2014-2015学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷（理科）

2014-2015学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷（理科）

‎2014-2015学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共18小题，每小题5分，满分90分）‎ ‎ ‎ ‎1. 设集合M={y|y=(‎1‎‎2‎‎)‎x}，N={y|y≥1}‎，则集合M，N的关系为（ ） ‎ A.M=N B.M⊆N C.M⊊N D.‎M⊋N ‎ ‎ ‎2. 下列各式中错误的是（ ） ‎ A.‎0.8‎‎3‎‎>‎‎0.7‎‎3‎ B.log‎0..5‎‎0.4>log‎0..5‎0.6‎ C.‎0.75‎‎−0.1‎‎<‎‎0.75‎‎0.1‎ D.lg1.6>lg1.4‎ ‎ ‎ ‎ ‎3. 已知向量a‎→‎‎=(1, −2)‎，b‎→‎‎=(x, 2)‎，若a‎→‎‎⊥‎b‎→‎，则‎|b‎→‎|=(‎ ‎)‎ ‎ A.‎5‎ B.‎2‎‎5‎ C.‎5‎ D.‎‎20‎ ‎ ‎ ‎4. 若点‎(4, a)‎在y=‎x‎1‎‎2‎的图象上，则tana‎6‎π的值为（ ） ‎ A.‎0‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎1‎ D.‎‎3‎ ‎ ‎ ‎5. “α=‎π‎6‎”是“cos2α=‎‎1‎‎2‎”的（ ） ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎ ‎6. 函数f(x)=‎‎2x−1‎log‎2‎x的定义域为（ ） ‎ A.‎(0, +∞)‎ B.‎(1, +∞)‎ C.‎(0, 1)‎ D.‎‎(0, 1)∪(1, +∞)‎ ‎ ‎ ‎7. 在‎△ABC中，a，b，c分别是三内角A、B、C的对边，A=‎‎75‎‎∘‎，C=‎‎45‎‎∘‎，b=2‎，则此三角形的最小边长为（ ） ‎ A.‎6‎‎4‎ B.‎2‎‎2‎‎3‎ C.‎2‎‎6‎‎3‎ D.‎‎2‎‎4‎ ‎ ‎ ‎8. 命题“‎∃x∈R，x‎3‎‎−2x+1=0‎”的否定是‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎∃x∈R，x‎3‎‎−2x+1≠0‎ B.不存在x∈R，x‎3‎‎−2x+1≠0‎ C.‎∀x∈R，x‎3‎‎−2x+1=0‎ D.‎∀x∈R，x‎3‎‎−2x+1≠0‎ ‎ ‎ ‎ ‎9. 要得到函数y=sin(2x−π‎3‎)‎的图象，只需将函数y=sin2x的图象(        ) ‎ A.向左平移π‎12‎个单位 B.向右平移π‎12‎个单位 C.向左平移π‎6‎个单位 D.向右平移π‎6‎个单位 ‎ ‎ ‎ ‎10. f(x)=−‎1‎x+log‎2‎x的一个零点落在下列哪个区间（        ） ‎ A.‎(0,1)‎ B.‎(1,2)‎ C.‎(2,3)‎ D.‎‎(3,4)‎ ‎ ‎ ‎11. 等差数列f(x)‎中，已知a‎1‎‎=−12‎，S‎13‎‎=0‎，使得an‎>0‎的最小正整数n为（ ） ‎ A.‎7‎ B.‎8‎ C.‎9‎ D.‎‎10‎ ‎ ‎ ‎12. 函数y=2sin(x+π‎4‎)cos(π‎4‎−x)‎图象的一个对称轴方程是（ ） ‎ A.x=‎π‎4‎ B.x=‎π‎8‎ C.x=‎π‎2‎ D.‎x=π ‎ ‎ ‎13. 已知‎{an}‎是等比数列，a‎2‎‎=2‎，a‎5‎‎=‎‎1‎‎4‎，则a‎1‎a‎2‎‎+a‎2‎a‎3‎+...