数学卷·2017届山东省薛城舜耕中学高三4月阶段性自测（2017

数学卷·2017届山东省薛城舜耕中学高三4月阶段性自测（2017

‎ 2017届山东省薛城舜耕中学高三数学4月份阶段性自测题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 一、选择题 ‎1.已知集合M={﹣1，0，1}，N={x|x（x﹣2）≤0}，则M∩N=（　　）‎ A．A{﹣1，2} B． C．{0，1} D．‎ ‎2.“a=3”是“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间，f（x）的最大值为　　．‎ ‎13.椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是　　．‎ ‎14.若函数，则与轴围成封闭图形的面积为 .‎ ‎15.从甲、乙、丙3名候选学生中选2名作为青年志愿者，则甲被选中的概率为　　．‎ 三、解答题 ‎16.已知f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）‎ ‎（Ⅰ）若f（x）的定义域和值域均为，求a的值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求a的取值范围．‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）求的单调递减区间；‎ ‎（2）将函数的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变,得到函数的图象,求函数在上的值域.‎ ‎18.数列{an}的前n项和记为Sn且满足Sn=2an﹣1，n∈N*；‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n+1anan+1，求{Tn}的通项公式；‎ ‎（3）设有m项的数列{bn}是连续的正整数数列，并且满足：lg2+lg（1+）+lg（1+）+…+lg（1+）=lg（log2am）．‎ 问数列{bn}最多有几项？并求出这些项的和．‎ ‎19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．‎ ‎20.已知椭圆的离心率是，过点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆截得的线段长为．（F1，F2分别为左，右焦点）‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过F2的直线l′交椭圆于不同的两点M，N，则△F1MN内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线l′方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎21.已知函数f（x）=ln（2x+a）﹣e2x﹣1．‎ ‎（1）若函数f（x）在x=处取得极值，求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当a≤1时，f（x）＜0，求x的取值范围．‎ 试卷答案 ‎1.C ‎2.A ‎3. A ‎4.D ‎5.D ‎ ‎6.C ‎7.A ‎8.C ‎9.D ‎10.A ‎11.（，2）‎ ‎12.a﹣‎ ‎13.‎ ‎14.‎ ‎15.‎ ‎16.【解答】解：f（x）=（x﹣a）2+5﹣a2‎ ‎（I）．由f（x）的对称轴是x=a知函数在递减，‎ 故，解可得a=2‎ ‎（II）由f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数得a≥2，‎ 当f（x1）、f（x2）分别是函数f（x）的最小值与最大值时不等式恒成立．‎ 故函数在区间上的最小值是f（a）=5﹣a2，‎ 又因为a﹣1≥（a+1）﹣a，所以函数的最大值是f（1）=6﹣2a，‎ 由|f（x1）﹣f（x2）|≤4知（6﹣2a）﹣（5﹣a2）≤4，解得2≤a≤3．‎ ‎17.（1） ；（2）.‎ ‎（1, 由,得.‎ ‎ 的单调递减区间为.‎ ‎（2）时，‎ ‎.‎ 考点：三角变换公式及正弦函数的图象和性质的综合运用.‎ ‎18.【解答】解：（1）∵Sn=2an﹣1，n∈N*；∴n=1时，a1=S1=2a1﹣1，解得a1=1；‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1），‎ 化为an=2an﹣1，∴数列{an}是等比数列，公比为2，首项为1．∴an=2n﹣1．‎ ‎（2）anan+1=2n﹣1•2n=．‎ ‎∴Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n+1anan+1‎ ‎=+…+（﹣1）n+1×4n]‎ ‎==．‎ ‎（3）由lg2+lg（1+）+lg（1+）+…+lg（1+）=lg（log2am）．‎ ‎∴××…×=log2am=m﹣1．‎ 又数列{bn}是连续的正整数数列，∴bn=bn﹣1+1．‎ ‎∴=m﹣1，又bm=b1+（m﹣1），‎ ‎∴mb1﹣3b1﹣2m=0，‎ ‎∴m==3+，由m∈N*，‎ ‎∴b1＞2，∴b1=3时，m的最大值为9．‎ ‎∴这些项的和=3+4+…+11=63．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列单调性、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎19.【解答】 证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．‎ 又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥BD，‎ 又∵PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC 所以BD⊥平面PAC． …4分 解：（Ⅱ）设AC∩BD=O．‎ 因为∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，AO=CO=．‎ 如图，以O为坐标原点，OB、OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则 P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0）．‎ 所以=（1，，﹣2），=（0，2，0）．‎ 设PB与AC所成角为θ，则 cosθ===． …8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知=（﹣1，，0）．‎ 设P（0，﹣，t） （t＞0），则=（﹣1，﹣，t）．‎ 设平面PBC的法向量=（x，y，z），则•=0， •=0．‎ 所以 令y=，则x=3，z=，‎ 所以m==（3，，）．‎ 同理，可求得平面PDC的法向量=（3，﹣，）．‎ 因为平面PBC⊥平面PDC，所以•=0，即﹣6+=0．解得t=．‎ 所以当平面PBC与平面PDC垂直时，PA=． …12分 ‎【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质，直线与平面垂直的判定，其中建立空间坐标系将直线与平面的位置关系问题，转化为向量问题是解答的关键．‎ ‎20.【解答】解：（1）由题知椭圆过点．‎ 由题可得：，解得：．‎ 所以，椭圆方程为：．‎ ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，‎ 设△F1MN的内切圆半径是R，则△F1MN的周长是4a=8，‎ ‎，因此最大，R就最大，‎ ‎．‎ 由题知，直线的斜率不为0，可设直线的方程为x=my+1，‎ 由得，（3m2+4）y2+6my﹣9=0，‎ 解得，‎ 则，令，则t≥1，‎ ‎=，‎ 设，f（t）在[1，+∞）上单调递增，‎ 所以，f（t）≥f（1）=4，，‎ 因为，所以，此时所求内切圆的面积最大值是，‎ 故直线方程为x=1时，△F1MN内切圆面积最大值是．‎ ‎21.【解答】解：（1）f′（x）=﹣2e2x﹣1，由已知得 f′（）=0，即：﹣1=0，‎ 所以a=0，…（1分）‎ 所以f（x）=ln2x﹣e2x﹣1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣2e2x﹣1，…（2分）‎ 由于f′（x） 在（0，+∞）上为减函数，而f′（）=0，所以当x∈（0，）时，f′（x）＞0；‎ 当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，‎ 所以f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）．‎ ‎（2）由于a≤1，所以ln（2x+a）≤ln（2x+1），所以f（x）≤ln（2x+1）﹣e2x﹣1，…（6分）‎ 令g（x）=ln（2x+1）﹣2x（x＞﹣），则g′（x）=，‎ 所以，当﹣＜x＜0时，g′（x）＞0，当x＞0时，g′（x）＜0，‎ 所以g（x）≤g（0）=0，即：ln（2x+1）≤2x …（8分）‎ 令h（x）=e2x﹣1﹣2x，则h′（x）=2（ e2x﹣1﹣1），‎ 所以，当x时，h′（x）＞0，当﹣时，h′（x）＜0，‎ 所以h（x）≥h（），即：e2x﹣1≥2x．…（10分）‎ 所以，对任意x，ln（2x+1）﹣e2x﹣1＜0，‎ 因此，当a≤1时，对任意x＞﹣，ln（2x+1）﹣e2x﹣1＜0，所以x的取值范围为（﹣，+∞） …（12分）‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性，考查导数知识的综合运用，考查学生转化问题的能力，属于中档题．‎