2018届二轮复习双曲线学案（江苏专用）

2018届二轮复习双曲线学案（江苏专用）

专题9.6 双曲线 ‎【考纲解读】‎ 内 容 要 求 备注 A　　‎ B　　‎ C　　‎ 圆锥曲线与方程　‎ 中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质　‎ ‎√　　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎1．掌握双曲线的定义、标准方程，能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程．‎ ‎2．掌握双曲线的几何性质．‎ ‎3．了解双曲线的一些实际应用．‎ ‎【直击考点】‎ 题组一 常识题 ‎1．已知双曲线两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P到F1，F2的距离的差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为__________________．‎ ‎【解析】由已知可知，双曲线的焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，∴b＝4，故所求双曲线的标准方程为－＝1.‎ ‎2．已知双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为________．‎ ‎【解析】双曲线－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0，与已知方程比较系数得a＝2.‎ ‎3．已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为点(3，0)，则该双曲线的离心率等于________．‎ 题组二　常错题 ‎4．动点P到点A(－4，0)的距离比到点B(4，0)的距离多6，则动点P的轨迹是__________________．‎ ‎【解析】依题意有|PA|－|PB|＝6<8＝|AB|，所以动点P的轨迹是双曲线的右支．‎ ‎5．双曲线的渐近线方程为y＝±x，虚轴长为2，则双曲线的方程为________________________．‎ 题组三　常考题 ‎6． 已知双曲线x2－＝1，则其离心率为________．‎ ‎【解析】因为a＝1，c＝＝2，所以e＝＝2.‎ ‎7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为________________．‎ ‎【解析】由＝，得＝5，即＝5，所以＝4，得＝2，所以，渐近线方程为y＝±2x.‎ ‎8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，且双曲线的一条渐近线与直线2x－y＝0平行，则双曲线的方程为____________________．‎ ‎【解析】依题意，‎2a＝4，＝2，所以a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1.‎ ‎【知识清单】‎ 考点1 双曲线的定义及标准方程 ‎1．双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 ‎(1)在平面内；‎ ‎(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；‎ ‎(3)这一定值一定要小于两定点的距离．‎ ‎2．双曲线的标准方程 标准方程 －＝1(a>0，b>0)‎ －＝1(a>0，b>0)‎ 图形 考点2 双曲线的简单几何性质 双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0)‎ －＝1(a>0，b>0)‎ 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A‎1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A‎1A2|＝‎2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．‎ a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)‎ 考点3 直线和双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系：‎ 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.‎ 若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交与一点；‎ 若即，‎ ‎①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；‎ ‎②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；‎ ‎③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．‎ ‎【考点深度剖析】‎ 除与椭圆有相同的重点及考点之外，在高考中还经常考查双曲线独有的性质渐近线，以双曲线为载体考查方程、性质，也是高考命题的热点．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 双曲线的定义及标准方程 ‎【1-1】设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF‎1F2的面积等于_______． ‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】双曲线的实轴长为2，焦距为＝2×5＝10.据题意和双曲线的定义知，2＝＝＝，∴.∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎【1-2】已知F1，F2为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为_______．‎ ‎【答案】－2 ‎【1-3】已知双曲线C：﹣=1的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为_______．‎ ‎【答案】﹣=1 ‎ ‎【解析】双曲线C：﹣=1 的渐近线方程为y＝ ,‎ ‎∵双曲线C：﹣=1的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上 ,‎ ‎∴‎2c=10，a=2b , ∵c2=a2+b2 , ∴a2=20，b2=5 ,‎ ‎∴C的方程为﹣=1． ‎ ‎【1-4】与双曲线有共同的渐近线，并且过点A(6,8)的双曲线的标准方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设所求双曲线为，把点(6,8)代入，得,解得 λ=-4，‎ ‎∴所求的双曲线的标准方程为．故答案为：．‎ ‎【1-5】双曲线的焦点为,且经过点,则其标准方程为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【思想方法】‎ ‎1.