+anan+1‎=(‎ ‎)‎ ‎ A.‎16(1−‎4‎‎−n)‎ B.‎16(1−‎2‎‎−n)‎ C.‎32‎‎3‎‎(1−‎4‎‎−n)‎ D.‎‎32‎‎3‎‎(1−‎2‎‎−n)‎ ‎ ‎ ‎14. 若实数a，b满足a+b=2‎，则‎3‎a‎+‎‎3‎b的最小值是‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎18‎ B.‎6‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎2‎‎6‎ ‎ ‎ ‎15. 在数列‎{an}‎中，a‎1‎‎=3‎，an+1‎‎=an+ln(1+‎1‎n)‎，则an‎=(‎ ‎)‎ ‎ A.‎3+lnn B.‎3+(n−1)lnn C.‎3+nlnn D.‎‎1+n+lnn ‎ ‎ ‎16. 在‎△ABC中，若AB‎2‎‎→‎‎=AB‎→‎⋅AC‎→‎+BA‎→‎⋅BC‎→‎+CA‎→‎⋅‎CB‎→‎，则‎△ABC是（        ） ‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 ‎ ‎ ‎17. 函数y=‎xsinx，x∈(−π, 0)∪(0, π)‎的图象可能是下列图象中的（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎18. 已知函数f(x+1)‎是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x‎1‎、x‎2‎，不等式‎(x‎1‎−x‎2‎)[f(x‎1‎)−f(x‎2‎)]<0‎恒成立，则不等式f(1−x)<0‎的解集为（ ） ‎ A.‎(1, +∞)‎ B.‎(0, +∞)‎ C.‎(−∞, 0)‎ D.‎‎(−∞, 1)‎ 二、填空题 ‎ ‎ ‎ 在‎△ABC中，如果‎(a+b+c)⋅(b+c−a)=3bc，则角A等于________． ‎ ‎ ‎ ‎ 已知f(x)=‎sinπxx≤0‎f(x−1)+1x>0‎，则f(‎5‎‎6‎)‎的值为________． ‎ ‎ ‎ ‎ 若曲线y=1nx的一条切线与直线y=−x垂直，则该切线方程为________． ‎ ‎ ‎ ‎ 求和：‎1‎‎1×4‎‎+‎1‎‎4×7‎+…+‎1‎‎(3n−2)×(3n+1)‎=‎________． ‎ 三、解答题 ‎ ‎ ‎ 已知向量m‎→‎‎=(−2sin(π−x)，cosx)‎，n‎→‎‎=(‎3‎cosx,2sin(π‎2‎−x)‎，函数f(x)=1−m‎→‎⋅‎n‎→‎． ‎ ‎（1）求函数f(x)‎的解析式；‎ ‎ ‎ ‎（2）当x∈[0, π]‎时，求f(x)‎的单调递增区间．‎ ‎ ‎ ‎ 已知数列‎{an}‎，当n≥2‎时满足‎1−Sn=an−1‎−‎an， ‎ ‎（1）求该数列的通项公式；‎ ‎ ‎ ‎（2）令bn‎=(n+1)‎an，求数列‎{an}‎的前n项和Tn．‎ ‎ ‎ ‎ 设函数f(x)=xex，g(x)=ax‎2‎+x ‎ ‎（1）若f(x)‎与g(x)‎具有完全相同的单调区间，求a的值；‎ ‎ ‎ ‎（2）若当x≥0‎时恒有f(x)≥g(x)‎，求a的取值范围．‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 参考答案与试题解析 ‎2014-2015学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共18小题，每小题5分，满分90分）‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 子集与交集、并集运算的转换 ‎【解析】‎ 利用指数函数的值域求得集合M，即可得到集合M与集合N的关系．