2017-2018学年山西省运城市康杰中学高二下学期期中数学文试题（解析版）

2017-2018学年山西省运城市康杰中学高二下学期期中数学文试题（解析版）

康杰中学2017—2018学年度第二学期期中考试 高二数学（文）试题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 已知为虚数单位，复数，则复数的虚部为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，‎ 所以复数的虚部为．选B．‎ ‎2. 某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅.”结论显然是错的，是因为 A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，分析的其大前提，以及小前提，不难得到结论．‎ 解：∵大前提的形式：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但是不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比．‎ ‎∴不符合三段论推理形式，‎ ‎∴推理形式错误，‎ 故选：C．‎ 点评：本题考查演绎推理，主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．‎ ‎3. 两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是 A. 48，49 B. 62，63 C. 75，76 D. 84，85‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知图形中座位的排列顺序，‎ 可得：被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗，‎ 由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，‎ 分析答案中的4组座位号，‎ 只有D符合条件．‎ 故选D ‎4. 用反证法证明某命题时，对结论“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为 A. 中至少有两个偶数或都是奇数 B. 都是奇数 C. 中至少有两个偶数 D. 都是偶数 ‎【答案】A ‎【解析】用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数 中恰有一个偶数”的否定为：“” 中“ 个、 个、 个偶数”即中至少有两个偶数或都是奇数，故选C.‎ ‎5. 已知的取值如下表：‎ 与线性相关，且线性回归直线方程为，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，‎ ‎∴样本中心为．‎ 又回归直线过点，‎ ‎∴，‎ 解得．选B．‎ ‎6. 如图是选修1－2第二章“推理与证明”的知识结构图(部分)，如果要加入知识点“分析法”，则应该放在图 A. “①”处 B. “②”处 C. “③”处 D. “④”处 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：首先对所画结构的每一部分有一个深刻的理解，从头到尾抓住主要脉络进行分解．然后将每一部分进行归纳与提炼，形成一个个知识点并逐一写在矩形框内，最后按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连，分析法是直接证明的一种方法，从而可得结论．‎ 解：分析法是直接证明的一种方法 故“分析法”，则应该放在“直接证明”的下位．‎ 故选C．‎ 点评：本题主要考查了结构图，解题关键是弄清分析法属于直接证明，属于基础题．‎ ‎7. 通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ 经计算的观测值. 参照附表，得到的正确结论是 附表：‎ A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎【答案】A ‎【解析】由列联表中的数据可得，‎ 故有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．选A．‎ ‎8. 下列参数方程中与方程表示同一曲线的是 A. (为参数) B. (为参数)‎ C. (为参数) D. (为参数)‎ ‎【答案】D ‎【解析】选项A中，消去方程 (为参数)中的参数可得，不合题意．‎ 选项B中，消去方程 (为参数)中的参数可得，但，故与方程不表示同一曲线，不合题意．‎ 选项C中，消去方程 (为参数)中的参数可得，但，故与方程不表示同一曲线，不合题意．‎ 选项D中，由于，故消去参数后得，且，故与方程表示同一曲线，符合题意．‎ 综上选D．‎ ‎9. 给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）‎ ‎①“若，则”‎ 类比推出“若, 则”；‎ ‎②“若，则” ‎ 类比推出“若，则”；‎ ‎③“若，则复数”‎ 类比推出“若，则”；‎ ‎④“若，则”‎ 类比推出“若是非零向量，则”.‎ 其中类比结论正确的个数是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于①，由复数知识可得类比正确．‎ 对于②，由于当两个复数不都为实数时，不能比较大小，故类比不正确，即②不正确．‎ 对于③，由可得，从而可得，所以类比正确，即③正确．‎ 对于④，由于表示与向量共线的向量，而表示与共线的向量，所以不一定正确，即类比不成立．‎ 综上可得①③正确．选B．‎ ‎10. 