专题01 三角函数与解三角形（直通高考）-备战2018年高考之数学（理）解答题高分宝典

专题01 三角函数与解三角形（直通高考）-备战2018年高考之数学（理）解答题高分宝典

专题01三角函数与解三角形 ‎1．（2017·浙江卷）已知函数．‎ ‎（1）求的值．‎ ‎（2）求的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎【答案】（1）2；（2）最小正周期为，单调递增区间为．‎ ‎．‎ 所以的最小正周期是．‎ 由正弦函数的性质得 ‎，‎ 解得 ‎，‎ 所以，的单调递增区间是．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．‎ ‎2．（2017·新课标Ⅰ卷理）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为. ‎ ‎（1）求sin Bsin C；‎ ‎（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎（2）由题设及（1）得，即.‎ 所以，‎ 故.‎ 由题设得，即.‎ 由余弦定理得，即，得.‎ 故的周长为.‎ ‎【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.‎ ‎3．（2017·江苏卷）已知向量 ‎（1）若a∥b，求的值；‎ ‎（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）时，取得最大值3；时，取得最小值．‎ ‎【解析】（1）因为，，a∥b，‎ 所以．‎ 若，则，与矛盾，故．‎ 于是．‎ 又，‎ 所以．‎ ‎4．若函数的部分图象如下图所示.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由题图得，，，解得，‎ 于是由，得．‎ ‎∵，即，‎ ‎∴，即，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎5．已知向量，.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）令，把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎，‎ 把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），得到的图象，再把所得图象沿轴向左平移个单位，得到的图象，‎ 由得，‎ 的单调递增区间是.‎ ‎6．已知的三个内角对应的边分别为，且.‎ ‎（1）证明：成等差数列；‎ ‎（2）若的面积为，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）因为，‎ 所以由正弦定理得，即.‎ 在中，且，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以.‎ 又因为，‎ 所以.‎ 所以成等差数列.‎ ‎（2）因为，‎ 所以.‎ 所以，当且仅当时取等号. ‎ 所以的最小值为.‎ ‎7．如图，在中，，点在边上，，为垂足.‎ ‎（1）若的面积为，求的长；‎ ‎（2）若，求角的大小.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）∵的面积为，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ 在中，由正弦定理可得.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎【名师点睛】此题主要考查了正弦定理、余弦定理、以及三角恒等变换中倍角公式在解三角形中的应用，属于中档题型，也是常考考点.在解决此类问题的过程中，常将所求角、边与已知的角、边转化集中到同一个三角形，再运用三角公式进行恒等变形及运算，以已知角为线索，寻找合适的正弦定理、余弦定理，从而解决问题.‎ ‎8．已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期及在区间上的值域；‎ ‎（2）在中，，.若，求的面积.‎ ‎【答案】（1），值域是；（2）或.‎ ‎.‎ 的最小正周期为；‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，,‎ ‎∴在区间上的值域是.‎ ‎（2）由得，即，‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴或，‎ ‎∴的面积为或.‎ ‎9．已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）若，且的最小值是，求实数的值.‎ ‎【答案】（1），单调递增区间为；（2）.‎ ‎.‎ ‎∴，‎ 由，得，‎ ‎∴函数的单调递增区间为.‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知不相符；‎ ‎②当时，当且仅当时，取得最小值，由已知得，‎ 解得；‎ ‎【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，二倍角公式，两角和与差的正、余弦公式，考查了转化思想与分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.‎ ‎（1）求解关于三角函数的图象与性质的问题时，一定要将函数解析式化简为（）的形式，再根据正弦（余弦）函数的性质求解即可；‎ ‎（2）化简可得，可以利用换元法将此式变形为，，然后利用对称轴与定义域之间的关系进行讨论，即分、、三种情况讨论求解即可.‎ ‎10．在海岛上有一座海拔的山峰，山顶设有一个观察站，有一艘轮船按一固定方向作匀速直线航行，上午时，测得此船在岛北偏东、俯角为的处，到时，又测得该船在岛北偏西、俯角为的处.‎ ‎（1）求船的航行速度；‎ ‎（2）求船从到行驶过程中与观察站的最短距离.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 在中，，‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴船的航行速度为.‎ ‎（2）作于点当船行驶到点时，最小，从而最小，‎ 此时，，‎ ‎，‎ 船在行驶过程中与观察站的最短距离为.‎