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ y=(‎‎1‎‎2‎‎)‎x，∴ y>0‎， 即M={y|y>0}‎， 又N={y|y≥1}‎ ∴ M⊋N． 故选D．‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 指数函数的单调性与特殊点 对数值大小的比较 对数函数的图象与性质 ‎【解析】‎ 通过构造函数，利用函数的单调性直接判断选项即可．‎ ‎【解答】‎ 解：对于A，构造幂函数y=‎x‎3‎，函数是增函数，所以A正确； 对于B，对数函数y=log‎0.3‎x，函数是减函数，所以B正确； 对于C，指数函数y=‎‎0.75‎x是减函数，所以C错误； 对于D，对数函数y=lgx，函数是增函数，所以D正确； 故选C．‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 平面向量数量积 ‎【解析】‎ 由题意可得a‎→‎‎⋅b‎→‎=0‎，求得x的值，可得b‎→‎的坐标，根据向量的模的定义求出‎|b‎→‎|‎．‎ ‎【解答】‎ 解：由题意可得a‎→‎‎⋅b‎→‎=(1, −2)⋅(x, 2)=x−4=0‎，解得x=4‎． 故‎|b‎→‎|=x‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=2‎‎5‎， 故选B．‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 ‎【解析】‎ 把点‎(4, a)‎代入y=‎x‎1‎‎2‎中，求出a的值，再计算tana‎6‎π的值．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ 点‎(4, a)‎在y=‎x‎1‎‎2‎的图象上， ∴ ‎4‎‎1‎‎2‎‎=a， 解得a=2‎； ∴ tana‎6‎π=tanπ‎3‎=‎‎3‎． 故选：D．‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 必要条件、充分条件与充要条件的判断 ‎【解析】‎ 当α=‎π‎6‎时，cos2α=cosπ‎3‎=‎‎1‎‎2‎；反之，当cos2α=‎‎1‎‎2‎时，α=kπ+‎π‎6‎，k∈Z，或α=kπ−π‎6‎，k∈Z．所以“α=‎π‎6‎”是“cos2α=‎‎1‎‎2‎”的充分而不必要条件．‎ ‎【解答】‎ 解：当α=‎π‎6‎时，cos2α=cosπ‎3‎=‎‎1‎‎2‎， 反之，当cos2α=‎‎1‎‎2‎时，可得‎2α=2kπ+π‎3‎⇒α=kπ+‎π‎6‎，k∈Z，或‎2α=2kπ−π‎3‎⇒α=kπ−π‎6‎，k∈Z， “α=‎π‎6‎”是“cos2α=‎‎1‎‎2‎”的充分而不必要条件． 故应选：A．‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 函数的定义域及其求法 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎【解析】‎ 由函数的解析式可得log‎2‎x≠0‎，即 x>0‎x≠1‎，由此求得函数的定义域．‎ ‎【解答】‎ 解：由函数的解析式可得log‎2‎x≠0‎， ∴ x>0‎x≠1‎，故函数的定义域‎(0, 1)∪(1, +∞)‎， 故选D．‎ ‎7.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 正弦定理 ‎【解析】‎ 由三角形内角和定理算出B=‎‎60‎‎∘‎，从而得到角C是最小角，边c是最小边．