已知，，若复数满足，则的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴，‎ ‎∴复数表示的点在以为圆心，半径为的圆上，‎ ‎∴的最大值为．选C．‎ 点睛：‎ ‎（1）在复数中，只要把与向量对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．‎ ‎（2）解题中注意的几何意义是点z对应的点在以为圆心，半径为的圆上，故的最大值，即复数z对应的点到原点的距离是圆心到原点的距离加上半径．‎ ‎11. 分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设，且，求证：”“索”的“因”应是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因,即,故应选C．‎ 考点：分析法及推证格式．‎ ‎12. 已知函数, ，若对,，使成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得“对,，使成立”等价于“”．‎ ‎∵，当且仅当时等号成立．‎ ‎∴．‎ 在中，由，解得．‎ 令，‎ 则 ‎，（其中）．‎ ‎∴．‎ 由，解得，‎ 又，故，‎ ‎∴实数的取值范围是．选A．‎ 点睛：‎ ‎（1）对于求或型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如的函数只有最小值，形如的函数既有最大值又有最小值．‎ ‎（2）求函数的最值时要根据函数解析式的特点选择相应的方法，对于含有绝对值符号的函数求最值时，一般采用换元的方法进行，将问题转化为二次函数或三角函数的问题求解．‎ 二､填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分．将答案填在题中横线上．）‎ ‎13. 已知为虚数单位，复数在复平面内对应的点关于原点对称，且，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得复数对应的点为（2，-3），它关于原点的对称点为（-2,3），故 ‎，所以．‎ 答案：‎ ‎14. 若，则在①，‎ ‎②，③，‎ ‎④，⑤这五个不等式中，‎ 恒成立的不等式的序号是____________.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】对于①，由于同向不等式不能相减，（或举反例），故①不正确．‎ 对于②，根据同向不等式可以相加，故②正确．‎ 对于③，由于不等式不一定都为正不等式，不能两边相乘，故③不正确．‎ 对于④，由得，根据同向不等式的可加性知成立，即④正确．‎ 对于⑤，由于的符号不确定，故不等式不一定成立，即⑤不正确．‎ 综上可得② ④正确．‎ 答案：② ④‎ ‎15. 定义某种运算，运算原理如流程图所示，则式子的值为______. ‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】由题意得，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 答案：‎ ‎16. 已知曲线的参数方程是 (为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.若点的极坐标分别为和，直线与曲线相交于两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，则的值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】消去参数可得曲线的普通方程为；曲线的极坐标方程是，即为，故其直角坐标方程为．‎ 由题意得为圆直径的两个端点，故由.‎ 设射线的极坐标方程为，则射线的极坐标方程为或，‎ 又曲线的极坐标方程为，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 答案：‎ 点睛：‎ ‎（1）曲线的极坐标方程的常见命题角度：‎ ‎①求曲线的极坐标方程；②在极坐标下求点到直线的距离；③在极坐标下求线段的长度．‎ ‎（2）求解与极坐标有关的问题的主要方法 ‎①直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；‎ ‎②转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．‎ 三、解答题：（本题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17. 为了解心脑血管疾病是否与年龄有关，现随机抽取了50人进行调查，得到下列的列联表：‎ 患心脑血管 不患心脑血管 合 计 大于45岁 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 小于45岁 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 合 计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 试问能否在犯错的概率不超过5%的前提下，认为患心脑血管疾病与年龄有关？‎ 附表：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 参考公式：，其中 ‎【答案】见解析 ‎【解析】试题分析：‎ 根据列联表中的数据求得的值，然后判断此值是否大于3.841即可得到结论．‎ 试题解析：‎ 由列联表可得 ‎∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为患心脑血管疾病与年龄有关．‎ ‎18. 