专题66 古典概型的方法破析-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

专题66 古典概型的方法破析-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

‎ 考纲要求:‎ ‎1.事件与概率 ‎(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的 区别.‎ ‎(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.‎ ‎2.古典概型 ‎(1)理解古典概型及其概率计算公式.‎ ‎(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.‎ 基础知识回顾:‎ ‎1、概率的有关概念：‎ ‎①随机事件和随机试验是两个不同的概念：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，条件每实现一次，叫做一次试验，如果试验结果预先无法确定，这种试验就是随机试验．‎ ‎②频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率．概率是频率的近似值，两者是不同概念。‎ ‎③基本事件空间：在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基本事件，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，通常用大写希腊字母Ω表示．‎ ‎④事件的关系与运算：‎ 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件 A包含于事件B)‎ A⊆B 相等关系 若B⊇A且A⊇B A=B 并事件 ‎(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当A发生或事件B发生，称此事件 为事件A与事件B的和事件 A∪B(或A＋B)‎ 交事件 ‎(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当A发生且事件B发生，则称 此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B(或AB)‎ 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥 A∩B＝∅‎ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件 A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅；P(A∪B)＝‎ P(A)＋P(B)＝1‎ 其中，互斥事件与对立事件的区别与联系是：互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．‎ 2、 古典概型 ‎（1）定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，‎ ‎ ①有限性试：验中所有可能出现的基本事件只有有限个；‎ ‎ ②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等，简称古典概型．‎ ‎ （2）概率共式：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.从集合的角度去看待古典概型，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．故P(A)＝＝.‎ 应用举例:‎ 类型一、求基本事件常用方法 例1　一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两个球．‎ ‎(1)共有多少个基本事件？(2)两个都是白球包含几个基本事件？‎ 解析　(1)解法一(采用列举法)‎ ‎ 分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10个(其中(1,2)表示摸到1号，2号)．‎ 例2．用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，写出：‎ 图1‎ ‎(1)试验的基本事件；(2)事件“3个矩形颜色都相同”；(3)事件“3个矩形颜色都不同”．‎ ‎ 解析：(1)所有可能的基本事件共27个．‎ ‎ ‎图2‎ ‎ (2)由图可知，事件“3个矩形都涂同一颜色”包含以下3个基本事件：红红红，黄黄黄，蓝蓝蓝．‎ ‎ (3)由图可知，事件“3个矩形颜色都不同”包含以下6个基本事件：红黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红．‎ ‎ 点评：解决古典概型问题首先要搞清所求问题是否是古典概型问题，其判断依据是：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．其次要搞清基本事件的总数以及所求事件中包含的基本事件的个数，然后利用古典概型的概率公式求解．‎ 类型二、古典概型的求法 例3【2018届江西省宜春昌黎实验学校高三第二次段考】五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全 相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 例4【2017课标II，文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点评：计算古典概型事件的概率三步骤 步骤一：算出基本事件的总个数n； 步骤二：求出事件A所包含的基本事件个数m；‎ 步骤三：代入公式求出概率P.‎ 类型三、古典概型与其他知识的交汇 ‎(1)古典概型与平面向量相结合 例5．已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x随机选自集合，y随机选自集合.‎ ‎(1)求a∥b的概率； (2)求a⊥b的概率．‎ ‎ 解析：由题意，得(x，y)所有的基本事件为：‎ ‎ (－1,1)，(－1,3)，(－1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)，共9个．‎ ‎(1)设“a∥b”为事件A，则xy＝－3. 事件A包含的基本事件有(－1,3)，共1个．‎ 故a∥b的概率为P(A)＝.‎ ‎(2)设“a⊥b”为事件B，则y＝3x. 事件B包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2个．‎ ‎ 故a⊥b的概率为P(B)＝.‎ ‎（2）古典概型与直线、圆相结合 例6．若是集合中任意选取的一个元素，则圆与圆内含的概率为__________.‎ 解析：数形结合可得，只能是圆在圆内部，则有，即，则圆与圆内含的概率为.‎ ‎（3）古典概型与数列相结合 例7．