再由正弦定理csinC‎=‎bsinB的式子，结合题中数据解出c=‎‎2‎‎6‎‎3‎，即可得到此三角形的最小边长．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ ‎△ABC中，A=‎‎75‎‎∘‎，C=‎‎45‎‎∘‎， ∴ B=‎180‎‎∘‎−(A+C)=‎‎60‎‎∘‎，得角C是最小角，边c是最小边 由正弦定理csinC‎=‎bsinB，得csin‎45‎‎∘‎‎=‎‎2‎sin‎60‎‎∘‎，解之得c=‎‎2‎‎6‎‎3‎ 即三角形的最小边长为‎2‎‎6‎‎3‎ 故选：‎C ‎8.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 命题的否定 ‎【解析】‎ 因为特称命题“‎∃x∈R，x‎3‎‎−2x+1=0‎”，它的否定：‎∀x∈R，x‎3‎‎−2x+1≠0‎即可得答案 ‎【解答】‎ 解：“‎∃x∈R，x‎3‎‎−2x+1=0‎”属于特称命题，它的否定为全称命题， 从而答案为：‎∀x∈R，x‎3‎‎−2x+1≠0‎． 故选D．‎ ‎9.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 ‎【解析】‎ 根据“左加右减”的平移法则将y=sin2x向右平移π‎6‎单位即可，从而可得答案．‎ ‎【解答】‎ 解：将函数y=sin2x的图象‎→‎向右平移π‎6‎单位‎ ‎y=sin[2(x−π‎6‎)]‎， 即为y=sin(2x−π‎3‎)‎的图象． 故选D．‎ ‎10.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 函数零点的判定定理 ‎【解析】‎ 本题考查函数的零点所在区间的判断．‎ ‎【解答】‎ 解：由题得f(x)‎在‎(0,+∞)‎上单调递增， 又f(1)=−1<0‎，f(2)=‎1‎‎2‎>0‎， 所以f(x)=−‎1‎x+log‎2‎x的零点落在区间‎(1,2)‎上． 故选B．‎ ‎11.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 等差数列的性质 ‎【解析】‎ 根据已知条件求得a‎13‎‎=12‎，再利用等差数列的性质可得a‎7‎‎=0‎，再由等差数列为递增的等差数列，可得使得an‎>0‎的最小正整数n为‎8‎．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ 等差数列f(x)‎中，已知a‎1‎‎=−12‎，S‎13‎‎=0‎，∴ ‎13(−12+a‎13‎)‎‎2‎‎=0‎，∴ a‎13‎‎=12‎． 由等差数列的性质可得‎2a‎7‎=a‎1‎+a‎13‎=0‎，故a‎7‎‎=0‎． 再由题意可得，此等差数列为递增的等差数列，故使得an‎>0‎的最小正整数n为‎8‎， 故选B．‎ ‎12.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 求二倍角的正弦 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 正弦函数的对称性 ‎【解析】‎ 将函数解析式最后一个因式中的角变形后，利用诱导公式化简，再利用二倍角的余弦函数公式化简，最后利用诱导公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的图象与性质即可得出函数y的对称轴方程，进而确定出正确的选项．‎ ‎【解答】‎ 解：y=2sin(x+π‎4‎)cos(π‎4‎−x)=2sin(x+π‎4‎)cos[π‎2‎−(x+π‎4‎)]=2sin‎2‎(x+π‎4‎)=1−cos(2x+π‎2‎)=1+sin2x， 令‎2x=2kπ+‎π‎2‎，k∈Z，得到x=kπ+‎π‎4‎，k∈Z， 则k=1‎时，x=‎π‎4‎为函数的一个对称轴方程． 