数学理·福建省漳州市第一中学2017届高三上学期期中考试数学（理）试卷 Word版含解析
2016-2017学年福建省漳州市第一中学高三上学期期中考试数学（理）
一、选择题：共12题
1．全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},集合B={1,3,5},则图中阴影部分所表示的集合是
A.{1} B.{1,2,3,5} C.{2,3,5} D.{4}
【答案】C
【解析】本题考查集合的基本运算.由Venn图可得,图中阴影部分所表示的集合为{2,3,5}.选C.
2．集合A=｛y∣y=x-2｝,B=｛y∣y=｝, 则x∈A是x∈B的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分不必要条件
【答案】A
【解析】本题考查充要条件.由题意得,；是的充分不必要条件;所以x∈A是x∈B的充分不必要条件.选A.
3．命题:x∈Z,x2∈Z的否定是命题
A.x∈Z,x2∉Z B.x∉Z,x2∉Z
C.x∈Z,x2∈Z D.x∈Z,x2∉Z
【答案】D
【解析】本题考查全称量词与特称量词.命题:x∈Z,x2∈Z的否定是命题x∈Z,x2∉Z.选D.
4．复数+i的共轭复数的虚部是
A.1 B.－1 C.i D.i
【答案】A
【解析】本题考查复数的概念与运算.复数+i==,其共轭复数为,所以复数+i的共轭复数的虚部是1.选A.
5．若函数y=f(2x)的定义域是[1,2],则函数f(log2x)的定义域是
A.[1,2] B.[4,16] C.[0,1] D.[2,4]
【答案】B
【解析】本题考查函数的定义域,指数、对数函数.函数y=f(2x)的定义域是[1,2],所以,;在函数f(log2x)中,,解得;即函数f(log2x)的定义域是[4,16].选B.
6．函数的图象大致是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题考查函数的图像.函数中,排除A,C;当时,,排除B;选D.
7．已知f(x+1)为偶函数,则函数y=f(2x)的图象的对称轴是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查函数的图像与性质.f(x+1)为偶函数,所以f(x)的对称轴是;令,得;即函数y=f(2x)的图象的对称轴是.选B.
8．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象一段如图,则f(2016)等于
A.-1 B.- C. D.1
【答案】A
【解析】本题考查三角函数的图像与性质.由图得A=-2;=3,即,得;所以;而过点,即,而|φ|<π,所以,所以;所以.选A.
9．已知△ABC中内角A为钝角,则复数(sinA-sinB)+i(sinB-cosC)对应点在
A.第Ⅰ象限 B.第Ⅱ象限 C.第Ⅲ象限 D.第Ⅳ象限
【答案】D
【解析】本题考查复数的概念.由题意令:,;则sinA-sinB>0，sinB-cosC<0,即复数(sinA-sinB)+i(sinB-cosC)对应点在第Ⅳ象限.选D.
10．向量=(2,3),,||=,则等于
A.(-2,3) B.(-3,2) C.(3,-2) D.(-3,2)或(3,-2)
【答案】D
【解析】本题考查向量的数量积.因为,所以;选项A,,排除A;选项B,, ||=,满足题意,排除C;选项D,若等于(3,-2),, ||=,满足题意,选D.
11．在等差数列{an}中,若S9=18,Sn=240,an-4 =30,则n的值为
A.14 B.15 C.16 D.17
【答案】B
【解析】本题考查等差数列.因为{an}为等差数列,所以,即;所以,解得n的值为15.选B.
【备注】等差数列中，.
12．定义在R上函数f(x)满足xf'(x)>f(x)恒成立,则有
A.f(-5)>f(-3) B.f(-5)
5f(-3) D.3f(-5)<5f(-3)
【答案】C
【解析】本题考查导数在研究函数中的应用.构造函数,则;而xf'(x)>f(x),所以,即,所以函数在R上单增;所以,即3f(-5)>5f(-3).选C.
二、填空题：共4题
13．已知A(1,0),B(0,1)在直线mx+y+m=0的两侧,则m的取值范围是_______．
【答案】-1a3.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)数列{bn}中,bn=log2an, 求数列{an·bn}的前n项和Tn.
【答案】(Ⅰ)由已知a4+a5+a6=14,∴a5=4
又数列{an}成等比,设公比q,则+4q=10,∴q=2或(与a4>a3矛盾,舍弃)，∴q=2；
即an=4×2n-5=2n-3;
(Ⅱ)bn=n-3,∴an·bn=(n-3)×2n-3,
Tn=-2×2-2-1×2-1+0+…+(n-3)×2n-3, 2Tn= -2×2-1-1×20+0+…+(n-3)×2n-2,
相减得Tn=2×2-2-(2-1+20+…+2n-3)+(n-3)×2n-2=-(2n-2-)+(n-3)×2n-2=(n-4)×2n-2+1
【解析】本题考查等比数列,数列的通项与求和.(Ⅰ)求得a5=4,q=2；即an=4×2n-5=2n-3;(Ⅱ)求得an·bn=(n-3)×2n-3,错位相减得Tn=(n-4)×2n-2+1
18．已知△ABC的面积S满足3≤S≤3且的夹角为α.
