) ( 1)2 4 4 4 x xxg x f x a x a e x x x a x a e a x∴ = − + − + = + − − + − + = − − ( ) xg x e a′∴ = − ( ) 0g x′ > ( ) 0xg x e a′ = − = ( ) 0g x′ < ( )g x ( ) 0g x′ > ( )g x 综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ；当 时， 函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . …………7 分 3）证明： ， 令 ，则只要证明 在 上单调递增， 又∵ ， 显然函数 在 上单调递增． ∴ ，即 ， ∴ 在 上单调递增，即 ， ∴当 时，有 ． 0a ≤ ( , )−∞ +∞ 0a > ( )ln ,a +∞ ( ),ln a−∞ )1ln()1ln()1ln( )1ln( +>+⇔+ +>− y e x e y xe yx yx )1ln()( += x exg x )(xg ),1( +∞−e )1(ln 1 1)1ln( )( 2 +     +−+ =′ x xxe xg x 1 1)1ln()( +−+= xxxh ),1( +∞−e 011)( >−> exh 0)( >′ xg )(xg ),1( +∞−e )1ln()1ln( +>+ y e x e yx 1−>> eyx )1ln( )1ln( + +>− y xe yx ( )g x ( )g x