故选A ‎13.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 等比数列的前n项和 ‎【解析】‎ 首先根据a‎2‎和a‎5‎求出公比q，根据数列‎{anan+1‎}‎每项的特点发现仍是等比数列，且首项是a‎1‎a‎2‎‎=8‎，公比为‎1‎‎4‎．进而根据等比数列求和公式可得出答案．‎ ‎【解答】‎ 解：由a‎5‎‎=‎1‎‎4‎=a‎2‎⋅q‎3‎=2⋅‎q‎3‎，解得q=‎‎1‎‎2‎． 数列‎{anan+1‎}‎仍是等比数列：其首项是a‎1‎a‎2‎‎=8‎，公比为‎1‎‎4‎， 所以，a‎1‎a‎2‎‎+a‎2‎a‎3‎+…+anan+1‎=‎8[1−(‎1‎‎4‎‎)‎n]‎‎1−‎‎1‎‎4‎=‎32‎‎3‎(1−‎4‎‎−n)‎ 故选C．‎ ‎14.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式 ‎【解析】‎ 先判断‎3‎a与‎3‎b的符号，利用基本不等式建立关系，结合a+b=2‎，可求出‎3‎a‎+‎‎3‎b的最小值 ‎【解答】‎ 解：由于‎3‎a‎>0‎，‎3‎b‎>0‎， 所以‎3‎a‎+‎3‎b≥2‎‎3‎a‎⋅‎‎3‎b ‎=2‎‎3‎a+b ‎=2‎‎3‎‎2‎ ‎=6‎． 当且仅当‎3‎a‎=‎‎3‎b，a=b，即a=1‎，b=1‎时取得最小值． 故选B.‎ ‎15.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 数列递推式 ‎【解析】‎ 把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成n+1‎n，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ a‎1‎‎=3‎，an+1‎‎=an+ln(1+‎1‎n)=an+lnn+1‎n， ∴ a‎2‎‎=a‎1‎+ln2‎，a‎3‎‎=a‎2‎+ln‎3‎‎2‎， a‎4‎‎=a‎3‎+ln‎4‎‎3‎， …， an‎=an−1‎+lnnn−1‎， 累加可得：an‎=3+ln2+ln‎3‎‎2‎+ln‎4‎‎3‎+...+lnnn−1‎=3+lnn， 故选：‎A ‎16.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 三角形的形状判断 ‎【解析】‎ 此题暂无解析 ‎【解答】‎ 解：∵ AB‎2‎‎→‎‎=AB‎→‎⋅AC‎→‎+BA‎→‎⋅BC‎→‎+CA‎→‎⋅‎CB‎→‎， ∴ AB‎2‎‎→‎‎=AB‎→‎⋅AC‎→‎−AB‎→‎⋅BC‎→‎+CA‎→‎⋅‎CB‎→‎ ‎=AB‎→‎⋅(AC‎→‎−BC‎→‎)+CA‎→‎⋅‎CB‎→‎， ∴ AB‎2‎‎→‎‎=AB‎2‎‎→‎+CA‎→‎⋅‎CB‎→‎， ∴ CA‎→‎‎⋅CB‎→‎=0‎， ∴ ‎∠C=‎‎90‎‎∘‎，‎△ABC为直角三角形． 故选D．‎ ‎17.‎ ‎【答案】‎ D 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎【考点】‎ 函数的图象变换 ‎【解析】‎ 根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ y=‎xsinx是偶函数，排除A， 当x=2‎时，y=‎2‎sin2‎>2‎，排除C， 当x=‎π‎6‎时，y=π‎6‎sinπ‎6‎=π‎3‎>1‎，排除B、C， 故选D．‎ ‎18.