待定系数法求双曲线方程的常用方法 ‎(1)与双曲线－＝1共渐近线的可设为－＝λ(λ≠0)；‎ ‎(2)若渐近线方程为y＝±x，则可设为－＝λ(λ≠0)；‎ ‎(3)若过两个已知点则设为＋＝1(mn<0)．‎ ‎ 2．应用双曲线的定义需注意的问题：‎ 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．‎ ‎3．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a、b、c的关系易错易混．‎ ‎【温馨提醒】1、在焦点三角形中，注意双曲线的定义和正弦定理、余弦定理交汇解题；2、求双曲线方程需要两个独立条件．‎ 考点2 双曲线的简单几何性质 ‎【2-1】已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】∵，∴，即，又，‎ ‎∴, 即，∴一条渐近线与实轴所成锐角的值是.‎ ‎【2-2】已知F2、F1是双曲线-=1(a>0，b>0)的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好 ‎ 落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为_______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【2-3】斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图,要使斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，必须且只需即可,从而有所以有离心率.‎ ‎【2-4】已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于 轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【2-5】双曲线C:的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于_______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由已知可知渐近线的斜率k=且，即 且解得=1，所以c=2,‎2c=4. ‎ ‎【思想方法】1．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．‎ 若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，)；‎ 若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝；‎ 若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞.‎ ‎2．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.‎ ‎3．等轴双曲线的离心率与渐近线关系 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．‎ ‎4．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b ‎5．渐近线与离心率 －＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为＝ ＝ ＝.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．‎ ‎【温馨提醒】1、充分利用条件列关于的等式或不等式，可得离心率的取值或取值范围；2、双曲线的渐近线是与之间的比值关系，再结合，可得的关系，及离心率的关系，从这点而言，渐近线方程和离心率是有联系的．‎ 考点3 直线和双曲线的位置关系 ‎【3-1】在双曲线上求一点，使到直线的距离最短．‎ ‎【解析】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为：‎ 联立化简得（*）‎ ‎，故切线方程为：代入双曲线方程解得（）‎ ‎【3-2】已知直线和双曲线相交于A，B两点，线段AB的中点为M.设直线的斜率为k1(k1≠0)，直线OM的斜率为k2,则k1k2=_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【3-3】已知双曲线方程是x2－＝1，过定点P(2，1)作直线交双曲线于P1、P2两点，并使P(2，1)为P1P2的中点，则此直线方程是____________．‎ ‎【答案】4x－y－7＝0‎ ‎【解析】设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由＝1，＝1，得k＝＝＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．‎ ‎【3-4】已知F是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点,B1B2是双曲线的虚轴,M是OB1的中点,过F、M的直线与双曲线C的一个交点为A,且=2,则双曲线C离心率是　　　　.‎ ‎【答案】‎ ‎【3-5】已知函数是坐标原点O为中心的双曲线，在此双曲线的两支上分别取点，则线段的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据双曲线的性质，当直线经过双曲线的中心被双曲线截得的实轴长是线段是PQ的最小值，，设点，则，.‎ ‎【思想方法】‎ ‎1、设直线交双曲线于点两点，则 ‎==‎ 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：‎ ‎2、若遇中点问题，可以利用“点差法”或者韦达定理处理．‎ ‎【温馨提醒】1、直线和双曲线的位置关系可以从方程的角度求解，把交点个数以及范围问题，转化为方程解的个数以及解的范围问题；2、涉及弦长和中点问题时，要考虑“设而不求”技巧．‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 忽视“判别式”致误 典例　(12分)已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？‎ 易错分析　由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”．致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误．‎ 规范解答 ‎[失误与防范]‎ ‎1．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2‎ ‎＝a2＋b2.‎ ‎2．双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0,1)．‎ ‎3．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x.‎ ‎4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．‎ ‎5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．‎