专题13+两招破解平面向量难题-名师揭秘2019年高考数学(理)命题热点全覆盖

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专题13+两招破解平面向量难题-名师揭秘2019年高考数学(理)命题热点全覆盖

一.【学习目标】‎ ‎1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.‎ ‎2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题方法总结 二.【平面向量解题方法规律】‎ ‎1.用向量解决平面几何问题的步骤 ‎(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;‎ ‎(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; ‎ ‎【详解】依题,由图易知向量所成角为钝角,所以,所以当最小时,即为向量在向量方向上的投影最小,数形结合易知点P在点D时,最小(如图所示),‎ 在三角形ADE中,由等面积可知,所以,从而.所以.故选D.‎ ‎(二)向量中的最值问题 例2.设是半径为2的圆上的两个动点,点为中点,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【分析】将两个向量,都转化为两个方向上,然后利用数量积的公式和三角函数的值域,求得题目所求数量积的取值范围.‎ 练习1.已知是平面内两个相互垂直的单位向量,若向量满足,则对于任意的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当且仅当, 时,取得最小值 此时,取得最小值 ‎ 练习2.在边长为1的正△ABC中,=x,=y,x>0,y>0且x+y=1,则•的最大值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】,,由此能求出当时,的最大值为.‎ ‎(三)投影问题 例3.已知||=1,||=2,∠AOB=60°,=+,λ+2μ=2,则在上的投影(  )‎ A.既有最大值,又有最小值 B.有最大值,没有最小值 C.有最小值,没有最大值 D.既无最大值,双无最小值 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意得:在上的投影为①‎ 代入①得 令得,代入得 当时,原式有最大值,‎ 当时,①式无最小值 故选:.‎ 练习1.已知||=1,||=2,∠AOB=60°,=+,λ+2μ=2,则在上的投影(  )‎ A.既有最大值,又有最小值 B.有最大值,没有最小值 C.有最小值,没有最大值 D.既无最大值,双无最小值 ‎【答案】B ‎【解析】运用向量投影的知识和减元可解决.‎ ‎(四)向量的几何意义 例4.是所在平面内一点,,则是点在内部(不含边界)的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】若,点在内部,则,反之不成立,例如时,点为边的中点,是点在内部,(不含边界)的必要不充分条件,故选B. ‎ 练习2.如图,在中,是线段上的一点,且,过点的直线分别交直线于点,若,,则的最小值是 .‎ ‎【答案】‎ 考点: 1、向量的概念及几何表示;2、向量数乘运算及几何意义;3、向量数量积的含义及几何意义. ‎ 方法点睛:由向量减法法则可知,代入已知条件得到,再把已知条件,代入得到,根据三点共线得,利用均值不等式得到,而,从而求得的最小值是.‎ 练习3.在四面体中,点,分别为,的中点,若,且,,三点共线,则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【分析】由已知可得,又,对应项系数相等,得到结果.‎ ‎(七)坐标法解决向量问题 例7.如图,在矩形中, , ,点为的中点,如果,那么的值是__________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】建立如图所示的直角坐标系,‎ 则,‎ ‎∴,‎ ‎∴. ‎ 练习2.如图,为△的外心,为钝角,是边的中点,的值( ) ‎ A. 4 B..6 C.7 D. 5 ‎ ‎【答案】D 练习3.是平面上的一定点,是平面上不共线的三点,动点满足,,则动点的轨迹一定经过的( )‎ A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 ‎【答案】B ‎【解析】解出,计算并化简可得出结论.‎ ‎【详解】λ(),‎ ‎∴,‎ ‎∴,即点P在BC边的高上,即点P的轨迹经过△ABC的垂心.‎ 故选:B.‎ 练习4.已知点O是锐角△ABC的外心,a,b,c分别为内角A、B、C的对边,A= ,且,则λ的值为(  )‎ A. B.﹣ C. D.﹣‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意画出图形,设的外接圆半径为,根据三角形外心的性质可得:,,由向量的线性运算和向量数量积的运算,求出和,在已知的等式两边同时与 进行数量积运算,代入后由正弦定理化简,由两角和的正弦公式和三角形内角和定理求出λ的值. ‎ 即函数h(x)在(e﹣1<x<e2﹣1)上为增函数,‎ 则,‎ 即4e-2<a.‎ ‎∴实数a的取值范围是.‎ 故选:B.‎ 练习2.将向量列组成的系列称为向量列,并记向量列的前项和为,如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量 ,那么称这样的向量列为等和向量列。已知向量列为等和向量列,若,则与向量 一定是垂直的向量坐标是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解,考查递推数列求每一下的方法,还考查了两个向量垂直的坐标表示.属于基础题.‎ 练习3.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意实数对(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使x1x2+y1y2=0成立,则称集合M具有∟性,给出下列四个集合:‎ ‎①M={(x,y)|y=x3﹣2x2+3}; ②M={(x,y)|y=log2(2﹣x)};‎ ‎③M={(x,y)|y=2﹣2x}; ④M={(x,y)|y=1﹣sinx};‎ 其中具有∟性的集合的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】D ‎【解析】条件等价于:对于M中任意点P(x1,y1),在M中存在另一个点P′(x2,y2),使OP⊥OP′.作出函数图象,验证即可. ‎ ‎【详解】‎ ‎∵||=||=1,且,‎ ‎∴可设,,.‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴,即(x﹣1)2+(y﹣1)2=1.‎ ‎∴的最大值.‎ 故选:C. ‎ 练习1.的斜边等于4,点在以为圆心,1为半径的圆上,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合三角形及圆的特征可得,进而利用数量积运算可得最值,从而得解.‎ ‎【点睛】本小题主要考查向量的线性运算,考查向量的数量积运算,以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题.‎ 练习2.已知在平面四边形中, ,,,,,点为边上的动点,则的最小值为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】以为原点,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,求出,,的坐标,根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用,考查了运算能力和数形结合的能力,向量的坐标表示,二次函数最值的求法,向量数量积的坐标表示,建立适当的坐标系将几何知识代数化是解题的关键,也是常用手段,属于中档题. ‎
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