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 奇偶性与单调性的综合 ‎【解析】‎ 先利用不等式‎(x‎1‎−x‎2‎)[f(x‎1‎)−f(x‎2‎)]<0‎恒成立得到函数f(x)‎是定义在R上的减函数；再利用函数f(x+1)‎是定义在R上的奇函数得到函数f(x)‎过‎(1, 0)‎点，二者相结合即可求出不等式f(1−x)<0‎的解集．‎ ‎【解答】‎ 由不等式‎(x‎1‎−x‎2‎)[f(x‎1‎)−f(x‎2‎)]<0‎恒成立得，函数f(x)‎是定义在R上的减函数 ①． 又因为函数f(x+1)‎是定义在R上的奇函数，所以有函数f(x+1)‎过点‎(0, 0)‎； 故函数f(x)‎过点‎(1, 0)‎②． ①②相结合得：x>1‎时，f(x)<0‎． 故不等式f(1−x)<0‎转化为‎1−x>1⇒x<0‎．‎ 二、填空题 ‎【答案】‎ ‎60‎‎∘‎ ‎【考点】‎ 余弦定理 ‎【解析】‎ 首先对‎(a+b+c)⋅(b+c−a)=3bc化简整理得b‎2‎‎+c‎2‎+−a‎2‎=bc代入余弦定理中即可求得cosA，进而求得答案．‎ ‎【解答】‎ 解：‎(a+b+c)⋅(b+c−a)=(b+c‎)‎‎2‎−a‎2‎=b‎2‎+c‎2‎+2bc−a‎2‎=3bc ∴ b‎2‎‎+c‎2‎+−a‎2‎=bc ∴ cosA=b‎2‎‎+c‎2‎+−‎a‎2‎‎2bc=‎‎1‎‎2‎ ∴ ‎∠A=‎‎60‎‎∘‎ 故答案为‎60‎‎∘‎ ‎【答案】‎ ‎1‎‎2‎ ‎【考点】‎ 分段函数的应用 ‎【解析】‎ 直接把‎5‎‎6‎代入第二段的函数解析式，得f(‎5‎‎6‎)=f(‎5‎‎6‎−1)+1=f(−‎1‎‎6‎)+1‎，再代入第一段即可求值．‎ ‎【解答】‎ 解：因为f(x)=‎sinπxx≤0‎f(x−1)+1x>0‎， 所以f(‎5‎‎6‎)=f(‎5‎‎6‎−1)+1=f(−‎1‎‎6‎)+1‎ ‎=sinπ⋅(−‎1‎‎6‎)+1=−‎1‎‎2‎+1=‎‎1‎‎2‎． 故答案为：‎‎1‎‎2‎ ‎【答案】‎ x−y−1=0‎ ‎【考点】‎ 利用导数研究曲线上某点切线方程 ‎【解析】‎ 利用切线与直线y=−x垂直，得到切线的斜率，也就是曲线在点M处的导数，通过计算，得出点M的坐标，再利用点斜式求出切线方程即可．‎ ‎【解答】‎ 解：设点M(x‎0‎, y‎0‎)‎ ∵ 切线与直线y=−x垂直 ∴ 切线的斜率为‎1‎ ∴ 曲线在点M处的导数y′=‎1‎x‎0‎=1‎，即x‎0‎‎=1‎． 当x‎0‎‎=1‎时，y‎0‎‎=0‎，利用点斜式得到切线方程：y=x−1‎； 切线的方程为：x−y−1=0‎ 故答案为：x−y−1=0‎．‎ ‎【答案】‎ n‎3n+1‎ ‎【考点】‎ 数列的求和 ‎【解析】‎ 首先要对式子‎1‎‎1×4‎‎+‎1‎‎4×7‎+…+‎‎1‎‎(3n−2)×(3n+1)‎进行分析，猜想到可以拆项来求解，故可把它们都乘以‎3‎即可拆项，相加即可以得到答案．‎ ‎【解答】‎ 解：设Sn‎=‎1‎‎1×4‎+‎1‎‎4×7‎+…+‎‎1‎‎(3n−2)×(3n+1)‎ 则‎3Sn=‎3‎‎1×4‎+‎3‎‎4×7‎+…+‎3‎‎(3n−2)×(3n+1)‎=1−‎1‎‎4‎+‎1‎‎4‎−‎1‎‎7‎+…+‎1‎‎(3n−2)‎−‎1‎‎(3n+1)‎=1−‎1‎‎(3n+1)‎=‎‎3n‎(3n+1)‎ 所以Sn‎=‎n‎(3n+1)‎． 故答案为n‎(3n+1)‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 三、解答题 ‎【答案】‎ 解：（1）∵ m‎→‎‎⋅n‎→‎=−2sin(π−x)‎3‎cosx+2cosxsin(π‎2‎−x)‎ ‎=−2‎3‎sinxcosx+2cos‎2‎x ‎=−‎3‎sin2x+cos2x+1‎， ∴ f(x)=1−m‎→‎⋅n‎→‎=‎3‎sin2x−cos2x=2sin(2x−π‎6‎)‎．