重庆市重庆市渝中区巴蜀中学2020届高三高考适应性月考卷（三）数学（文）试题

重庆市重庆市渝中区巴蜀中学2020届高三高考适应性月考卷（三）数学（文）试题

巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（三）‎ 文科数学 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.‎ ‎2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题上作答无效.‎ ‎3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.‎ ‎4.考试结束后，请在教师指导下扫描二维码观看名师讲解.‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设集合，集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的补集运算，得到，再由交集运算，得到，得到答案.‎ ‎【详解】因为集合，集合，‎ 所以，‎ 而集合，‎ 所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的补集运算和交集运算，属于简单题.‎ ‎2.已知的内角，，的对边分别为，，，且，则角（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对条件中进行化简整理，然后代入到余弦定理的表达式中，得到答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因，所以，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理求角的大小，属于简单题.‎ ‎3.已知等差数列的前5项和为10，，则（ ）‎ A. 2 B. 3‎ C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列前项和的公式，得到，根据等差中项，得到的值，结合条件，再利用一次等差中项，得到的值，得到答案.‎ ‎【详解】因为为等差数列，‎ 所以，即，‎ 所以根据等差中项可得，，‎ 因为，所以根据等差中项可得，，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前项和，等差中项，属于简单题.‎ ‎4.已知函数是偶函数，其图象与轴有9个交点，则方程的所有实根之和为（ ）‎ A. 0 B. 3‎ C. 6 D. 9‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数的图像的特点，得到零点关于轴对称，从而得到答案.‎ ‎【详解】因为偶函数，所以其图像与的交点关于轴对称，‎ 故如果，则图像与的交点个数应是偶数个，‎ 而已知条件中，图象与轴有9个交点，‎ 所以可得，其它个交点两两关于轴对称，‎ 故方程的所有实根之和为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查偶函数图像的性质和特点，属于简单题.‎ ‎5.数据，，，，，的方差是5，则数据，，，，，的方差是（ ）‎ A. 20 B. 18‎ C. 10 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知方差和对应数据的变化情况，得到答案.‎ ‎【详解】因为数据，，，，，的方差是5，‎ 所以数据，，，，，的方差 是，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查数据同时变化后对方差的影响，属于简单题.‎ ‎6.设与是相互垂直的两个向量，，且满足，则（ ）‎ A. B. 4‎ C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得到，再根据，得到，展开代入已知条件，得到的方程，求出答案.‎ ‎【详解】因为与是相互垂直的两个向量，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 解得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查垂直向量的表示，向量数量积的运算律，属于简单题.‎ ‎7.已知函数，则不等式 的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断出为奇函数，且在上单调递增，将所求不等式利用函数性质转化为，利用单调性解得答案.‎ ‎【详解】函数，‎ 定义域，‎ ‎，‎ 且 所以为奇函数，‎ 因为，和都是增函数 所以是增函数，‎ 所以由，‎ 得到，‎ 所以 即.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查判断函数的奇偶性，单调性，根据函数性质解不等式，属于中档题.‎ ‎8.对于任意两个数，定义某种运算“”如下：‎ ‎①当或时，；②当时，.‎ 则集合的子集个数是（ ）‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 读懂条件中给出的定义，得到对应的取值情况，然后根据所求的集合，列出满足要求的，得到其子集个数.‎ ‎【详解】根据条件中的定义可知，‎ 当，且同为奇数或者同为偶数时，有，‎ 当，且为偶数，为奇数时，有，‎ 故集合中 ‎，当同为奇数或者同为偶数时，，‎ 可取，，，，，，，，，‎ 当为偶数，为奇数时，‎ 可取，，‎ 所以可取的情况共有种，‎ 即集合中有个元素，‎ 所以集合得子集个数为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查对给出的新定义的理解，读懂题目是关键，考查了根据集合元素个数求子集的个数，属于中档题.‎ ‎9.若函数图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，得到，然后根据题意得到恒成立，得到 ‎【详解】因为函数，定义域 所以，‎ 因为图象上的任意一点的切线斜率都大于0，‎ 所以对任意的恒成立，‎ 所以，‎ 设，则 令，得到，舍去负根，‎ 所以当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减，‎ 所以时，取最大值，为，‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.‎ ‎10.在长方体中，，，为棱的中点，是棱上的点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点建立空间直角坐标系，利用得到各点坐标，得到和的坐标，利用向量的夹角公式，得到异面直线所成角的余弦值.‎ ‎【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示 所以，，，，‎ 为棱的中点，所以，‎ 是棱上的点，，所以，‎ 所以，，‎ 设异面直线与所成角为 则 ‎。‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线所成的角的余弦值，属于简单题.