2019届二轮复习（理）复数的概念与运算学案（全国通用）

2019届二轮复习（理）复数的概念与运算学案（全国通用）

‎【母题原题1】【2018新课标1，理1】设，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【名师点睛】该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式，利用复数的除法及加法运算法则求得结果，属于简单题目.‎ ‎【母题原题2】【2017新课标1，理3】设有下面四个命题 ‎：若复数满足，则；‎ ‎：若复数满足，则；‎ ‎：若复数满足，则；‎ ‎ ：若复数，则.‎ 其中的真命题为 A. B． C． D．‎ ‎ 【答案】B ‎ ‎ ‎【考点】复数的运算与性质.‎ ‎【名师点睛】分式形式的复数，分子分母同乘分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.‎ ‎ 【母题原题3】【2016新课标1，理2】设，其中x，y是实数，则 ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为所以故选B.‎ ‎【考点】复数运算 ‎【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高 的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性. ‎ ‎ 【命题意图】 高考对本部分内容的考查主要体现在以下几个方面：1.理解复数的基本概念．理解复数相等的充要条件；2．了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示；3.会进行复数代数形式的四则运算；4.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.‎ ‎【命题规律】 从近三年高考情况来看，本部分内容为高考的必考内容，尤其是复数的概念、复数相等，复数的四则运算以及共轭复数，复数的乘、除运算是高考考查的重点内容，一般为选择题或填空题，难度不大，解题时要正确把握复数概念及准确运用复数的四则运算法则进行求解.‎ ‎【答题模板】解答本类题目，一般考虑如下三步：‎ 第一步：构造（求出）未知复数 设，根据具体的要求设定（或求出）；‎ ‎ 第二步：借助复数四则运算，求出需求结果 由＝＝＝＋i(c2＋d2≠0)； 1· 2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i等求出需求的结果；学+ + +X+X+K] | |k ]‎ ‎ 第三步：关注易错点，检验 ①共轭复数：a＋bi(a，b∈R)与c＋di(c，d∈R)互为共轭复数⇔a＝c， b＝－d；②| |＝|a＋bi|＝.‎ ‎【方法总结】‎ ‎ 1．复数的相关概念 ‎ (1)对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，是实数；当b≠0时，是虚数；当a＝0且b≠0时，是纯虚数．‎ ‎ (2)复数相等：如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d；a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0. ]‎ ‎ (3)共轭复数：a＋bi(a，b∈R)与c＋di(c，d∈R)互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d.‎ ‎ 2．复数的运算法则 设 1＝a＋bi， 2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．‎ 运算法则 运算形式 学 ]‎ 加法 ‎ 1＋ 2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i 减法 ‎ 1－ 2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i 乘法 ‎ 1· 2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i 除法 ＝＝＝＋i ‎(c2＋d2≠0)‎ ‎ 3.常用结论 ‎ (1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，n∈N .‎ ‎ (2)(1±i)2＝±2i，(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2. ]‎ ‎ 4．复数的几何意义 ‎ (1)复数加法的几何意义：复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则；‎ ‎ (2)复数减法的几何意义：复数减法即向量的减法，满足三角形法则．‎ ‎ 5．复数的模 向量的长度叫作复数 ＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作| |，即| |＝|a＋bi|＝.‎ ‎ 6．模的运算性质 ‎ (1)| |2＝||2＝ ·；‎ ‎ (2)| 1· 2|＝| 1 2|；‎ ‎ (3).‎ ‎1．【吉林省吉大附中2018届高三第四次模拟】若复数， 则( )‎ A. 1 B. C. D. 3 学, , ,X,X,K]‎ ‎【答案】C 点睛：本题考查了复数的综合运算、共轭复数和复数模的定义与应用，属于简单题。‎ ‎2．【河南省2018届高三最后一次模拟考试】已知复数,是它的共轭复数,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ]‎ ‎【解析】分析：首先求得复数 ，然后结合复数乘法的运算法则整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：因为,所以.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3．【安徽省淮南市2018届高三第二次模拟考试】复数的共轭复数是，是虚数单位，则的值是( )‎ A. 6 B. 5 C. -1 D. -6‎ ‎【答案】A 点睛：（1）本题主要考查复数的除法运算和共轭复数的概念，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)复数的共轭复数为 ‎4．【云南省玉溪市2018届高三适应性训练】设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：把复数化简得到，根据共轭复数的概念即可以求解。‎ 详解： ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 所以选A ‎ 点睛：本题主要考查了复数的综合运算和共轭复数的概念，要注意化简过程中计算要细心，符号分清楚，属于简单题。‎ ‎5．【湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三5月押题考试】已知为虚数单位，若复数（）的虚部为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先化简复数 ,再根据复数 的虚部为-1求a的值.‎ 详解：由题得=‎ 故答案为：C 点睛：（1）本题主要考查复数的除法和复数的实部与虚部，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)复数的实部是a,虚部是b，不是bi.‎ ‎6．【山东省日照市2018届高三校际联考】若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设， ‎ 则，‎ ‎.‎ ‎7．【河南省郑州外国语学校2018届高三第十五次调研】设复数（是虚数单位），则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据共轭复数的定义求得，利用复数乘法的运算法则求得，根据复数模的公式可得结果.‎ 详解：因为， 学 ]‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故选A.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎8．【河南省安阳35中2018届高三核心押题卷】欧拉公式为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B 故选B。 ‎ 点睛：本题主要考查诱导公式、复数与复平面内的点的一一对应关系。本题主要考查学生的运算能力、转化能力。‎ ‎9．【湖北省2018届高三5月冲刺】已知为实数，为虚数单位，若为纯虚数，则实数 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：先根据分母实数化将复数化为代数形式，再根据纯虚数概念求a.‎ 详解：因为，为纯虚数 所以 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 学 ！ ‎ ‎10．【天津市第一中学2018届高三下学期第五次月考】已知复数是纯虚数（其中为虚数单位，），则的虚部为 ．‎ ‎【答案】‎ 点睛：本题考查复数的除法运算和复数的有关概念，解题时要准确的到复数的代数形式，同时要注意复数的虚部是，而不是．‎ ‎ ‎