(Ⅰ)求α的取值范围;
(Ⅱ)求f(α)=sin2α+2sinαcosα+3cos2α的最小值.
【答案】(Ⅰ)由题意知,
，即
是的夹角,,.
(Ⅱ)f(α)=1+sin2α+1+cos2α=2+sin(2α+)
,,即当时有最小值.
的最小值是.
【解析】本题考查平面向量的数量积,三角形的面积公式,二倍角公式,三角恒等变换.(Ⅰ)由得,,.(Ⅱ)三角恒等变换得f(α)=2+sin(2α+),当时有最小值.
19．如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都为a,P为线段A1B上的动点.
(Ⅰ)试确定A1P:PB的值,使得PC⊥AB;
(Ⅱ)若A1P:PB=2:3,求二面角P-AC-B的大小.
【答案】法一:
(Ⅰ)当PC⊥AB时,作P在AB上的射影D. 连结CD.
则AB⊥平面PCD,∴AB⊥CD,∴D是AB的中点,又PD//AA1,∴P也是A1B的中点,即A1P:PB=1.
反之当A1P:PB=1时,取AB的中点D’,连接CD’、PD’.
∵DABC为正三角形,∴CD'⊥AB. 由于P为A1B的中点时,PD'//AA1
∵AA1⊥平面ABC,∴PD'⊥平面ABC,∴PC⊥AB.
(Ⅱ)当A1P:PB=2:3时,作P在AB上的射影D. 则PD⊥底面ABC.
作D在AC上的射影E,连结PE,则PE⊥AC.∴∠DEP为二面角P-AC-B的平面角.
又∵PD//AA1,∴,∴.
∴DE=AD·sin60°=a,又∵.
∴tan∠PED==,∴P-AC-B的大小为∠DEP= 60°.
法二
以A为原点,AB为轴,过A点与AB垂直的直线为轴,AA1为轴,建立空间直角坐标系;
如图所示,设,则.
(Ⅰ)由得,
即,∴,即为A1B的中点,
也即A1P:PB=1时,PC⊥AB.
(Ⅱ)当A1P:PB=2:3时,P点的坐标是. 取.
则,.
∴是平面PAC的一个法向量.又平面ABC的一个法向量为.
∴cos<,>==,∴二面角P-AC-B的大小是60°.
【解析】本题考查线面垂直,空间角,空间向量的应用.建立恰当的空间直角坐标系;(Ⅰ)由得,即为A1B的中点,即A1P:PB=1时,PC⊥AB.(Ⅱ)当A1P:PB=2:3时,.是平面PAC的一个法向量.平面ABC的一个法向量.∴cos<,>==,∴二面角P-AC-B的大小是60°.
20．设动点P(x,y)(y≥0)到定点F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1,记点P的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)设圆M过A(0,2),且圆心M在曲线C上,EG是圆M在x轴上截得的弦,试探究当M运动时,弦长|EG|是否为定值?为什么?
【答案】(Ⅰ)依题意知,动点P到定点F(0,1)的距离等于P到直线y=-1的距离,
曲线C是以原点为顶点,F(0,1)为焦点的抛物线;∵,∴p=2;
∴曲线C方程是x2=4y
(Ⅱ)设圆的圆心为M(4t,4t2),半径r2=16t2+(4t2-2)2=16t4+4,
弦长|EG|=2=2=4为定值
【解析】本题考查点的轨迹,圆、抛物线的标准方程.(Ⅰ)由抛物线的定义得:p=2,∴曲线C:x2=4y.(Ⅱ)设圆心M(4t,4t2),半径r,弦长|EG|=2=2=4为定值.
21．已知函数f(x)=alnx-bx2图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若方程f(x)+m=0在内有两个不等实根,求m的取值范围(其中e为自然对数的底,e≈2.7).
【答案】(Ⅰ)．
∴,且．
解得a＝2,b＝1．
(Ⅱ),令,
则,令,得x＝1(x＝－1舍去)．
在内,当x∈时,h’(x)>0,∴h(x)是增函数;
当x∈时,h’(x)<0,∴h(x)是减函数．
则方程h(x)=0在内有两个不等实根的充要条件是,
即1
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