2018届二轮复习三角恒等变换与解三角形学案（江苏专用）

2018届二轮复习三角恒等变换与解三角形学案（江苏专用）

专题6：三角恒等变换与解三角形（两课时）‎ 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1．（1）已知cos(a＋)＝，a∈(0，)，则cosa＝ ；sin(a＋)＝ ；，cos(2a＋)＝ ．‎ 答案：（＋2）；；（2－）；‎ ‎（2）已知cos(＋x)＝， ＜x＜，则＝ ．‎ 答案： ‎ （3）计算 ＝ ．‎ 答案：2‎ ‎（4）已知tan(＋a)＝．则＝ ．‎ 答案：－ ‎2．（1）在△ABC中，b＝，B＝60°，c＝1，则C＝ ；a＝ ．‎ 答案：30°；2；‎ ‎（2）在△ABC中，A＝1200，a＝7，b＋c＝8，则b＝ ；c＝ ．‎ 答案：3或5；5或3‎ ‎（3） 如图，在四边形ABCD中，已知AD^CD， AD＝10， AB＝14， ‎ ÐBDA＝60°， ÐBCD＝135° ，则BC＝ .‎ 答案：8 ‎3．（1）在△ABC中，acosA＝bcosB，则△ABC的形状为 ．‎ 答案：等腰或直角三角形 ‎（2） 在△ABC中，sinA＝2cosBsinC，则△ABC的形状为 ．‎ 答案：等腰三角形 二、方法联想 ‎1．三角变换基本想法 ‎ （1）角：观察角的联系，实现角的统一．‎ ‎ （2）名：弦切互化，异名化同名．‎ ‎ 形：公式变形与逆用．‎ 幂：平方降幂，根式升幂．‎ 解题前先观察角的联系，分析角的变化，实现角的统一，从而决定解题方向，再结合三角函数名、公式的变形、幂的升降，做出公式的选择．‎ 常见的角的变形有：（1）可化为特殊角；（2）可以化为同角；（3）可分析角与角之间的关系，如和，差，倍等等；（4）可实现条件、结论中角的转化．‎ 注意点：判断角的范围，确定三角函数值的正负或角的值．若在已知范围内不能确定时，利用三角函数值的正负或大小来缩小角的范围．‎ 变式1：已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β＝________.‎ ‎（答案：，考查用已知角表示所求的角）‎ ‎2．解三角形 ‎（1）三角形的几个关系 ‎①角角关系：A＋B＋C＝π；‎ ‎②边角关系：正弦定理和余弦定理，大边对大角；‎ ‎③边边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．‎ ‎（2）解三角形方法 ‎①三角形的六个量中只要知道其中三个量（至少已知一条边）便可以求出其他三个量；‎ ‎②正弦定理运用的条件是：两角一边，两边和其中一边说对的角；‎ ‎ 余弦定理运用的有条件是：两边一夹角，三边；‎ 其中两边和其中一边说对的角的条件，既可以用正弦定理也可以用余弦定理，但都必须注意“一解”和“两解”的问题．‎ ‎3．与三角形有关的三角函数问题 具体做法：‎ ‎（1）A＋B＋C＝π可消元；‎ ‎（2）遇到正弦要当心！优先考虑可能出现的一解和两解问题；‎ ‎（3）边角转化，利用（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC或（2）cosA＝等进行边角互化，即边化角或角化边．‎ 说明：在解答题中，由于考三角函数的变形较为常见，所以，常常“边化角”，而在填空题中，随意．‎ 变式1：在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝ ．‎ ‎（答案：－，考查平面几何图形中选用正弦定理与余弦定理求解相关的几何量）‎ 变式2：若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是 .‎ ‎（答案：，考查三角形中的边角转化)‎ 三、例题分析 例1. 已知a＝(1，－sinα)，b＝(sin(α+2β)，2)，a·b＝0．‎ ‎（1）若sinβ＝，β是钝角，求tanα的值；（2）求证：tan(α+β)＝3tanβ．‎ 解答：a＝(1，－sinα)，b＝(sin(α+2β)，2)，a·b＝0，‎ 所以sin(α+2β)－2 sinα＝0． ‎ ‎（1）－； （2）因为sin(α+2β)＝2 sinα，即sin[(α+β)+β]＝2sin[(α+β)－β] ‎ 得sin(α+β)cosβ+ cos (α+β)sinβ＝2[sin(α+β)cosβ－cos(α+β)sinβ] ‎ ‎ 移项得sin(α+β)cosβ＝3 cos(α+β)sinβ，‎ 等式两边同时除以cos(α+β)cosβ ‎ 得 tan(α+β)＝3tanβ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法： ‎ ‎1．三角恒等变形主要是变角，变式，这个顺序也就决定解题的大的思路；‎ ‎2．变角是三角恒等变形中重要的第一步，根据问题的特征，主要是角的形式的统一．‎ ‎（2）方法选择与优化建议：‎ ‎1．三角函数的求值问题与代数问题的求知一致，根据问题的特点可以直接计算，也可以间接计算（解方程）．‎ ‎2．三角恒等变形，首先应该变角，本题解题的关键，就是实现已知角中的形式，向未知角中的形式转化．‎ 例2：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.‎ ‎（1）求的值；（2）若cosB＝，△ABC的周长为5，求b的大小．‎ 答案：（1）＝2；（2） b＝2.‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法： ‎ ‎1．边角互化问题，方法有：‎ ‎①利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC将边化为角；‎ ‎②利用cosA＝等将余弦化为边；‎ ‎③ccosB＋bcosC＝a等化角为边．‎ ‎ 2．求边长问题，方法有：①利用正弦定理求边；② 利用余弦定理求边．‎ ‎（2）方法选择与优化建议：‎ ‎1．对于等式＝的右边，我们可以选择方法①，化变为角，推导出sinC＝2sinA；‎ 如果利用cosA＝等将等式＝的左边余弦化为边来做，运算量较大，‎ 所以不选择方法②．‎ 由于等式＝可以化为bcosA＋acosB＝2(bcosC＋ccosB)，即c＝‎2a，所以也可以选择方法③．‎ ‎2．