山西运城市景胜中学2019-2020学年高一下学期期末模考数学试题

山西运城市景胜中学2019-2020学年高一下学期期末模考数学试题

景胜中学2019--2020学年度第二学期期末模考（6月）‎ 高一数学试题 ‎ 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ） ‎ ‎1. 若角的终边过点，则的值为(        ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 2. 已知，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 在中，若，，，则        ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，成等差数列，，，成等比数列，则         ‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 已知等差数列中，＝，前项的和等于前项的和，若＝，则＝‎ A. B. C. D.‎ ‎ 6. 若实数，满足，则＝的最大值为（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 如图是函数＝在区间上的图象，为了得到＝的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ） ‎ A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 ‎8. 若不等式对一切成立，则的最小值为        ‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 设，满足条件若目标函数的最大值为，则的最小值为（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于，的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值为(        ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 11. 若函数在上有两个零点，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 12. 一辆邮车从地往地运送邮件，沿途共有地，依次记为，，…（为地，为地）．从地出发时，装上发往后面地的邮件各件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各件，记该邮车到达，，…各地装卸完毕后剩余的邮件数记为＝,…,．则的表达式为（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ） ‎ ‎13. 点和在直线＝的两侧，则实数的取值范围是________． ‎ ‎ 14. 记为数列的前项和，，则_______. ‎ ‎ 15. 已知是单位向量，且满足，则向量在方向上的投影是______． ‎ ‎ 16. 已知函数的周期为，当时，函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是________． ‎ ‎ 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ） ‎ ‎17.(10分) 设等差数列的前项和为，已知，． ‎ 求数列的通项公式；‎ ‎ 若数列满足：，求数列的前项和.‎ ‎ 18.(12分) 在锐角中，角，，所对的边分别是，，，且． ‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的范围．‎ ‎19.(12分) 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． ‎ 证明：；‎ 若的面积，求角的大小．‎ ‎ 20.(12分) 已知，且，求： ‎ 的最小值；‎ ‎ 的最小值．‎ ‎ 21.(12分) 设数列中＝，＝，且数列，，…，，…，是以为公比的等比数列． ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎ 22.(12分) 已知函数.‎ 求函数的最小正周期及单调递增区间；‎ 在中，角所对的边分别为，且，求面积的最大值.‎ 参考答案与试题解析 景胜中学2019--2020学年度第二学期期末模考（6月）‎ 高一数学 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） ‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解：∵ 角的终边过点， ∴ 根据三角函数的定义知 ， 故选．‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ D ‎【解答】‎ 解：，‎ ‎.‎ 故选.‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ A ‎【解答】‎ 解：∵ 在中，，， ∴ 由正弦定理可得， ∴ . 故选.‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ A ‎【解答】‎ 解：由题意可得，，成等差数列，可得， ，，成等比数列， ， 由正弦定理可得， ∴ , ∴ ， ∵ ， ∴ . 故选．‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ B ‎【解答】‎ 设等差数列的公差为，＝，前项的和等于前的和，＝， 则＝，＝， 解得＝．‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ D ‎【解答】‎ 画出实数，满足可行域， 由图可知目标函数＝经过点时取得最大值． ‎ ‎7.‎ ‎【答案】‎ D ‎【解答】‎ 根据函数＝在区间上的图象， 可得＝，，∴ ＝． 再根据五点法作图，＝，求得，故函数＝． 故把的图象向右平移个单位长度，可得＝的图象； 再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，可得＝的图象，‎ ‎8.‎ ‎【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解：设，则对称轴为， ‎ 若，即时，则在，上是减函数， 应有， 若，即时，则在，上是增函数， 应有恒成立， 故， 若，即， 则应有恒成立， 故， 综上，有． 故选.‎ ‎9.‎ ‎【答案】‎ D ‎【解答】‎ 解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分， 当直线过直线与直线的交点时，目标函数取得最大值， ∴ ，即， ∴ . 当且仅当时，的最小值为. 故选D．‎ ‎10.‎ ‎【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解：∵ 圆心是直径的中点， ∴ ， 所以， ∵ 与共线且方向相反 ‎ ‎∴ 当大小相等时点乘积最小， 由条件知当时， 最小值为. 故选.‎ ‎11.‎ ‎【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解：， 则当， ，又在上有两个零点， ，解得. 故选.‎ ‎12.‎ ‎【答案】‎ D ‎【解答】‎ 根据题意，该邮车到第站时，一共装上了……件邮件， 需要卸下……件邮件， 则，‎ 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） ‎ ‎13.‎ ‎【答案】‎ ‎【解答】‎ 由题意点和在直线＝的两侧 ∴ 即 解得 ‎14.‎ ‎【答案】‎ ‎【解答】‎ 解：由， 得，     两式相减得， 即， 所以， 由， 得，所以， 故答案为：.‎ ‎15.‎ ‎【答案】‎ ‎【解答】‎ 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 又∵ , ∴ 向量 在 方向上的投影为：. 故答案为：.‎ ‎16.‎ ‎【答案】‎ ‎【解答】‎ 解：． 因为，所以， 所以． 因为，所以， 所以， 由得， 即的图象与直线恰有两个交点， 结合图象（图略）可知，即． 故实数的取值范围是． ‎ 故答案为：．‎ 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ） ‎ ‎17.‎ ‎【答案】‎ 解：设数列的公差为， 由，得， 又． 解得，， 因此的通项公式是：.‎ 由知 ， 所以 ．‎ ‎【解答】‎ 解：设数列的公差为， 由，得， 又． 解得，， 因此的通项公式是：.‎ 由知 ， 所以 ．‎ ‎18.‎ ‎【答案】‎ 解：（1）因为， 所以， 因为， 所以， 又， 所以，可得：， 因为是锐角三角形， 所以，，，‎ ‎（2）因为， 所以，， ‎ 因为是锐角三角形， 所以，的范围．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）因为， 所以， 因为， 所以， 又， 所以，可得：， 因为是锐角三角形， 所以，，，‎ ‎（2）因为， 所以，， 因为是锐角三角形， 所以，的范围．‎ ‎19.‎ ‎【答案】‎ 证明：∵ ， ∴ 由正弦定理得， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵ ，是三角形中的角， ∴ ， ∴ ；‎ ‎∵ 的面积， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，或， ∴ 或．‎ ‎【解答】‎ 证明：∵ ， ∴ 由正弦定理得， ∴ ， ∴ ， ‎ ‎∴ . ∵ ，是三角形中的角， ∴ ， ∴ ；‎ ‎∵ 的面积， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，或， ∴ 或．‎ ‎20.‎ ‎【答案】‎ 解：∵ ，且， ∴ ， ∴ ，∴ ， 当且仅当时取等号， 故的最小值为；‎ 由，得：， 又，， ∴ ， 当且仅当时取等号， 故的最小值为．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ ，且， ∴ ， ∴ ，∴ ， 当且仅当时取等号， 故的最小值为；‎ 由，得：， 又，， ∴ ， 当且仅当时取等号， 故的最小值为．‎ ‎21.‎ ‎【答案】‎ 数列，，…，，…，是以为首项，为公比的等比数列， 可得＝， 可得＝ ＝＝；‎ 由＝，可得数列为首项为，为公比的等比数列， 可得前项和．‎ ‎【解答】‎ 数列，，…，，…，是以为首项，为公比的等比数列， 可得＝， 可得＝ ＝＝；‎ 由＝，可得数列为首项为，为公比的等比数列， 可得前项和．‎ ‎22.‎ ‎【答案】‎ 解： ， 所以函数的最小正周期为. 令， 解得， 所以函数的单调递增区间为 .‎ 由，得， 又，所以，解得. 由，得， 即， 亦即，当且仅当时等号成立. 从而， 所以面积的最大值为.‎ ‎【解答】‎ 解： ， 所以函数的最小正周期为. 令， ‎ 解得， 所以函数的单调递增区间为 .‎ 由，得， 又，所以，解得. 由，得， 即， 亦即，当且仅当时等号成立. 从而， 所以面积的最大值为.‎