随着经济的发展，某城市市民的收入逐年增长，该城市某银行连续五年的储蓄存款（年底余额）如下表：‎ 年份 ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 储蓄存款（千亿元）‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎（I）求出关于的线性回归方程；‎ ‎（II）用所求的线性方程预测到2020年底，该银行的储蓄存款额为多少？‎ 参考公式： 其中 ‎ ‎【答案】（I）；（II）14.2千亿元.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（I）由于条件中的数据较大，故可采用引入新变量的方法，将数据减小．故令，结合所给数据求得，和，然后根据参考公式求得回归方程，最后在代换为原变量即可得到关于的线性回归方程．（II）在（I）中的回归方程中，令，可得，即为所求的估计值．‎ 试题解析：‎ ‎（I）令得到下表 ‎ 时间代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 由题意知：，，‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴z关于t的回归方程为 ‎∴ ，‎ 整理得，‎ ‎∴关于的线性回归方程为．‎ ‎（II）当时，，‎ ‎∴ 到2020年年底，该银行的储蓄存款额可达14.2千亿元．‎ 点睛：求线性回归直线方程的步骤 ‎(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；‎ ‎(2)求系数：公式有两种形式，，根据题目具体情况灵活选用；‎ ‎(3)求：；‎ ‎(4)写出回归直线方程．‎ 说明：当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果可确定选用公式的哪种形式求．‎ ‎19. 在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线，曲线.‎ ‎（I）求曲线及的直角坐标方程；‎ ‎（II）设为曲线上的动点，求点到上的点的距离最大值.‎ ‎【答案】（I）的直角坐标方程为；的直角坐标方程为；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（I）根据极坐标方程和代换公式可得所求的直角坐标方程．（II）求出圆心到直线的距离，加上半径长后即可得到所求的最大距离．‎ 试题解析：‎ ‎（I）把代入方程，‎ 得，即．‎ 由得，‎ 即，‎ 把代入上式可得．‎ ‎∴ 的直角坐标方程为，‎ ‎ 的直角坐标方程为 ‎ ‎（II）∵点到直线的距离，‎ ‎∴点到上点的距离最大值为．‎ ‎20. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（I）求曲线和的普通方程；‎ ‎（II）设，若曲线和交于两点，求及的值.‎ ‎【答案】（I）曲线的普通方程为；曲线的普通方程为；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（I）由参数方程消去参数可得曲线和的普通方程．（II）结合（I）中的结论，利用直线的参数方程中参数的几何意义求解即可．‎ 试题解析：‎ ‎（I）由 消去参数可得； ‎ 由消去参数得，即．‎ ‎∴曲线的普通方程为，曲线的普通方程为．‎ ‎（II）将（为参数）代入整理得 ‎，‎ 设对应参数分别为，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ 点睛：‎ ‎（1）涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．‎ ‎（2）经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2．线段AB的中点为M，点M所对应的参数为．注意以下几个常用的结论：①；②；③；④．‎ ‎21. 已知.‎ ‎（I）求不等式的解集；‎ ‎（II）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）或.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（I）根据分类讨论将不等式化为三个不等式组求解即可．（II）画出函数的图象，由图象求得函数的最小值为4，解不等式可得所求范围．‎ 试题解析：‎ ‎（I）不等式即为，等价于 ‎ ①或 ② 或③‎ 由①得；‎ 由②得；‎ 由③得此不等式组无解．‎ 综上．‎ ‎∴不等式的解集为．‎ ‎（II）由题意得，‎ 画出函数的图象如图所示：‎ ‎ ‎ 其中，‎ 由图象可得函数的最小值为4．‎ 由题意知，‎ 即 ， ‎ 解得或．‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎22. 已知均为正实数.‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）求证：.‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（I）将分式通分后，在分子中运用基本不等式后可得不等式，，，然后求和后利用基本不等式可得结论成立．（II）在所给不等式的每个分母中利用基本不等式进行化简，然后再利用基本不等式求解．‎ 试题解析：‎ ‎（I），‎ ‎∴． ‎ 同理②‎ ‎③‎ 由①+②+③得：，‎ 当且仅当时各个等号同时成立．‎ ‎∴ ．‎ ‎（II）∵ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 当且仅当时各个等号同时成立．‎ ‎∴．‎