‎ ‎（2）由‎−π‎2‎+2kπ≤2x−π‎6‎≤π‎2‎+2kπ(k∈Z)‎． 解得‎−π‎6‎+kπ≤x≤kπ+‎π‎6‎， ∵ 取k=0‎和‎1‎且x∈[0, π]‎，得‎0≤x≤‎π‎3‎和‎11π‎6‎‎≤x≤π， ∴ f(x)‎的单调递增区间为‎[0, π‎3‎]‎和‎[‎5π‎6‎,π]‎．‎ ‎【考点】‎ 平面向量数量积的运算 ‎【解析】‎ ‎（1）利用向量的数量积和两角和的正弦公式即可得出；‎ ‎（2）利用正弦函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）∵ m‎→‎‎⋅n‎→‎=−2sin(π−x)‎3‎cosx+2cosxsin(π‎2‎−x)‎ ‎=−2‎3‎sinxcosx+2cos‎2‎x ‎=−‎3‎sin2x+cos2x+1‎， ∴ f(x)=1−m‎→‎⋅n‎→‎=‎3‎sin2x−cos2x=2sin(2x−π‎6‎)‎．‎ ‎（2）由‎−π‎2‎+2kπ≤2x−π‎6‎≤π‎2‎+2kπ(k∈Z)‎． 解得‎−π‎6‎+kπ≤x≤kπ+‎π‎6‎， ∵ 取k=0‎和‎1‎且x∈[0, π]‎，得‎0≤x≤‎π‎3‎和‎11π‎6‎‎≤x≤π， ∴ f(x)‎的单调递增区间为‎[0, π‎3‎]‎和‎[‎5π‎6‎,π]‎．‎ ‎【答案】‎ 解：（1）∵ 数列‎{an}‎，当n≥2‎时满足‎1−Sn=an−1‎−‎an， ∴ ‎1−Sn+1‎=an−‎an+1‎， 作差，得an+1‎‎=an−1‎−2an+‎an+1‎， ∴ an‎=‎‎1‎‎2‎an−1‎， 又‎1−S‎2‎=a‎1‎−‎a‎2‎，即‎1−a‎1‎−a‎2‎=a‎1‎−‎a‎2‎， 解得a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎， ∴ ‎{an}‎是首项为‎1‎‎2‎，公比为‎1‎‎2‎的等比数列， ∴ an‎=(‎1‎‎2‎)‎•‎(‎1‎‎2‎‎)‎n−1‎=‎‎1‎‎2‎n．‎ ‎（2）由（1）得bn‎=‎n+1‎‎2‎n， ∴ Tn‎=‎2‎‎2‎+‎3‎‎2‎‎2‎+‎4‎‎2‎‎3‎+…+n‎2‎n−1‎+‎n+1‎‎2‎n，① ‎1‎‎2‎Tn‎=‎2‎‎2‎‎2‎+‎3‎‎2‎‎3‎+‎4‎‎2‎‎4‎+…+n‎2‎n+‎n+1‎‎2‎n+1‎，② ①-②，得‎1‎‎2‎Tn‎=1+‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎3‎+‎1‎‎2‎‎4‎+…+‎1‎‎2‎n−‎n+1‎‎2‎n+1‎ ‎=1+‎1−‎‎1‎‎2‎‎˙‎−‎n+1‎‎2‎n+1‎ ‎=‎3‎‎2‎−‎n+3‎‎2‎n+1‎， ∴ Tn‎=3−‎n+3‎‎2‎n．‎ ‎【考点】‎ 数列的求和 数列的函数特性 ‎【解析】‎ ‎（1）由已知得an‎=‎‎1‎‎2‎an−1‎，从而‎{an}‎是首项为‎1‎‎2‎，公比为‎1‎‎2‎的等比数列，由此能求出an‎=‎‎1‎‎2‎n．‎ ‎（2）由bn‎=‎n+1‎‎2‎n，利用错位相减法能求出数列‎{an}‎的前n项和Tn．