2018-2019学年山西省高二上学期期末测评考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年山西省高二上学期期末测评考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年山西省高二上学期期末测评考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设命题：，命题：，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】判断命题的真假，然后根据“且”命题、“或”命题的真假判断原则，对四个选项逐一判断，选出正确的答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵命题为真，命题也为真，∴为真,故本题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复合问题的真假判断. “且”命题的真假判断原则是见假就假，要真全真，“或”命题的真假判断原则是见真则真，要假全假.‎ ‎2．与直线：垂直且过点的直线的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出直线的斜率，然后求出与其垂直的直线的斜率，利用点斜式可得直线的方程，化为一般式，最后选出正确答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线：的斜率为，∴与其垂直的直线的斜率为，根据点斜式可得直线的方程为，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两直线互相垂直时，它们的斜率之间的关系，考查了直线的点斜式方程的应用.‎ ‎3．命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】全称命题的否定是特称命题.第一步是将全称量词改写为存在量词，第二步是将结论加以否定.‎ ‎【详解】‎ 根据全称命题的否定的原则，命题“，”的否定是，，故本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了全称命题的否定，改量词，否定结论是关键.‎ ‎4．下列导数运算正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据导数的运算法则和特殊函数的导数，逐一判断.‎ ‎【详解】‎ ‎∵根据函数的求导公式可得，∵，∴A错；∵，∴B错；∵，C错；D正确.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的运算法则以及特殊函数的导数.‎ ‎5．下列命题中，假命题的是（ ）‎ A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交.‎ B．平行于同一平面的两条直线一定平行.‎ C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面.‎ D．若直线不平行于平面，且不在平面内，则在平面内不存在与平行的直线.‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用线面平行的定义、性质定理，面面垂直性质定理，四个选项逐一判断.‎ ‎【详解】‎ 选项A: 由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交， 则必与另一个平面相交，所以与相交；‎ 选项B:平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或异面；‎ 选项C:由面面垂直的判定定理可知：本命题是真命题；‎ 选项D:根据线面平行的判定定理可知：本命题是真命题，故本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题依托线面的平行的判定与性质、面面垂直的判定，考查了判断命题真假的问题，考查了反证法.‎ ‎6．曲线与曲线的（ ）‎ A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 ‎【答案】C ‎【解析】可以判断出两个曲线的类型，然后求出它们的焦距，这样可以选出正确的答案.‎ ‎【详解】‎ 曲线表示椭圆，焦距为，当时，曲线表示双曲线，焦距为，故两条曲线的焦距相等,故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了通过曲线方程识别曲线的能力，考查了椭圆与双曲线方程中，之间的关系.‎ ‎7．已知直线与圆：相交于，两点，若为正三角形，则实数的值为（ ）‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】 由题意得，圆的圆心坐标为，半径.‎ 因为为正三角形，则圆心到直线的距离为，‎ ‎ 即，解得或，故选D.‎ ‎8．若双曲线的一个顶点在抛物线的准线上，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出抛物线的准线，这样可以求出的值，进而可以求出双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ ‎∵抛物线的准线方程为，∴，则离心率，故本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的准线方程、双曲线的离心率、双曲线的顶点坐标.‎ ‎9．设不同直线：，：，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎10．设函数，若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数为奇函数，可以求出的值，求出函数的导数，可以求出曲线的切线的斜率，最后求出切线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数为奇函数，∴，即.又∵，∴切线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了奇函数的性质，考查了求曲线的切线方程.‎ ‎11．矩形中，，，沿将三角形折起，得到四面体，当四面体的体积取最大值时，四面体的表面积为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】在矩形中，沿将三角形折起，当平面平面时，得到的四面体的体积取到最大值，作，可以求出的大小,这样通过计算可以求出四面体的表面积.‎ ‎【详解】‎ 在矩形中，沿将三角形折起，当平面平面 时，得到的四面体的体积取到最大值，作，此时点到平面的距离为，∵，∴，∴，作，，由，可得，∴，∴.同理可得，，∴四面体的表面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三棱锥的表面积，考查了数学运算能力.‎ ‎12．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知，，，可以变形为，可 以构造函数，可知函数是增函数，故 ‎，常变量分离，，设，求导，最后求出 的最小值，最后求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎∵且，∴当时，，即函数在上是一个增函数.设，则有，即，设，则有，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，在处取得最小值，，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数，根据函数的单调性求参数问题,通过已知的不等式形式，构造函数，利用新函数单调性，求出最值，是解题的关键.‎ 二、填空题 ‎13．命题“若，则或”的逆否命题为__________．‎ ‎【答案】“若且，则”.‎ ‎【解析】若原命题为“若，则”，那么它的逆否命题为“若，则.”‎ ‎【详解】‎ 因为若原命题为“若，则”，那么它的逆否命题为“若，则.”‎ 所以命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了写出原命题的逆否命题，关键是要知道原命题与逆否命题的关系.‎ ‎14．曲线在点处切线的斜率为__________．‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】求导，把代入导函数中，直接求出在点处切线的斜率.