数学理卷·2017届重庆市西北狼教育联盟高三12月月考（2016

数学理卷·2017届重庆市西北狼教育联盟高三12月月考（2016

西北狼教育联盟高2017级2016－2017学年度第一期12月考 数学（理科）试题 ‎ 考试时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数满足，则（ ）‎ A． B． 　C． D．‎ ‎3.设命题，则为（ ）‎ ‎ 　 A． 　　　B． ‎ ‎ C． 　　　　 D．‎ ‎4.已知平面向量 与 00 相互垂直， =（﹣1，1）||=1，则|+2|=（　　）‎ A． 　　B． 　　C．2 D．‎ ‎5.已知实数，则的大小关系为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎ ‎ ‎8.中，“角成等差数列”是“”的（ ）‎ A．必要不充分条件 　　　　　　 　B．充分不必要条件 ‎ C．充要条件 　　　　　　　　D．既不充分也不必要条件 ‎9.已知函数的部分图象如图所示，则把函数的图像向左平移后得到的函数图象的解析式是（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎10.已知数列满足:, 则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题 ~ 第23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13．已知函数f（x）=，则f（1+log23）的值为__________．‎ ‎14.若直线（，）经过圆的圆心，则的最小值为___________．‎ ‎15.设点为函数图象上任一点，且在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围为____________．‎ ‎16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第_________天，两马相逢。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，且数列的前项和为，‎ 求证：．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知向量，记．　‎ ‎（1）若，求的值；　‎ ‎（2）在锐角中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围。‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按元/次收费, 并注册成为会员, 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：‎ 消费次第 第次 第次 第次 第次 次 收费比例 该公司从注册的会员中, 随机抽取了位进行统计, 得到统计数据如下:‎ 消费次第 第次 第次 第次 第次 第次 频数 假设汽车美容一次, 公司成本为元, 根据所给数据, 解答下列问题:‎ ‎（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；‎ ‎（2）某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润；‎ ‎（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率, 设该公司为一位会员服务的平均利润为元, 求的分布列和数学期望.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足为左焦点，分别为的右顶点，上顶点，且，.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过原点做斜率为的直线，交于两点，‎ 求四边形面积的最大值.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，a∈R．‎ （I） 求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当x＞1时，f（x﹣1）≤恒成立，求a的取值范围．‎ 请考生在第（22）、（23））两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知过点的直线的参数方程是（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程式为.‎ ‎（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，且，求实数的值．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若，求的最小值，并指出此时的取值范围；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ 西北狼教育联盟 高2017级高三下期12月联考（理科）‎ 数学参考答案及评分标准 一、 选择题：D CCDA DCBAC AB 第12题：试题分析：由条件知，方程，即在上有解．设，则．因为，所以在有唯一的极值点．因为＝，，，又，所以方程在上有解等价于，所以的取值范围为，故选B．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎ ‎ ‎13． ． 14.4 15. 16．20．‎ 第16题，解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；‎ 驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm ‎=‎103m++‎97m+=‎200m+×12.5≥2×3000，化为m2+‎31m﹣960≥0，解得m，取m=20．故答案为：20．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎【解答】‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 ‎（2）证明：由（1）知，．．．．．．7分 ‎∴．．．．．．．．．． 10分 ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎【解答】（1），‎ 由，得，所以．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）因为，由正弦定理得 ‎，所以，‎ 所以，因为，‎ 所以，且，所以，．．．．．．．．．．．．．．．8分 又，所以，则，又，则，得，．．．．．．．．．．．．10分 所以，又因为，‎ 故函数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎【解答】‎ 数学期望为(元). ．．．．．．．12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎（2），设，到的距离分别为，‎ 将代入得，则，‎ 由得，且，‎ ‎，．．．．．．．．．．．．．．．8分 ‎，‎ ‎，因为，当且仅当时取等号，‎ 所以当时，四边形的面积取得最大值.．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎21．（本题满分12分）‎ ‎【解答】（I）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），‎ f'（x）==；‎ ‎①若a≤0，则f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎②若a＞0，则f'（x）=0得x=，‎ 当x∈（﹣1，）时，f'（x）＞0，‎ 当x∈（，+∞）时，f'（x）＜0；‎ ‎∴f（x）在（﹣1，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．4分 综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣1，+∞）；‎ 当a＞0时，f（x）的单调增区间为（﹣1，），单调减区间为（）；．．．．．5分 ‎（II）f（x﹣1）﹣=；‎ 令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），x≥1，g'（x）=lnx+1﹣2ax；‎ 令h（x）=lnx+1﹣2ax，h'（x）=﹣‎2a=；‎ ‎①若a≤0，h'（x）＞0，g'（x）在[1，+∞）递增，g'（x）≥g'（1）=1﹣‎2a≥0；‎ ‎∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0；‎ 从而f（x﹣1）﹣≥0，不符合题意．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ‎②若0＜a＜，当x∈（1，）时，h'（x）＞0，g'（x）在（1，）上递增，‎ 从而g'（x）＞g'（1）=1﹣‎2a＞0；‎ 所以，g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0；‎ 从而f（x﹣1）﹣≥0，不符合题意．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ‎③若a≥，h'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，‎ 所以g'（x）在[1，+∞）上递减，g'（x）≤g'（1）=1﹣‎2a≤0；从而g（x）在[1，+∞）递减，‎ 所以g（x）≤g（1）=0；．．．．．．．．．．．．．．．11分 ‎∴f（x﹣1）﹣ 0；综上所以，a的取值范围是[，+∞）．．．．．．．．．．．．．．．．12分 请考生在第（22）、（23））两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎（22）（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）直线的参数方程是，（为参数），‎ 消去参数可得．……………………分 由，得，‎ 可得的直角坐标方程：．……………………分 ‎（Ⅱ）把（为参数），代入，‎ 得，……………………分 由，解得．∴．∵，∴，‎ 解得或1．又满足．∴实数或1．……………………‎ ‎23.（本小题满分10分）‎ ‎【答案】‎ ‎（1）时，当且仅当时取等号，解得；．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）时，显然成立；时，由，得 ‎，由及的图象可得且，解得.．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎ ‎ ‎ ‎