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）∵ 数列‎{an}‎，当n≥2‎时满足‎1−Sn=an−1‎−‎an， ∴ ‎1−Sn+1‎=an−‎an+1‎， 作差，得an+1‎‎=an−1‎−2an+‎an+1‎， ∴ an‎=‎‎1‎‎2‎an−1‎， 又‎1−S‎2‎=a‎1‎−‎a‎2‎，即‎1−a‎1‎−a‎2‎=a‎1‎−‎a‎2‎， 解得a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎， ∴ ‎{an}‎是首项为‎1‎‎2‎，公比为‎1‎‎2‎的等比数列， ∴ an‎=(‎1‎‎2‎)‎•‎(‎1‎‎2‎‎)‎n−1‎=‎‎1‎‎2‎n．‎ ‎（2）由（1）得bn‎=‎n+1‎‎2‎n， ∴ Tn‎=‎2‎‎2‎+‎3‎‎2‎‎2‎+‎4‎‎2‎‎3‎+…+n‎2‎n−1‎+‎n+1‎‎2‎n，① ‎1‎‎2‎Tn‎=‎2‎‎2‎‎2‎+‎3‎‎2‎‎3‎+‎4‎‎2‎‎4‎+…+n‎2‎n+‎n+1‎‎2‎n+1‎，② ①-②，得‎1‎‎2‎Tn‎=1+‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎3‎+‎1‎‎2‎‎4‎+…+‎1‎‎2‎n−‎n+1‎‎2‎n+1‎ ‎=1+‎1−‎‎1‎‎2‎‎˙‎−‎n+1‎‎2‎n+1‎ ‎‎=‎3‎‎2‎−‎n+3‎‎2‎n+1‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎， ∴ Tn‎=3−‎n+3‎‎2‎n．‎ ‎【答案】‎ 解：（1）∵ f(x)=xex，∴ f′(x)=ex+xex=(1+x)‎ex，… 当x<−1‎时，f′(x)<0‎，∴ f(x)‎在‎(−∞, −1)‎内单调递减； 当x>−1‎时，f′(x)>0‎，∴ f(x)‎在‎(−1, +∞)‎内单调递增… 又g′(x)=2ax+1‎，由g′(−1)=−2a+1=0‎，得a=‎‎1‎‎2‎， 此时g(x)=‎1‎‎2‎x‎2‎+x=‎1‎‎2‎(x+1‎)‎‎2‎−‎‎1‎‎2‎， 显然g(x)‎在‎(−∞, −1)‎内单调递减，在‎(−1, +∞)‎内单调递增，故a=‎‎1‎‎2‎．…‎ ‎（2）当x≥0‎时恒有f(x)≥g(x)‎，即f(x)−g(x)=x(ex−ax−1)≥0‎恒成立．… 故只需F(x)=ex−ax−1≥0‎恒成立， 对F(x)‎求导数可得F′(x)=ex−a．… ∵ x≥0‎，∴ F′(x)=ex−a， 若a≤1‎，则当x∈(0, +∞)‎时，F′(x)>0‎，F(x)‎为增函数， 从而当x≥0‎时，F(x)≥F(0)=0‎，即f(x)≥g(x)‎；… 若a>1‎，则当x∈(0, lna)‎时，F′(x)<0‎，F(x)‎为减函数， 从而当x∈(0, lna)‎时，F(x)−1‎时，f′(x)>0‎，∴ f(x)‎在‎(−1, +∞)‎内单调递增… 又g′(x)=2ax+1‎，由g′(−1)=−2a+1=0‎，得a=‎‎1‎‎2‎， 此时g(x)=‎1‎‎2‎x‎2‎+x=‎1‎‎2‎(x+1‎)‎‎2‎−‎‎1‎‎2‎， 显然g(x)‎在‎(−∞, −1)‎内单调递减，在‎(−1, +∞)‎内单调递增，故a=‎‎1‎‎2‎．…‎ ‎（2）当x≥0‎时恒有f(x)≥g(x)‎，即f(x)−g(x)=x(ex−ax−1)≥0‎恒成立．… 故只需F(x)=ex−ax−1≥0‎恒成立， 对F(x)‎求导数可得F′(x)=ex−a．… ∵ x≥0‎，∴ F′(x)=ex−a， 若a≤1‎，则当x∈(0, +∞)‎时，F′(x)>0‎，F(x)‎为增函数， 从而当x≥0‎时，F(x)≥F(0)=0‎，即f(x)≥g(x)‎；… 若a>1‎，则当x∈(0, lna)‎时，F′(x)<0‎，F(x)‎为减函数， 从而当x∈(0, lna)‎时，F(x)

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