数学文卷·2018届福建省三明市第一中学高三上学期第一次月考（2017

数学文卷·2018届福建省三明市第一中学高三上学期第一次月考（2017

‎2017—2018高三上学期第一次月考 数学（文科）试卷 ‎(考试时间：120分钟 总分：150分)‎ 参考公式和数表:‎ ‎1、独立性检验可信度表：‎ P()‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0. 001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.84‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.83‎ 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分，每一小题只有一个选项正确）‎ ‎1．若变量满足约束条件则的最大值和最小值的和为(　　)‎ A．7 B．‎6 C．5 D．3‎ ‎2. 已知，且，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 已知函数为偶函数，其图像与直线相邻的两个交点的横坐标分别为且则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 已知向量，，若（）∥（），则实数的值为(　　)‎ A．－ B. C．－3 D．3‎ ‎5．已知集合，是虚数单位，Z为整数集，则集合Z∩中的元素个数是(　　)‎ A．3 B．‎2 C．1 D．0‎ ‎6. 设，，，则(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 下列说法：‎ ‎①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；‎ ‎②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；‎ ‎③线性回归方程必过(，)；‎ ‎④在一个2×2列联表中，由计算得，则有以上的把握认为这两个变量间有关系．‎ 其中错误的个数是(　　)‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3 ‎ ‎8. 如图，在中，，，‎ 若，则的值为(　　)‎ A．－3 B．－‎2 C．2 D．3‎ ‎9. 设在(－∞，＋∞)上单调递增；，则是的（ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．以上都不对 ‎10. 对于问题“已知关于的不等式的解集为(－1,2)，解关于x的不等式”，给出一种解法：由的解集为(－1,2)，得的解集为(－2,1)，即关于的不等式的解集为(－2,1)．思考上述解法，若关于的不等式的解集为(－1，－)∪(，1)，则关于的不等式的解集为(　　)‎ A．(－3，－1)∪(1,2) B．(1,2) C．(－1,2) D．(－3,2)‎ ‎11.在中，角的对边分别为，且，，则角等于(　　)‎ A. B.或 C. D. ‎12. 如图，有四个平面图形分别是三角形、平行 四边形、直角梯形、圆，垂直于轴的直线：‎ 经过原点向右平行移动，在 移动过程中扫过平面图形的面积为(图中阴影部分), 若函数的大致图象如图所示， 那么平面图形的形状不可能是(　　)‎ ‎ ‎ 第II卷 非选择题 二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入相应的位置）‎ ‎13．已知，，与的夹角为，‎ 则=________．‎ ‎14. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则 输出的S的值为________．‎ ‎15. 已知函数，当时，取得 最小值，则等于__________．‎ ‎16. 定义一种向量运算“⊗”：‎ ‎⊗＝(，是任意的两个 向量)．对于同一平面内的向量，，，，给出下列结论：‎ ‎①⊗＝⊗；‎ ‎②(⊗)＝()⊗ (∈R)；‎ ‎③(＋)⊗＝⊗＋⊗；‎ ‎④若是单位向量，则|⊗|≤||＋1.‎ 以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17. 已知函数，∈R.‎ ‎(1)求函数的最小正周期；‎ ‎(2)求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎18．已知向量，，函数的最大值为6.‎ ‎(1)求A的大小；‎ ‎(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，作出函数在的图像．‎ ‎19. 某厂生产某种产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本为万元，当年产量不足千件时，万元)；当年产量不少于千件时， (万元)．通过市场分析，若每件售价为元时，该厂一年内生产的商品能全部销售完．‎ ‎(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式；‎ ‎(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？‎ ‎20. 在中，角的对边分别为，已知 ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若，且的面积为，求的值．‎ ‎21. 设函数.‎ ‎（Ⅰ）若时，取得极值，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求的取值范围；‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎[选修4－4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。曲线的极坐标方程为 ‎（1）为曲线的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程； （2）设点A的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值.‎ ‎ [选修4－5：不等式选讲]‎ ‎23. (1)关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围；‎ ‎(2)设，，∈R，且，求的取值范围．‎ ‎2017—2018高三上学期第一次月考 数学（文科）试卷答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D A A C C B D C A D C ‎1. 