【数学】山东省泰安市2020届高三四模试题（解析版）

【数学】山东省泰安市2020届高三四模试题（解析版）

山东省泰安市2020届高三四模数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得，所以.故答案为D.‎ ‎2.已知复数满足，为虚数单位，则等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以应选答案A．‎ ‎3.若向量满足：则 A. 2 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意易知：即，，即.‎ 故选B.‎ ‎4.已知抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，OF为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则p=（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，，在抛物线上，代入抛物线方程可得，‎ ‎，，‎ 故选：B ．‎ ‎5.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则“Sn＞nan对n≥2恒成立”是“a3＞a‎4”‎的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】设等差数列的公差为，‎ 当时，因为等价于等价于等价于等价于，等价于等价于，‎ 所以等价于，‎ 所以“”是“”的充分必要条件.‎ 故选：C.‎ ‎6.函数（且）的图象可能为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.‎ ‎7.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若实数满足，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】当时，，，‎ 因为是定义在上的奇函数，所以，‎ 即.因此，‎ 做出的图象如下：‎ 在上单调递增，又，‎ 由得：，解得：.‎ 故选：A.‎ ‎8.如图，在三棱锥A—BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，连接，取的中点，连接，‎ 因为是中点，则，‎ 所以（或其补角）就是异面直线所成的角，‎ 因为AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC的中点，‎ 所以,‎ 因此有，‎ 同理，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9.下列说法正确的是（ ）‎ A. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6：5：5：4，则应从一年级中抽取90名学生 B. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品概率为 C. 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得=3，=3．5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是=0.4x+2.3‎ D. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 ‎【答案】ABC ‎【解析】A．由分层抽样，应制取人数为，A正确；‎ B．恰好取到1件次品的概率为，B正确；‎ C．∵，直线=0.4x+2.3过中心点，可能是回归直线方程，C正确；‎ D．一红球一黑球这个事件即是至少有一个红球，也是至少有一个黑球，因此它们不互斥，D错误．‎ 故选：ABC．‎ ‎10.已知定义在()上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】CD ‎【解析】设，则，‎ 因为()时，，‎ 所以()时，，‎ 因此在()上单调递减，所以，，‎ 即，.‎ 故选：CD.‎ ‎11.设函数g(x)=sinωx(ω＞0)向左平移个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）‎ A. f(x)的图象关于直线对称 B. f(x)在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f(x)在(0，2π)上有且只有2个极小值点 C. f(x)在上单调递增 D. ω的取值范围是[)‎ ‎【答案】CD ‎【解析】依题意得， ，如图：‎ 对于A，令，，得，，所以的图象关于直线对称，故A不正确；‎ 对于B，根据图象可知，，在有3个极大值点，在有2个或3个极小值点，故B不正确，‎ 对于D，因为，，所以，解得，‎ 所以D正确；‎ 对于C，因为，由图可知在上递增，因为，所以，所以在上单调递增，故C正确；‎ 故选：CD.‎ ‎12.如图，在矩形ABCD中，M为BC的中点，将△AMB沿直线AM翻折成△AB‎1M，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）‎ A. 存在某个位置，使得CN⊥AB1‎ B. CN的长是定值 C. 若AB=BM，则AM⊥B1D D. 若AB=BM=1，当三棱锥B1－AMD的体积最大时，三棱锥B1－AMD的外接球的表面积是4π ‎【答案】BD ‎【解析】对于：如图1，取中点，连接交与，‎ 则，，‎ 如果，可得到，‎ 又，且三线，，共面共点，不可能，则错误．‎ 对于：如图1，可得由（定值），‎ ‎（定值），（定值），‎ 由余弦定理可得，‎ 所以是定值，则正确．‎ 对于：如图2，取中点，连接，，‎ 由题意得面，即可得，‎ 从而，由题意不成立，可得错误．‎ 对于：当平面平面时，三棱锥的体积最大，‎ 由题意得中点就是三棱锥的外接球的球心，‎ 球半径为1，表面积是，则正确．‎ 故选：BD．‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，如图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中的人数为 _________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，设总的人数为n,则所以第3小组的人数为人.故答案为18.‎ ‎14.的展开式中x3的系数为_______．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】的通项为 令，此时的系数为 令，此时的系数为 则的系数为 故答案为：.‎ ‎15.已知函数，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，当时，，‎ 所以，‎ 当时，，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎16.已知直线l：3x+4y+m=0，圆C：x2+y2－4x+2=0，则圆C的半径r=_____；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB=90°，则实数m的取值范围是____．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】由圆，得，所以圆的半径.