2019届二轮复习（理）双曲线方程学案（全国通用）
【母题 一】【2018高考新课标1理数11】
【母题原题】已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A. B. 3 C. D. 4
【答案】B
所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.
【母题 二】【2017高考新课标1理数15】
【母题原题】已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于、两点，若，则的离心率为 ．
【答案】
【解析】
如图所示，
点睛：求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，再根据和转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．
【母题 三】【2016高考新课标1理数5】学 ]
【母题原题】已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
（A）(–1,3) （B）(–1,) （C）(0,3) （D）(0,)
【答案】A
【考点】双曲线的性质
【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.
【命题意图】
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．
3.理解数形结合的思想．
【命题规律】
一、双曲线的标准方程和几何性质
或 或 坐标轴 坐标轴 原点 原点
二、 双曲线的定义:
平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.
集合P＝{M |MF1|－|MF2 ＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}．
(1)当a
c时，P
点不存在． 学 ]
【方法总结】
1．求双曲线离心率的值
（1）直接求出，求解：已知标准方程或a，c易求时，可利用离心率公式e＝求解；
（2）变用公式，整体求：如利用e＝＝＝，e＝＝；
2．双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得的值，于是e2＝＝＝1＋2，因此可求出离心率e的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即＝.但要注意，当双曲线的焦点所在的坐标轴不确定时，上述两类问题都有两个解．
1．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟考试】已知双曲线的离心率为，且经过点，则双曲线的实轴长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
2．【重庆市西南大学附中高2018级第四次月考】已知双曲线的左、右顶点分别为、，是
上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
故选C．
点睛：本题将解三角形和双曲线的几何性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中之间的数量关系，其中通过解三角形得出点的坐标，是解题的突破点，在得到点坐标后，根据点在双曲线上得出间的关系，最后根据可求得离心率．
3．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试】已知双曲线，若过一、三象限的渐近线的倾斜角，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：求得双曲线的渐近线方程，由题意可得，再由离心率公式和 的关系，即可得到所求范围．
详解：双曲线的渐近线方程为
由一条渐近线的倾斜角的取值范围[，则
即为 即有即
则即
故选A．
点睛：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．
4．【四川省南充高级中学2018届高三考前模拟考试】为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点，则的内切圆半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
，
由图形的对称性知，
即
.
故选：A.
点睛：本题考查了双曲线的几何性质、双曲线的定义，注意直角三角形的内切圆公式.
5．【江西省抚州市临川区第一中学2018届高三全真模拟（最后一模）】已知定点，，是圆：上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是（ ）
A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线
【答案】D
点睛：求轨迹方程，一般有以下方法，一是定义法，动点满足圆或圆锥曲线定义；二是直接法，化简条件即得；三是转移法，除所求动点外，一般还有已知轨迹的动点，寻求两者关系是关键；四是交轨法或参数法，如何消去参数是解题关键，且需注意消参过程中的等价性.
6．【江西省抚州市临川区第一中学2018届高三全真模拟（最后一模）】已知双曲线的离心率为，且双曲线与抛物线的准线交于、，，则双曲线的实轴长（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：先求抛物线准线方程，再根据求交点坐标，代入双曲线方程得a，求得结果.
详解：因为抛物线，所以准线方程为，
因为，所以,
因为双曲线的离心率为，所以
因此双曲线的实轴长为，
选D.
点睛: 抛物线的焦点为，准线为；抛物线的焦点为，准线为.
7．【安徽省六安市第一中学2018届高三下学期适应性考试】已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（ ） . ]
A. 虚轴长为 B. 焦距为
C. 离心率为 D. 渐近线方程为
【答案】D
点睛：本题考查双曲线的标准方程，注意有双曲线的标准方程a、b的值.
8．【河南省巩义市市直高中2018届高三下学期模拟考试】已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：先利用双曲线的定义求出，再利用余弦定理求出，再利用双曲线的定义判定为等边三角形，利用分割法和三角形的面积公式进行求解．
点睛：处理椭圆或双曲线上的点到焦点的距离时，往往利用椭圆或双曲线的定义合理转化，如本题中两次利用双曲线的定义，第一次是求得，第二次是结合、判定三角形的形状．
9．【北京市中国人民大学附属中学2018届高三5月考前热身练】若双曲线：与：的离心率分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 与的渐近线相同 D. 与有8个公共点
【答案】A
点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查双曲线的标准方程、离心率。渐近线及双曲线的几何性质，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
10．【安徽省淮南市2018届高三第二次模拟考试】已知是双曲线 的左右焦点， 坐标，双曲线右支上点，满足，则它的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析: 根据双曲线的定义求出c和a，结合双曲线渐近线的定义进行求解即可．
详解: ∵F1坐标（，0），∴c=，
∵双 曲 线右支上 一 点 P，满足|PF1|﹣|PF2|=4，
∴2a=4，即a=2，
则b2=c2﹣a2=7﹣4=3，即b=，
则双曲线的渐近线方程为y=±x═±x，
故答案为：A
点睛：（1）本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，根据双曲线的定义求出a，b是解决本题的关键．（2）双曲线 的渐近线方程为y=±x，如果焦点在y轴上，则渐近线方程为y=±x.
11．【河北省武邑中学2018届高三下学期第四次模拟考试】设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若且，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
点睛：（1）本题主要考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用.(2)利用勾股定理及双曲线的定义建立a、c的关系是解题的关键．
12．【湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三5月押题考】已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，若点关于双曲线的一条渐近线的对称点为，且，则双曲线的实轴长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：设的中点为N,坐标原点为O,先求出ON，再求2a得解.
详解：设的中点为N,坐标原点为O,则ON=
因为点到渐近线的距离为b,
所以
故双曲线的实轴长为3，故答案为：B
点睛：（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.（2）解答本题的关键是求出ON的长，由于,根据三角形中位线定理得ON=
13．【山东省日照市2018届高三校际联考】若双曲线的一条渐近线方程为，则的值为（ ） | ]
A. B. C. D.
【答案】A
点睛：本题考查了双曲线的简单几何性质，渐近线方程的求法，注意m的取值范围是解题的关键，属于基础题.
14．【安徽省江南十校2018届高三冲刺联考（二模）】已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：通过椭圆与双曲线的定义，建立的边长之间的关系，再转化为离心率之间的关系，然后由基本不等式求得最大值．
详解：设，
∵，
∴，
一方面 ，
另一方面 ，
∴，，，
，
∴，，当且仅当，即时等号成立，
∴所求最大值为．
故选D．
点睛：对已知焦点三角形的椭圆（双曲线）一般可利用其定义建立离心率与边长之间的关系，从而求出离心率的范围或最值，而本题共焦点的椭圆与双曲线问题，可通过共顶点的焦点三角形利用它们的定义建立离心率之间的关系，再利用基本不等式求得最大值．
15．【山东省潍坊市2018届高三第三次高考模拟考试】已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