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是(　　)‎ ‎ A.　　　 　　　 B. C. D. 解析：列出10个数，找出小于8的数是关键．这10个数分别为1，－3,9，－27,81，…，(－3)8，(－3)9，小于8的数有6个，所以P(＜8)＝＝.‎ ‎（4）古典概型与函数相结合 例8．已知，，则函数在区间上为增函数的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 解析：①当时，，情况为符合要求的只有一种；‎ ‎②当时，则讨论二次函数的对称轴要满足题意则产生的情况表示：‎ ‎，9种情况满足的只有三种：综上所述得：使得函数在区间为增函数的概率为：‎ ‎（5）古典概型与圆锥曲线相结合 例9．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线－＝1的离心率e>的概率是________．‎ ‎（6）古典概型与统计相结合 例10．某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售．该店统计了近10天的饮品销量，如图所示：设为每天饮品的销量，为该店每天的利润．‎ ‎（1）求关于的表达式；‎ ‎（2）从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ 例11．某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下: ‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ 质量指标(x, y, z)‎ ‎(1,1,2)‎ ‎(2,1,1)‎ ‎(2,2,2)‎ ‎(1,1,1)‎ ‎(1,2,1)‎ 产品编号 A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ 质量指标(x, y, z)‎ ‎(1,2,2)‎ ‎(2,1,1)‎ ‎(2,2,1)‎ ‎(1,1,1)‎ ‎(2,1,2)‎ ‎(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; ‎ ‎(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品, ‎ ‎(1) 用产品编号列出所有可能的结果; ‎ ‎(2) 设事件B为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于‎4”‎, 求事件B发生的概率 ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.‎ 点评：解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算. ‎ 方法、规律归纳:‎ 计算古典概型事件的概率三步骤 步骤一：算出基本事件的总个数n； 步骤二：求出事件A所包含的基本事件个数m；‎ 步骤三：代入公式求出概率P.‎ 实战演练:‎ ‎1.【2017天津，文3】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】 ‎ ‎ 2.【2018届天津市耀华中学高三上学期第一次月考】在6盒酸奶中，有2盒已经过了保质期，从中任取2盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】所求概率为 ,选C. ‎ ‎3.【2017山东，理8】从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎4.【2017届浙江省台州市高三上学期期末】袋子里装有编号分别为“”的个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的个球编号之和大于的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题设取三个球的所有可能有，其中编号之和小于或等于7的所有可能有共6种，其概率，所以个球编号之和大于的概率为，应选答案B. ‎ ‎5.【2018届浙江省名校协作体高三上学期联考】安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有___种，学生甲被单独安排去金华的概率是___．‎ ‎【答案】 ‎ ‎ 6.【2017届湖南省郴州市高三第四次检测】一个袋中装有1红、2白和2黑共5个小球，这5个球除颜色外其它都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】“至少一个白球”的对立事件为“没有白球”，所以.‎ ‎7.【2018届辽宁省沈阳市交联体高三上学期期中】有3个兴趣小组，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这三位同学中有且仅有两个同学参加同一兴趣小组的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知本题是一个古典概型，‎ 试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，‎ 满足条件的事件是这三位同学中有且仅有两个同学参加同一兴趣小组，‎ 由于共有三个小组，则有6种结果，‎ 根据古典概型概率公式得到P=，‎ 故答案为： ‎ ‎8.【2018届贵州省黔东南州高三上学期第一次联考】在中，角所对的边分别是 ‎，若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为，则满足条件的三角形恰有两解的概率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 9.【2017山东，文】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.‎ ‎(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；‎ ‎(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ 所选两个国家都是亚洲的事件所包含的基本事件有：‎ ‎,共个，所以所求事件的概率为；‎ ‎10．一种饮料每箱装有6听，经检测，某箱中每听的容量（单位：ml）如以下茎叶图所示.‎ ‎（Ⅰ）求这箱饮料的平均容量和容量的中位数；‎ ‎（Ⅱ）如果从这箱饮料中随机取出2听饮用，求取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml的概率 解析：（Ⅰ）由茎叶图知，这箱饮料的平均容量为.‎ 容量的中位数为. ‎ ‎（Ⅱ）把每听饮料标上号码，其中容量为248ml，249ml的4听分别记作：1，2，3，4，容量为250ml的2听分别记作：，.抽取2听饮料，得到的两个标记分别记为和，则表示一次抽取的结果，即基本事件，从这6听饮料中随机抽取2听的所有可能结果有：‎ ‎ ‎