‎ ‎①当直线l：3x+4y+m=0与圆C：x2+y2－4x+2=0有交点时，显然满足题意，‎ 此时，解得，‎ ‎②当直线l：3x+4y+m=0与圆C：x2+y2－4x+2=0无交点时，或，‎ ‎“在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB=90°”等价于“直线上存在点，过作圆的两条切线的夹角大于等于90°”，‎ 设两个切点为、，则，所以，‎ 所以，所以，‎ 根据题意可得直线上存在点，使得，等价于，‎ 又的最小值为圆心到直线的距离，‎ 所以，解得.又或，‎ 所以或，‎ 由①②可得实数m的取值范围是.‎ 故答案为：；.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③的面积为 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b－c=2，cosA=， ．‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）求的值．‎ 解：方案一：选择条件①：‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ ‎∵‎ ‎∴bc=24 ‎ 由解得或（舍去）‎ ‎∴‎ ‎∴a=8 ‎ ‎（2）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∴‎ 方案二：选择条件②：‎ ‎（1）由解得或（舍去）‎ ‎∴‎ ‎∴a=8 ‎ ‎（2）同方案一 方案三：选择条件③：‎ ‎（1）∵‎ ‎∴‎ ‎∴bc=24 ‎ 由解得或（舍）‎ ‎∴‎ ‎∴a=8‎ ‎（2）同方案一.‎ ‎18.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．‎ ‎（1）求证：AE⊥平面PBC；‎ ‎（2）试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°．‎ ‎（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD ‎∴PA⊥BC ‎∵ABCD为正方形 ‎∴AB⊥BC ‎ 又 PA∩AB=A，PA，AB平面PAB ‎∴BC⊥平面PAB ‎∴AE平面PAB ‎∴AE⊥BC ‎ ‎∵PA=AB，E为线段PB的中点 ‎∴AE⊥PB 又 PB∩BC=B，PB，BC平面PBC ‎∴AE⊥平面PBC ‎ ‎（2）解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，‎ 设正方形ABCD的边长为2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）P（0，0，2）E（1，0，1）‎ ‎∴，， ‎ 设F（2，λ，0）（0≤λ≤2），‎ ‎∴‎ 设平面AEF的一个法向量为 则 ‎∴‎ 令y1=2，则 ‎∴ ‎ 设平面PCD的一个法向量为 则 ‎∴‎ 令y2=1，则 ‎∴‎ ‎∵平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°，‎ ‎∴，‎ 解得λ=1，‎ ‎∴当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°‎ ‎19.已知等差数列{an}的公差d＞0，a2=7，且a1，a6，‎5a3成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足，且b1=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ 解：（1）∵a1，a6，‎5a3成等比数列 ‎∴‎ ‎∴‎ 整理得 ‎∴或 ‎ 当时，‎ 由解得，满足题意 当时，‎ 由解得，不合题意，‎ ‎∴ ‎ ‎（2）由（1）知，当n≥2时，‎ ‎∵，‎ ‎∴当n≥2时，，‎ 又，∴，，‎ 当 ‎.‎ ‎20.某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度(单位：天)数据，整理如下：‎ 改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36‎ ‎（1）完成下面的列联表，并判断能否有99％的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异?‎ 超过30‎ 不超过30‎ 改造前 改造后 ‎（2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费，保障维护费两种．对生产设备设定维护周期为T天(即从开工运行到第kT天，k∈‎ N*)进行维护．生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费．经测算，正常维护费为0.5万元／次；保障维护费第一次为0.2万元／周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元．现制定生产设备一个生产周期(以120天计)内的维护方案：T=30，k=1，2，3，4．以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值．‎ 附：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 解：（1）列联表为：‎ 超过30‎ 不超过30‎ 改造前 ‎5‎ ‎15‎ 改造后 ‎15‎ ‎5‎ 有99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异. ‎ ‎（2）由题知，生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为.‎ 设一个生产周期内需保障维护的次数为，则；一个生产周期内的正常维护费为万元，保障维护费为万元.‎ 一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为万元.‎ 设一个生产周期内的生产维护费为X，则X的所有可能取值为2，2.2，2.6，3.2，4.‎ ‎ ‎ 所以，的分布列为 ‎2‎ ‎2.2‎ ‎2.6‎ ‎3.2‎ ‎4‎ 一个生产周期内生产维护费的均值为2.275万元.‎ ‎21.已知椭圆：的左、右顶点分别是双曲线：的左、右焦点，且与相交于点()．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线：与椭圆交于A，B两点，以线段AB为直径的圆是否恒过定点?若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由．‎ 解：（1）将代入 解得，.‎ 将代入解得，‎ 椭圆的标准方程为：；‎ ‎（2）设，‎ 由整理得 ‎，‎ 法一：由对称性可知，以AB为直径的圆若恒过定点，是定点必在y轴上.‎ 设定点为，则 ‎，解得，‎ 以线段AB为直径的圆恒过定点 ‎ 法二：设定点为，则 ‎…‎ 解得，‎ 以线段AB为直径的圆恒过定点.‎ ‎22.已知函数，是f(x)的导函数．‎ ‎（1）证明：当x＞0时，f(x)＞0；‎ ‎（2）证明：在()上有且只有3个零点．‎ ‎（1）证明：‎ 令，则，‎ 当时，，所以在上单调递增，‎ 所以当时，，所以在上单调递增，‎ 又，‎ 所以当时，.‎ ‎（2）证明：，‎ 令，得，即 令，则，‎ 是奇函数，且，即0是的一个零点，‎ 令，则，‎ 当时，，所以在上单调递增，‎ 令，则在上单调递增，在上单调递减.‎ 由（1）知：当时，，即，‎ 令，则，‎ 当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减，‎ 又，‎ 所以时，恒成立，即时，恒成立，‎ 所以当时，，‎ 所以当时，恒成立，‎ 当时，，‎ 所以在上增函数，且，，‎ 所以在上有且只有一个零点，设为，所以，‎ 因为是奇函数，，‎ 所以在上的零点为，‎ 所以在上的零点为，，，‎ 所以在上有且只有3个零点.‎ 所以在上有且只有3个零点.‎