解：在平面直角坐标系中，作出变量x，y的约束条件 的区域，如图阴影部分所示，由图可知，‎ 当z＝2x＋y过点A(1,0)时，z最小，zmin＝2，当z＝2x＋y 过点B(2,0)时，z最大，zmax＝4，所以z＝2x＋y的最大值和 最小值分别为4和2，它们的和为6.‎ ‎2．解： 由得，,‎ ‎ ‎ ‎3.解：由为偶函数得出，落在y轴上，‎ 由图像与直线相邻的两个交点的横坐标分别为且得，周期为，所以 ‎4.解：由a＝(1,2)，b＝(－3,2)，得ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，则由(ka＋b)∥(a－3b)，得(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，所以k＝－.‎ ‎5. 解：由已知得M＝{i，－1，－i,}，Z为整数集，∴Z∩M＝{－1}，即集合Z∩M中有1个元素．‎ ‎6.解：∵a＝sin 33°，b＝cos 55°＝sin 35°，c＝tan 35°＝，又0b>a.‎ ‎7．解：一组数据都加上或减去同一个常数，数据的平均数有变化，方差不变(方差是反映数据的波动程度的量)，①正确；回归方程中x的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程 ＝3－5x，当x增加一个单位时，y平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的定义知，线性回归方程 ＝ x＋ 必过点(，)，③正确；因为K2＝13.079>6.635，故有99%以上的把握认为这两个变量间有关系，④正确．故选B.‎ ‎8．解：在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝，即＝，所以b2＋c2－a2＝bc，又b2＝a2＋bc，所以c2＋bc＝bc，所以c＝(－1)b，∴根据充分必要条件的定义可判断：p是q的必要不充分条件.‎ ‎11.解：关于x的不等式＋<0的解集为(－1，－)∪(，1)，得＋<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)，即关于x的不等式＋<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)．‎ ‎12. 解：由函数图象可知，阴影部分的面积随t的增大而增大，图象都是曲线，故选项A、B、D符合函数的图象，而C中刚开始的图象符合，当t到梯形上底边时图象符合一次函数的图象.‎ 二、填空题 ‎13. 2 解：作图形可以得出与，-2构成的三角形是等边三角形，所以=2.‎ ‎14.1 解:　输入n的值为3，第1次循环：i＝1，S＝－1，i－1，所以x＋1>0，>0，所以由基本不等式，得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝9，即x＋1＝3，x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.‎ ‎16. ①④ 解：当a，b共线时，a⊗b＝|a－b|＝|b－a|＝b⊗a，‎ 当a，b不共线时，a⊗b＝a·b＝b·a＝b⊗a，故①是正确的；‎ 当λ＝0，b≠0时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0－b|≠0，故②是错误的；‎ 当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③是错误的；‎ 当e与a不共线时，|a⊗e|＝|a·e|<|a|·|e|<|a|＋1，当e与a共线时，‎ 设a＝ue，u∈R，|a⊗e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故④是正确的．‎ 综上，结论一定正确的是①④.‎ 三、解答题 ‎17.解：(1)f(x)＝sin 2x·cos＋cos 2x·sin＋sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x ————3分 ‎＝sin 2x＋cos 2x＝sin. ————5分 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π. ————6分 ‎(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．————8分 又f＝－1，f＝，f＝1， ————11分 故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1. ————12分 ‎18解：(1) ＝Asin xcos x＋cos 2x＝A(sin 2x＋cos 2x)‎ ‎＝Asin(2x＋)．——————2分 因为f(x)的最大值为6，A>0，所以A＝6.————3分 (2)由(1)得f(x)＝6sin(2x＋)．将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝6sin[2(x＋)＋]＝6sin(2x＋)的图象；————4分 再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y＝6sin(4x＋)的图象．因此————5分 ‎6‎ ‎-6‎ ‎ ———11分 的图像如右图所示.‎ ‎ ————————12分 ‎19.解：(1)当0950.————10分 综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1 000，————11分 即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．————12分 ‎20. 解　(1)由题意得，∵A＋B＋C＝π，∴sin A＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)———1分 ‎∴sin Bcos C＋sin Ccos B－sin Ccos B－sin Bsin C＝0，————2分 即sin B(cos C－sin C)＝0，————3分 ‎∵01，即a的取值范围是(1，＋∞)．————5分 ‎(2)由柯西不等式，得[42＋()2＋22]·[()2＋()2＋()2]‎ ‎≥(4×＋×＋2×)2＝(x＋y＋z)2，————7分 即25×1≥(x＋y＋z)2.∴5≥|x＋y＋z|，∴－5≤x＋y＋z≤5.————9分 ‎∴x＋y＋z的取值范围是[－5,5]．————10分