广东省梅州市水寨中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

广东省梅州市水寨中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

数学试题 台体体积公式：‎ 一．选择题（选择最恰当的一项，每小题5分，共60分）‎ ‎1.在同一平面直角坐标系中,表示直线与的图象正确的是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2.在空间直角坐标系中,两点的位置关系是(　 　)‎ A.关于x轴对称 B.关于yOz平面对称 C.关于坐标原点对称 D.关于y轴对称 ‎3. 过点 且与直线 平行的直线方程是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.若方程表示圆，则 k 的取值范围是 ( )‎ ‎5.如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形是 ( )．‎ A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形 ‎6.圆上与直线的距离等于的点共有(　　)‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7. 若直线在轴上的截距为1，则实数是 ( ) A. 1 B. 2 C. － D. 2或－ ‎8.已知直线和互相平行,那么它们之间的距离是(　　)‎ A.4 B. C. D.‎ ‎9.已知正六棱台的上下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ）‎ ‎ ‎ ‎10.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x、y的值分别为(　　)‎ A. x＝1，y＝1　 B. x＝1，y＝ C. x＝，y＝　 　D. x＝，y＝1‎ ‎11.已知x,y满足3x+4y-10=0,则x2+y2的最小值为(　 　)‎ A.2 B.4 C.0 D.1‎ ‎12.在北纬的圈上有A,B两点，设该纬度圈上A,B两点的劣弧长为（R为地球半径,O为球心），则=( )‎ 二．填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知，若，则＝_______．‎ ‎14.直线的倾斜角的取值范围是__________.‎ ‎15.点集所表示的平面图形的面积为__________.‎ ‎16.在平面上，若,则的取值范围是_______________.‎ 三． 解答题（共6题，写出必要的解答过程）‎ ‎17.（10分）求过点,且圆心在直线的圆的方程。‎ ‎18.（12分）一几何体（如下左图），其按比例绘制的三视图如下右图所示(单位：m)：‎ ‎ ‎ 求它的表面积和体积 ‎19.（12分）已知直线过直线和的交点,‎ ‎(1)若直线与直线垂直,求直线l的方程;‎ ‎(2)若原点O到直线的距离为1,求直线的方程.‎ ‎20. (12分)已知．‎ ‎(1)求与的夹角的余弦值；‎ ‎(2)若与平行，求的值； ‎ ‎(3)若与垂直，求的值．‎ ‎21.(12分)已知直线，求：‎ ‎(1)点关于的对称点；‎ ‎(2)直线关于直线对称的直线方程.‎ ‎22.（12分）如图，四棱锥，平面，且，底面为直角梯形，，，，， 分别为的中点，平面与的交点为 ‎（Ⅰ）求的长度；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）求所成平面角余弦值. ‎ 参考答案 ‎1.解析：结合四个图象,a在两个方程中分别表示斜率和纵截距,它们的符号应一致.逐一判断知A,B,D项均错,只有C项正确.‎ 答案：C ‎2.解析：因为P,Q两点的y坐标相同,x,z坐标分别互为相反数,它们的中点在y轴上,并且PQ与y轴垂直,故P,Q关于y轴对称.‎ 答案：D ‎3.A ‎5.解析　‎ 将直观图还原得▱OABC，则 ‎∵O′D′＝O′C′＝2 (cm)，‎ OD＝2O′D′＝4 (cm)，C′D′＝O′C′＝2 (cm)，∴CD＝2 (cm)，‎ OC＝＝＝6 (cm)，OA＝O′A′＝6 (cm)＝OC，‎ 答案　C ‎6解析：因为圆心到直线的距离d=,r=2,所以直线与圆相交.‎ 又因为r-d=,所以劣弧上到直线的距离等于的点只有1个,在优弧上到直线的距离等于的点有2个,所以满足条件的点共3个.‎ 答案：C ‎7.D ‎8.解析：因为两直线平行,所以3m=12,即m=4,6x+my+1=0可化为3x+2y+=0,‎ 由两平行直线间的距离公式得d=.‎ ‎ 答案B ‎10.解析：如图，＝＋＝＋＝＋(A＋A)．‎ ‎11解析：因为x2+y2视为原点到直线上的点P(x,y)的距离的平方,所以x2+y2的最小值为原点到直线3x+4y-10=0的距离的平方.因为d==2,所以x2+y2的最小值为4.‎ 答案：B ‎13.24‎ ‎14. 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1，1]．又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤或≤θ<π.选B.‎ ‎15. 化简得　①或②，如图表示大圆与小圆之间的面积；②式无意义，舍去．由图形知点集表示的平面图形的面积＝π×22－π×12＝3π.‎ ‎16.‎ ‎18.由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A1A，‎ A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，‎ 在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，‎ 则四边形AA1EB是正方形，‎ ‎∴AA1＝BE＝1，‎ 在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1，‎ ‎∴BB1＝，‎ ‎∴几何体的表面积 S＝S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形AA1D1D ‎＝1＋2×1＋2××(1＋2)×1＋1×＋1＝7＋(m2)．‎ ‎∴几何体的体积V＝×1×2×1＝(m3)，‎ ‎∴该几何体的表面积为(7＋) m2，体积为 m3.‎ ‎19.(1)由得交点(-1,2),‎ 因为直线x-3y+2=0的斜率是,直线l与直线x-3y+2=0垂直,所以直线l的斜率为-3,‎ 所以所求直线l的方程为y-2=-3(x+1),即3x+y+1=0.‎ ‎(2)如果l⊥x轴,则l的方程为x=-1符合要求.‎ 如果l不垂直于x轴,设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+2+k=0,‎ 原点O到直线l的距离=1,‎ 解之,得k=-,此时l:y-2=-(x+1).综上,直线l的方程为3x+4y-5=0或x=-1.‎ ‎20. (1)∵a－b＝(2，－1，－3)，|a－b|＝，|a|＝，(a－b)·a＝5，‎ ‎∴cos〈a－b，a〉＝＝＝.(2分)‎ ‎(2)∵ka＋b＝(k－1，1，－k＋2)，a－2b＝(3，－2，－5)，‎ 又(ka＋b)∥(a－2b)，∴＝＝，∴k＝－.‎ ‎ (3)∵ka＋b＝(k－1，1，－k＋2)，a＋3b＝(－2，3，5)，‎ 又(ka＋b)⊥(a＋3b)，∴－2(k－1)＋3＋5(－k＋2)＝0，∴k＝.‎ ‎21.设 P(x,y) 关于直线l：3x－y + 3 = 0 的对称点为 P’(x′,y′).‎ ‎∵ kPP’·k1 = －1，即 ×3 = －1 ①‎ 又 PP’ 的中点在直线3x－y + 3 = 0上，‎ ‎∴ 3×－ + 3 = 0 ②‎ 由 ①② 得 ‎(1) 把 x = 4，y = 5代入③及④得x′ = －2，y′ = 7，‎ ‎∴ P(4,5) 关于直线 l 的对称点 P’ 的坐标为 (－2,7).‎ ‎(2) 用 ③④ 分别代换 x－y－2 = 0 中的 x，y，‎ 得关于l的对称直线方程为 ‎ －－2 = 0，‎ 化简得7x + y + 22 = 0.‎ ‎22.【解析】【答案】‎ ‎【解】由题设知：以为原点，所在线 分别轴如图示建立空间直角坐标系，则有:‎ ‎，设 ‎（Ⅰ）由共面知：‎ 且，于是有：‎ ‎ 即 得 故