因为从第一问已经可以得到c＝‎2a，又a＋b＋c＝5，所以三边可以转化为只含有一个未知量b，利用减元消元解方程的方法解决问题，因此选择方法②的余弦定理解决问题比较方便． ‎ 例3：已知△ABC的内角A，B，C的对边依次为a，b，c，若满足tanAtanB－tanA－tanB＝.‎ ‎（1）求∠C的大小；‎ ‎（2）若c＝2，且△ABC为锐角三角形，求a2＋b2的取值范围.‎ 答案：（1）；（2）(，8)] .‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．求三角形中的某个角的大小：利用三角公式求这个角的某一三角函数．‎ ‎2．求代数式的范围问题.利用函数的知识，转化为求函数值域．‎ ‎（2)方法选择与优化建议：‎ ‎1．由于本题中涉及到的三角函数为正切，所以考虑求角的正切值，从而求角的大小；‎ 三角恒等变形中应注意公式的变形使用，解三角形问题时要注意利用隐含条件A＋B＋C＝p.‎ ‎2．利用正弦定理将a2＋b2表示为角A或角B的三角函数关系式，并将之变形整理为f(x)＝Asin(wx＋j)＋B的形式求范围.‎ 本题中需注意的是“△ABC为锐角三角形”必须保证所有的角都是锐角，这是求范围的关键所在.‎ 例4：如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为‎50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为‎130 m/min，山路AC长为‎1‎‎260 m，经测量cos A＝，cos C＝.‎ ‎(1)求索道AB的长；‎ ‎(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，‎ 乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ 答案：(1) AB的长为1 040 m.；‎ ‎(2)当t＝ min时，甲、乙两游客距离最短．‎ ‎(3)乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．求角及边长问题，方法为先利用两角和差关系求sin B，再利用正弦定理求边长AB.‎ ‎2．余弦定理应用问题，其中涉及二次函数最值问题.‎ 方法为利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t的函数．‎ ‎3．解三角形的实际应用问题，方法为利用正弦定理求BC，将两位游客互相等待的时间不超过3分钟用不等式表示，利用两者的时间差所在范围求解速度范围.‎ ‎（2)方法选择与优化建议：‎ ‎1．已知两角一边或两边和一边对角利用正弦定理解三角形．‎ 注意点有：利用两边和一边对角求另一边的对角时容易忽视解的情况的判断.‎ ‎2．已知两边和夹角，常用余弦定理求出第三边.‎ ‎3．求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答．‎ 四、反馈练习 ‎1.已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝________.‎ 答案：－；(考查三角变换，二倍角公式).‎ ‎2.在△ABC中，内角A，B，C的对边依次为a，b，c，若‎3a＝2b，则＝　　　 .‎ 答案：；(考查正弦定理).‎ ‎3.在△ABC中，内角A，B，C的对边依次为a，b，c，若a2－c2＝3b，且sinB＝8cosAsinC，则边b＝　　　.‎ ‎ 答案：4；(考查两角和差的三角函数关系，正余弦定理).‎ ‎4.在△ABC中，角A，B，C的对边依次为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，，则△ABC的面积为　　　 .‎ 答案：；(考查正弦定理).‎ ‎5.△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则△ABC 的形状是　　 ．‎ 答案：等边三角形；(考查正余弦定理，等差数列与等比数列).‎ ‎6. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，‎ cos A＝－，则a的值为________.‎ 答案：8；(考查余弦定理，三角形面积).‎ ‎7.△ABC中，角A，B，C的对边依次为a，b，c，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC的面积的最大值为____________．‎ 答案：；(考查正、余弦定理).‎ ‎8.钝角△ABC的面积是，AB＝1，BC＝ ，则AC＝　　　 .‎ 答案：；(考查正、余弦定理)‎ ‎9.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，‎ ‎3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为　　　 .‎ 答案：6∶5∶4；(考查正、余弦定理).‎ ‎10.在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝________.‎ 答案：　－ (考查解三角形，三角变换).‎ ‎11.已知a，b∈(0，π)，且tana＝2，cosb＝－ ．‎ ‎（1）求cos2a的值；‎ ‎（2）求2a－b 的值．‎ 答案：（1）cos2α＝－ ； （2） 2α－β＝－． ‎ ‎（考查两角和差的三角函数关系）.‎ ‎12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B．‎ ‎(1)证明：A＝2B；‎ ‎(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小.‎ 答案：(1)略；(2) A＝或A＝.‎ ‎（考查正、余弦定理，三角形面积与三角变换）.‎ ‎13.已知△ABC的面积为S，且·＝S. ‎ ‎（1）求tan2A的值；（2）若B＝，|－|＝3，求△ABC的面积S. ‎ 答案：（1）－；（2）3.‎ ‎（考查正、余弦定理，平面向量，三角变换）.‎ A P M N B C ‎14.如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．‎ 答案：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．‎ ‎（考查正、余弦定理的应用，三角变换，求函数最值，解析几何，矩阵变换等）.‎