‎ ‎11.若函数的图象关于直线对称，则的值不能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对进行整理，然后根据对称轴为，得到，从而得到，然后取不同的值，得到不同的的值，与选项进行比较，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，是一条对称轴，‎ 所以 即 所以或，‎ 即或，，‎ 当，时，，得，‎ 当，时，，得，时，得，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查辅助角公式，根据正弦型函数的对称性求值，属于中档题.‎ ‎12.已知数列满足，，，则下列结论成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先写出以及之间的大小关系，进行猜想，然后根据数学归纳法证明猜想，得到答案.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，‎ 所以 所以得到 即 所以，‎ 即，‎ 所以猜想当连续三项的下标最大项为偶数时，有 以下为证明：‎ 当时，成立，‎ 设当时，成立，‎ 当时，因为，‎ 所以有 即成立 所以 即 所以当时，猜想也成立.‎ 故当连续三项的下标最大项为偶数时，有 所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查由递推数列研究数列的性质，数学归纳法证明猜想，属于难题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知（为常数），则______.（用含的式子表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，利用诱导公式，结合已知条件，得到答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以根据诱导公式可得 ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的诱导公式，属于简单题.‎ ‎14.已知数列满足，，，，则的通项公式______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，得到，从而得到，再求出，得到的通项公式.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以 因为，‎ 所以 而 所以是以为首项，为公比的等比数列，‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据递推关系求数列的通项关系，属于简单题.‎ ‎15.已知直线的斜率为1，且与双曲线相切于第一象限于点，则点的坐标为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线，代入双曲线方程，利用相切得到，求出的值，然后再得到在第一象限内切点的坐标，得到答案.‎ ‎【详解】因为直线的斜率为1，‎ 所以设 代入双曲线得 因为直线与双曲线相切，所以，‎ 即 解得 当时，，解得，‎ 当时，，解得 因为切点在第一象限，‎ 所以点.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据直线与双曲线相切，求参数的值和切点坐标，属于中档题.‎ ‎16.在长方体中，底面是边长为4的正方形，侧棱，是的中点，点是侧面内的动点（包括四条边上的点），且满足，则三棱锥的体积的最大值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，表述出，得到，从而得到到平面的距离，然后求出的最大值，从而得到三棱锥的体积的最大值.‎ 详解】做于，‎ 在长方体中，平面，平面 所以在和中，‎ ‎，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 因为平面，平面，‎ 所以，又于，‎ 所以可得平面，‎ 设，则，，‎ 由，得 即，‎ 整理得，‎ 开口向下，对称轴，‎ 所以在单调减，‎ 所以时，取最大值，为 所以，‎ 所以三棱锥的体积的最大值为 ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了空间几何体中的最值问题，关键是列出式子，转化为距离问题，借助函数求解即可，属于难题．‎ 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知，如图甲，正方形的边长为4，，分别为，的中点，以为棱将正方形折成如图乙所示，且，点在线段上且不与点，重合，直线与由，，三点所确定的平面相交，交点为.‎ ‎（1）若，试确定点的位置，并证明直线平面；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）延长交的延长线于点,证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）延长交的延长线于点，可得为的中点，为的中点，连接交于点，则为的中点，从而得到，然后可得平面.（2）根据得到比例线段，然后根据，得到的长度，从而得到的长，利用等体积转化，分别表示出体积，从而得到点到平面的距离.‎ ‎【详解】解：（1）如图，延长交的延长线于点，‎ ‎∵为的中点，，‎ ‎∴为的中点，‎ 又，‎ ‎∴为的中点，‎ 连接交于点，‎ 则为的中点，‎ 所以.‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）令为点到平面的距离，‎ 根据平面图形可知，‎ 而平面，且，‎ 所以平面.‎ 因为，‎ 所以，‎ 而，‎ 所以，得，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判定，利用等体积转化求点到平面的距离，属于中档题.‎ ‎18.在公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列.数列满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得到，用和表示出来，从而可解得和的值，得到的通项；（2）根据题意写出的通项，利用分组求和的方法，求出其前项的和，得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）在公差不为0的等差数列中，‎ 由，，成等比数列，‎ 可得，‎ 又，可得，‎ 化简可得，‎ 即有，.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 数列的前项和 ‎【点睛】本题考查等差数列通项中基本量的计算，分组求和的方法求数列的和，属于简单题.‎ ‎19.2014年12月19日，2014年中国数学奥林匹克竞赛（第30届全国中学生数学冬令营）在重庆市巴蜀中学举行.参加本届中国数学奥林匹克竞赛共有来自各省、市（自治区、直辖市）、香港地区、澳门地区，以及俄罗斯、新加坡等国的30余支代表队，共317名选手.竞赛为期2天，每天3道题，限时4个半小时完成.