数学理卷·2018届内蒙古赤峰市高三上学期期末考试（2018

数学理卷·2018届内蒙古赤峰市高三上学期期末考试（2018

‎2018年赤峰市高三期末考试试卷 理科数学 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若,则复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 集合, ,若,则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎3. 若变量满足约束条件,则的最大值是（ ）‎ A． B．0 C． D．‎ ‎4. 已知的面积是,, ,则（ ）‎ A．5 B．或1 C.5或1 D．‎ ‎5. 在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说:“主要责任在乙”；乙说:“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说:“反正我没有责任”.四人中只有一个人说的是真话,则该事故中需要负主要责任的人是（ ）‎ A．甲 B．乙 C. 丙 D．丁 ‎6. 一个长方体被一平面截去一部分后,所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）‎ A．36 B．48 C.64 D．72‎ ‎7. 《九章算术》是我国古代的数学名著,体现了古代劳动人民的数学智慧,其中第六章“均输”中,有一竹节容量问题,某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图,若输出 的值为67,则输入的值为 A．7 B．4 C.5 D．11‎ ‎8.设，函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（ ）‎ A． B． C.3 D．‎ ‎9. 在中,团, , ,,为的三等分点,则·=（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 把2支相同的晨光签字笔,3支相同英雄钢笔全部分给4名优秀学生,每名学生至少1支,则不同的分法有（ ）‎ A．24种 B．28种 C. 32种 D．36种 ‎11. 已知两点, ,若抛物线上存在点使为等边三角形, 则b的值为（ ）‎ A．3或 B． C.或5 D．‎ ‎12. 已知直线为函数图象的切线,若与函数的图象相切于点,则实数必定满足（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.‎ ‎ 机动车驾驶的考核过程中,科目三又称道路安全驾驶考试,是机动车驾驶人考试中道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目的简称假设某人每次通过科目三的概率均为,且每次考试相互独立,则至多考两次就通过科目三的概率为 ．‎ ‎14. 若,且,则 ．‎ ‎15. 在直三棱柱中,底面为等腰直角三角形, , , 若、、别是棱、、的中点,则下列四个命题:‎ ‎；‎ ‎②三棱锥的外接球的表面积为；‎ ‎③三棱锥的体积为；‎ ‎④直线与平面所成角为 其中正确的命题有 ．(把所有正确命题的序号填在答题卡上)‎ ‎16. 已知点是双曲线左支上一点,是双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线,则该双曲线的离心率是 ．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第题为必考题,每个试题考生都必须作答,第题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17. 已知两个数列的前项和分别为, ,其中是等比数列,且，，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求的前项和.‎ ‎18. ‎2017年5月14日,第一届“一带一路”国际高峰论坛在北京举行,为了解不同年龄的人对“一带一路”关注程度,某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查, 经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为9:11‎ 关注 不关注 合计 青少年 ‎15‎ 中老年 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎(1)根据已知条件完成上面的列联表，并判断能否有的把握认为关注“一带一路”是否和年龄段有关？‎ ‎(2)现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取9人进行问卷调查.在这9人中再选取3人进行面对面询问,记选取的3人中关注“一带一路”的人数为X,求X的分布列及数学期望.‎ 附:参考公式，其中 临界值表：‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19. 如图,在四棱锥中,底面,且,, ,是的中点.‎ ‎(1)求证:平面；‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎20. 已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点,为顶点的三角形的周长为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设该椭圆与轴的交点为,(点位于点的上方),直线与椭圆相交于不同的两点 ,求证:直线与直线的交点在定直线上.‎ ‎21. 已知函数, ‎ ‎(1)若两函数图象有两个不同的公共点,求实数的取值范围；‎ ‎(2)若, ,求实数的最大值.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上各点的横坐标都缩短为原来的倍,纵坐标坐标都伸长为原来的倍,得到曲线,在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴非负半轴为极轴)中,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数的最小值为.‎ ‎(1)求实数的值；‎ ‎(2)若,且,求证:.‎ ‎2018年赤峰市高三期末考试试卷 理科数学参考答案 一、选择题 ‎1-5:DCDBA 6-10:BADBB 11、12：CC 二、填空题 ‎13. 14. 15.①②③ 16.‎ 三、解答题 ‎17. 解:(1)∵， ，,所以.‎ 所以，，‎ ‎，‎ 经验证，时也满足，所以，‎ ‎（2）设，的前项和为 设数列的前项和为，则 ①‎ ‎ ②‎ ‎②-①得 所所以 ‎18. 解:(1)依题意可知,抽取的“青少年”共有人,“中老年”共有人.‎ 完成的2×2列联表如：‎ 关注 不关注 合计 青少年 ‎15‎ ‎30‎ ‎45‎ 中老年 ‎35‎ ‎20‎ ‎55‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 则 因为，，所以有的把握认为关注“一带一路” 和年龄段有关 ‎(2)根据题意知,选出关注的人数为3,不关注的人数为6,在这9人中再选取3人进行面对面询问,的取值可以为0,1,2,3,则 ‎,,,.‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以的分布列为数学期望 ‎19. (1)证明:底面,且,,‎ ‎,,以点A为坐标原点,分别以直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示,‎ ‎ ‎ 设,是的中点,则有,，, ,，‎ 于是,,因为, ,所以, , 且,因此平面 ‎(2)解:由(1)可知平面的一个法向量为,‎ 设平面的法向量为, ,,‎ 则所以 不妨设，所以，则，‎ 由图形知,二面角为钝角,所以二面角的余弦值为.‎ ‎20. 解:(1)由题意知, ,又，所以，，所以 椭圆的标准方程为 ‎(2)设, ,则由联立方程组，‎ 化简得,由 解得，由韦达定理,得，‎ 直线的方程 ①‎ 直线NA的方程 ② 联立①②，得 即∴直线与直线的交点在定直线上 ‎21. (1)解:函数与的图象有两个不同的公共点等价于方程在有两个不同的解,即方程在有两个不同的解.‎ 设,则函数的图象与直线有两个不同的交点.‎ 由，令，有 列表如下：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 增函数 极大值 减函数 所以函数有极大值 由时，；，，‎ ‎(注:或①当时,至多有一个公共点；②当时,因为时, , 至多有一个公共点；③当时,因为, ,所以上有一个零点,又,而,所以在上存在一个零点,即时,有两个零点)‎ ‎(2)由题对恒成立,即对恒成立，即对恒成立，‎ 设,则只需,由,‎ 又,所以,在为增函数，‎ 所以，,又 ‎ 所以，存在使，即，则 又时，,为减函数,‎ 时, ,为增函数 所以, ‎ 所以,r(x)在为增函数,所以 所以, ,故实数的最大值为 ‎22. 选修4-4:坐标系与参数方程 解:(1)因为直线的极坐标方程为,所以有 ‎，即直线的直角坐标方程为:‎ 因为曲线的的参数方程为(为参数),经过变换后为(为参数)‎ 所以化为直角坐标方程为:‎ ‎(2)因为点在曲线上,故可设点的坐标为，‎ 从而点到直线的距离为 由此得,当时,取得最大值,且最大值为 ‎23. 选修4-5不等式选讲 解:(1)因为,当且仅当,‎ 即时取等号,所以的最小值为3,于是 ‎(2)由(1)知,且,由柯西不等式得