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义，求曲线的切线斜率.‎ ‎15．直三棱柱中，若，，，则点到平面的距离为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】法一：由已知可以证明出平面平面，通过面面垂直的性质定理，可以过作，则的长为到平面的距离，利用几何知识求出 ‎;‎ 法二:利用等积法进行求解.‎ ‎【详解】‎ 法一：∵，，∴平面，‎ 又∵平面，平面平面.‎ 又∵平面平面，‎ ‎∴过作，则的长为到平面的距离，‎ 在中，.‎ 法二：由等体积法可知，解得点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了点到面的距离，一般方法是通过几何作图，直接求出点到面的距离，另一种方法是利用等积法进行求解，通过二种方法的比较，后一种方法更方便些.‎ ‎16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，垂直于轴，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】通过垂直于轴,可以求出，由已知为等腰三角形，可以得到，结合的关系，可以得到一个关于离心率的一元二次方程，解方程求出离心率.‎ ‎【详解】‎ ‎∵垂直于，∴可得，又∵为等腰三角形，‎ ‎∴，即，整理得，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求椭圆离心率问题，关键是通过已知条件构造出关于离心率的方程.‎ 三、解答题 ‎17．已知：对任意的实数，函数（为常数）有意义，：存在实数，使方程表示双曲线.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】求出函数的定义域；方程表示双曲线，可以求出的取值范围，进而可以求出是成立时，的取值范围，根据已知是的充分不必要条件，可以求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由可得，‎ 由知表示双曲线，则，即或，‎ ‎∴：.‎ 又∵是的充分不必要条件，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知充分不必要性，求参问题，关键是对充分不必要条件的理解.‎ ‎18．已知圆：.‎ ‎（1）若直线：与圆相切，求的值；‎ ‎（2）若圆：与圆相外切，求的值.‎ ‎【答案】(1) 或.(2) .‎ ‎【解析】（1）根据圆的一般方程，化为标准方程形式，求出圆心坐标和半径，利用点到圆切线的距离等于半径，求出的值；‎ ‎（2）根据两圆相外切时，两圆半径和等于两圆的圆心距，求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由圆的方程为，即，∴圆心，半径为.‎ 又∵直线：与圆相切，∴圆心到直线的距离，即，‎ 解得或.‎ ‎（2）由题得，圆心，因为圆与圆相外切， 所以，又∵，∴解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的切线性质、圆与圆相外切的性质，考查了运算能力.‎ ‎19．已知抛物线：.‎ ‎（1）若直线经过抛物线的焦点，求抛物线的准线方程；‎ ‎（2）若斜率为-1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，当时，求抛物线的方程.‎ ‎【答案】(1) .(2) .‎ ‎【解析】（1）由抛物线的焦点的位置，可以判断出直线 与横轴的交点坐标就是抛物线的焦点，这样可能直接写出抛物线的准线方程；‎ ‎（2）写出斜率为-1经过抛物线的焦点的直线的方程，与抛物线方程联立，根据抛物线的定义和根与系数的关系可以求出，结合已知，求出的值，写出抛物线的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵直线经过抛物线的焦点，‎ ‎∴抛物线的焦点坐标为，‎ ‎∴抛物线的准线方程为.‎ ‎（2）设过抛物线的焦点且斜率为-1的直线方程为，且直线与交于，，‎ 由化简得，‎ ‎∴.‎ ‎∵，解得，‎ ‎∴抛物线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知抛物线过定点，求抛物线的标准方程，以及运用抛物线的定义求其标准方程的问题.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）若，证明：；‎ ‎（2）当时，判断函数有几个零点.‎ ‎【答案】(1)见解析.(2)见解析.‎ ‎【解析】（1）时，对函数求导，求出函数的最大值，这样就可以证明出；‎ ‎（2）当时，对函数求导，列表求出函数的单调性与极值，根据单调性和极值情况，可以判断出函数的个数.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，.‎ ‎.‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 单调递增 极大值 单调递减 ‎∴函数的最大值为，即当，，‎ ‎∴时，.‎ ‎（2）当时，，.‎ ‎∴.‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 单调递增 极大值 单调递减 ‎∵，∴函数在上只有一个零点.‎ ‎∴当时，函数在上只有一个零点.‎ ‎21．已知椭圆：，该椭圆经过点，且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设是圆上任意一点，由引椭圆的两条切线，，当两条切线的斜率都存在时，证明：两条切线斜率的积为定值.‎ ‎【答案】(1) .(2)见解析.‎ ‎【解析】（1）由椭圆经过点，可以求出的值，由离心率为，可知的关系，结合之间的，可以求出的值，这样就求出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设，且.点引椭圆的切线方程可设为，‎ 与椭圆方程联立，让根的判断式为零，得到一个关于的一元二次方程，利用根与系数的关系，可以证明出两条切线斜率的积为定值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，解得，.‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）设，且.‎ 由题意知，过点引椭圆的切线方程可设为，‎ 联立化简得.‎ ‎∵直线与椭圆相切，‎ ‎∴，‎ 化简得.‎ ‎∴.‎ ‎∴两条切线斜率的积为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求椭圆的标准方程，椭圆的切线方程，以及利用方程的根与系数关系证明两条切线斜率乘积为定值问题.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）若，求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，若函数在处取得极小值，求函数的极大值.‎ ‎【答案】(1) 函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.(2) .‎ ‎【解析】（1）求导，让导函数等于零，求出零点，列表判断出函数的单调性；‎ ‎（2）求导，根据的取值不同，进行分类讨论，列表，根据函数的单调性，求出极大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，.‎ ‎.‎ ‎-2‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ‎∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.‎ ‎（2）由题意得，‎ 则.‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，，即在上单调递增，无极值，∴不符合题意，舍去；‎ 当时，，则有 ‎-1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ‎∴令，解得，‎ ‎∴函数在处取得极大值，且极大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值问题，分类讨论是解题的关键.‎