部分优胜者将参加为国际数学奥林匹克竞赛而组建的中国国家集训队.中国数学奥林匹克竞赛（全国中学生数学冬令营）是在全国高中数学联赛基础上进行的一次较高层次的数学竞赛，该项活动也是中国中学生级别最高、规模最大、最有影响的全国性数学竞赛.2020年第29届全国中学生生物学竞赛也将在重庆巴蜀中学举行.巴蜀中学校本选修课“数学建模”兴趣小组调查了2019年参加全国生物竞赛的200名学生（其中男生、女生各100人）的成绩，得到这200名学生成绩的中位数为78.这200名学生成绩均在50与110之间，且成绩在内的人数为30，这200名学生成绩的高于平均数的男生有62名，女生有38名.并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）填写下表,能否有的把握认为学生成绩是否高于平均数与性别有关系？‎ 男生 女生 总计 成绩不高于平均数 成绩高于平均数 总计 参考公式及数据：，其中.‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1），（2）列联表见解析,有的把握认为学生成绩是否高于平均数与性别有关系.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）表示出成绩在内的频率，根据各组频率之和为，以及中位数为，得到关于的方程组，解出的值；（2）根据题意，写出成绩不高于平均数的男、女生数量，填写好列联表，然后根据公式求出的值，进行判断，得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）∵成绩在内的人数为30，‎ ‎∴成绩在内的频率为.‎ 由频率分布直方图得，化简得，①‎ 由中位数可得，化简得，②‎ 由①②解得，.‎ ‎（2）200名学生成绩的高于平均数的男生有62名，女生有38名，‎ 因男、女生各100名，所以可得成绩不高于平均数的男生有38名，女生有62名，‎ 根据题意得到列联表：‎ 男生 女生 总计 成绩不高于平均数 ‎38‎ ‎62‎ ‎100‎ 成绩高于平均数 ‎62‎ ‎38‎ ‎100‎ 总计 ‎100‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎，‎ ‎∴有的把握认为学生成绩是否高于平均数与性别有关系.‎ ‎【点睛】本题考查根据频率分布直方图求频数，中位数等，完善列联表，卡方的计算和判断，属于中档题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数在上的值域；‎ ‎（3）若存在，使得成立，求的最大值.（其中自然常数）‎ ‎【答案】（1）（2）（3）的最大值为6.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎）（1）对求导得到 ‎，然后代入切点横坐标，得到斜率，点斜式写出切线方程，整理得答案；（2）利用导数判断出的单调性，根据单调性求出其最小值，并比较在两个端点时的函数值，得到最大值，从而得到答案；（3）由（2）可得，要使成立，且的值最大，则，…的值应最小，即，，从而得到，从而得到的最大值为.‎ ‎【详解】解：（1），‎ ‎∴，又，‎ ‎∴，即为所求切线的方程.‎ ‎（2）‎ 令，得（舍去负根）‎ 所以时，，单调递减，‎ 时，，单调递增.‎ 故，‎ 又因为，‎ ‎，‎ 故，‎ 故时，.‎ ‎（3）由（2）知，时，.‎ 所以有 而要使成立，且的值最大，‎ 则，…每个的函数值应最小，‎ 即，即，，‎ 从而得到，‎ 所以，‎ 所以的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数在一点的切线，利用导数研究函数的单调性和值域，不等式能成立问题，属于中档题.‎ ‎21.已知椭圆的方程为，椭圆的离心率正好是双曲线的离心率的倒数，椭圆的短轴长等于抛物线上一点到抛物线焦点的距离.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆的两个交点为，两点，已知圆：与轴的交点分别为，（点在轴的正半轴），且直线与圆相切，求的面积与的面积乘积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意分别写出椭圆的离心率，短轴长，从而得到关于的方程组，解出的值，得到椭圆方程；（2）根据直线与圆相切，得到的关系，分别表示出点、到直线的距离，直线与椭圆联立，得到，，从而表示出，然后表示出，代入的关系，利用基本不等式，求出最大值.‎ ‎【详解】解：（1）双曲线的离心率为 所以椭圆的离心率，‎ 抛物线的准线为，‎ 所以抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，‎ 所以椭圆的短轴长为，则 设椭圆的焦距为，‎ 所以得到，，解得，‎ 因此，椭圆的方程为.‎ ‎（2）由题意知，直线的斜率存在且斜率不为零，不妨设直线的方程为，‎ 设点，，‎ 由于直线与圆相切，则有，所以 点到直线的距离为，‎ 点到直线的距离为，‎ 将直线的方程与椭圆的方程联立，‎ 消去并整理得.‎ 由韦达定理可得，.‎ 记的面积为，记的面积为，‎ 由弦长公式可得 ‎.‎ 所以，‎ ‎.‎ 当且仅当时，即当时，等号成立.‎ 因此，的最大值为12.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与圆相切，直线与椭圆相交，椭圆中的最值问题，属于中档题.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若曲线与曲线交于，两点，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先得到曲线的普通方程，将代入化简得到答案；（2）将的参数方程代入的普通方程，得到，，将所求的用表示，从而得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）曲线的普通方程为，即.‎ 将代入化简得的极坐标方程为.‎ ‎（2）将的参数方程代入的普通方程中，得，‎ 设，两点的参数分别为，，则，、异号，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查普通方程与极坐标方程的转化，直线参数的几何意义，属于简单题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）按进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；（2）将问题转化为在时恒成立，按和分类讨论，分别得到不等式恒成立时对应的的范围，再取交集，得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）当时，等价于 或或，‎ 解得或或，‎ 所以不等式的解集为：.‎ ‎（2）依题意即在时恒成立，‎ 当时，，即，‎ 所以对恒成立 ‎∴，得；‎ 当时，，‎ 即，‎ 所以对任意恒成立，‎ ‎∴，得∴，‎ 综上，.‎ ‎【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，分类讨论研究不等式恒成立问题，属于中档题.‎