2021版高考数学一轮复习核心素养测评四十二空间向量及其运算苏教版

2021版高考数学一轮复习核心素养测评四十二空间向量及其运算苏教版

核心素养测评四十二 空间向量及其运算 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a,则x等于 (　　)‎ A.(0,3,-6) B.(0,6,-20)‎ C.(0,6,-6) D.(6,6,-6)‎ ‎【解析】选B.由b=x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).‎ ‎2.在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足||=||,则P点坐标为 (　　)‎ A.(3,0,0) B.(0,3,0)‎ C.(0,0,3) D.(0,0,-3)‎ ‎【解析】选C.设P(0,0,z),‎ 则有 ‎=,解得z=3.‎ ‎3.若非零向量a,b 满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角θ为 (　　)‎ A.30° B.60° C.120° D.150°‎ ‎【解析】选C.因为(2a+b)·b =0,所以2a·b+b2=0,‎ 所以2|a||b|cos θ+|b|2=0,又因为|a|=|b|≠0,‎ 所以cos θ=-,所以θ=120°.‎ ‎4.已知点A,B,C不共线,对平面ABC外一点O,在下列条件下,点P与A,B,C共面的是 (　　)‎ A.=2-2-‎ B. =++‎ - 8 -‎ C.+=3- ‎ D.+=4+ ‎ ‎【解析】选C.C项可变形为=++,因为++=1, 所以点P,A,B,C共面;其他项不可以.‎ ‎5.在空间四边形ABCD中,·+·+· = (　　)‎ A.-1 B.0 C.1 D.不确定 ‎【解析】选B.如图,令 =a,=b,=c, ‎ 则·+· +·‎ ‎=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)‎ ‎=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.‎ ‎【秒杀绝招】选B.如图,在空间四边形ABCD中,连接对角线AC,BD,得三棱锥A-BCD,不妨令其各棱长都相等,即为正四面体,因为正四面体的对棱互相垂直,‎ 所以· =0, ·=0, ·=0.‎ 所以 ·+·+·=0.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,则c=________. ‎ ‎【解析】因为a∥b,所以==,‎ 解得x=2,y=-4,‎ 此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),‎ - 8 -‎ 又因为b⊥c,所以b·c=0,‎ 即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).‎ 答案:(3,-2,2)‎ ‎7.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<,>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为________.  ‎ ‎【解析】设PD=a,则A(2,0,0),B(2,2,0),‎ P(0,0,a),E1,1,.‎ 所以=(0,0,a),=-1,1,.‎ 由cos<,>=,所以=a·,所以a=2,所以E的坐标为(1,1,1).‎ 答案:(1,1,1)‎ ‎8.如图,已知在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这 个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长 为________.  ‎ ‎【解析】设=a,=b,=c,‎ 由已知条件|a|=8,|b|=4,|c|=6,‎ ‎=90°,=90°,=60°,‎ ‎||2=|++|2=|-c+b+a|2‎ - 8 -‎ ‎=a2+b2+c2+‎2a·b‎-2a·c-2b·c=68,‎ 则||=2.‎ 答案:2‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.如图,在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,=a,=b,=c,点M,N分别是A1D,B1D1的中点.‎ ‎(1)试用a,b,c表示;‎ ‎(2)求证:MN∥平面ABB‎1A1.‎ ‎【解析】(1)因为=-=c-a,所以==(c-a).‎ 同理,=(b+c),‎ 所以=-=(b+c)-(c-a)=(b+a)=a+b.‎ ‎(2)因为=+=a+b,所以=,‎ 即MN∥AB1,因为AB1⊂平面ABB‎1A1,MN⊄平面ABB‎1A1,所以MN∥平面ABB‎1A1.‎ ‎10.已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.‎ ‎(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值.‎ ‎(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.‎ ‎【解析】(1)因为a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1,‎ 又|a|==,|b|==,‎ 所以cos===-,‎ - 8 -‎ 即向量a与向量b的夹角的余弦值为-.‎ ‎(2)方法一:因为ka+b=(k-1,k,2).‎ ka-2b=(k+2,k,-4),且ka+b与ka-2b互相垂直,所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,‎ 所以k=2或k=-,所以当ka+b与ka-2b互相垂直时,实数k的值为2或-.‎ 方法二:由(1)知|a|=,|b|=,a·b=-1,‎ 所以(ka+b)·(ka-2b)=k2a2-ka·b-2b2=2k2+k-10=0,得k=2或k=-.‎ ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则-+等于 (　　)‎ A. B.3 C.3 D.2‎ ‎【解析】选B.-+=-(-)==3.‎ ‎2.(5分)已知非零向量与满足 +·=0且· =, 则△ABC为 (　　)‎ A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 - 8 -‎ ‎【解析】选D.由 +·=0知:∠A的平分线垂直于BC,所以△ABC为等腰三角形;由· =知∠A=60°,所以△ABC为等边三角形.‎ ‎3.(5分)如图,已知在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,有下列三个条件:①A1B⊥AC1;②A1B⊥B‎1C;③B‎1C1=A‎1C1.试利用①、②、③构造出一个正确的命题________. ‎ ‎【解析】设=a,=b,=c,由A1B⊥AC1⇔·=0⇔(b-a+c)(-c-a)=0,‎ 所以a·b=|a|2-| c|2,①‎ 由A1B⊥B‎1C⇔·=0⇔(b-a+c)( c-b)=0,所以a·b=| b|2-| c|2,②‎ 由B‎1C1=A‎1C1得| a|2=|b|2,③‎ 由①②③不难看出①②⇒③;①③⇒②;②③⇒①.‎ 答案:①②⇒③(或①③⇒②;②③⇒①)‎ ‎4.(10分)如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:‎ ‎(1)·.‎ ‎(2)·.‎ ‎(3)EG的长.‎ ‎(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.‎ ‎【解析】设=a,=b,=c.‎ - 8 -‎ 则|a|=|b|=|c|=1,===60°,‎ ‎==c-a,=-a,=b-c,‎ ‎(1)·=c-a·(-a)‎ ‎=a2-a·c=.‎ ‎(2)·=(c-a)·(b-c)=(b·c-a·b-c2+a·c)=-.‎ ‎(3)=++=a+b-a+c-b ‎=-a+b+c,||2=a2+b2+c2-a·b+b·c-c·a=,则||=.‎ ‎(4)=b+c,=+=-b+a,‎ cos<,>==-,‎ 由于异面直线所成角的范围是0,,‎ 所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.‎ ‎5.(10分)如图,在棱长为a的正方体OABC-O‎1A1B‎1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF=x,其中0≤x≤a,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz. ‎ ‎(1)写出点E,F的坐标.‎ ‎(2)求证:A‎1F⊥C1E.‎ - 8 -‎ ‎(3)若A1,E,F,C1四点共面,求证:=+.‎ ‎【解析】(1)E(a,x,0),F(a-x,a,0).‎ ‎(2)因为A1(a,0,a),C1(0,a,a),‎ 所以=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a),‎ 所以·=-ax+a(x-a)+a2=0,‎ 所以⊥,所以A‎1F⊥C1E.‎ ‎(3)因为A1,E,F,C1四点共面,‎ 所以,,共面.‎ 选与为在平面A‎1C1E上的一组基向量,则存在唯一实数对(λ1,λ2),使=λ1+λ2,‎ 即(-x,a,-a)=λ1(-a,a,0)+λ2(0,x,-a)‎ ‎=(-aλ1,aλ1+xλ2,-aλ2),‎ 所以解得λ1=,λ2=1.‎ 于是=+.‎ - 8 -‎