2017-2018学年山东省淄博市淄川中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 Word版

2017-2018学年山东省淄博市淄川中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 Word版

2017-2018 学年山东省淄博市淄川中学高二下学期第 一次月考理科数学试卷 一、选择题（每题 5 分，共 60 分） 1．z＝ 1 1i 的共轭复数是 ( ) A．1 2 ＋1 2 i B．1 21 2 i C．1i D．1＋i 2．函数 exy x  的单调减区间为 A．(1, ) B．(0, ) C．( 0), D．( 1), 3．设 a 是实数，且 a 1+i＋1+i 2 是实数，则 a＝ ( ) A．1 2 B．1 C．3 2 D．2 4．由直线 0, e, 2y x y x   及曲线 xy 2 所围成的封闭的图形的面积为（） A． 2ln23 B．3 C． 22e 3 D．e 5．已知函数 f (x)=x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( ) A．x0∈R，f (x0)＝0 B．函数 y＝f (x)的图象是中心对称图形 C．若 x0 是 f (x)的极小值点，则 f (x)在区间(−∞，x0)上单调递减 D．若 x0 是 f (x)的极值点，则 f ′(x0)＝0 6．函数 2( n) 2lf x x x  在[1,2]上的最大值是( ) A． 4 2ln 2 B．1 C． 4 2ln 2 D． 1 7．若函数 3 2( ) 6f x x ax x    在 01， 上单调递减，则实数 a 的取值范围是 ( ) A． 1a  B． 1a  C． 1a  D．0 1a  8．若函数 ( )f x 在 R 上可导，其导函数为 ( )f x ，且函数  1 ( )y x f x  的图象如图 所示，则下列结论中一定成立的是( ) A．函数 ( )f x 有极大值 ( 2)f  ，无极小值 B．函数 ( )f x 有极小值 (1)f ，无极 大值 C．函数 ( )f x 有极大值 ( 2)f  和极小值 (1)f D．函数 ( )f x 有极大值 (1)f 和极小 值 ( 2)f  9．如图，将直径为 d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的 断面高的平方与宽 x 的积成正比(强度系数为 k，k>0)．要将直径为 d 的圆木 锯成强度最大的横梁，断面的宽 x 应为 A． 3 d B． 2 d C． 3 3 d D． 2 2 d 10．设 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x＜0 时， f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且 f(3)＝0，则不等式 <0 的解集是( ) A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3) 11 若函数 ( ) lnf x kx x  在区间 1, 上单调递增，则 k 的取值范围是 A． , 2  B． , 1  C． 2, D． 1, 12 函数 y=f(x)的导函数 ( )y f x 的图象如图所示，则函数 y=f(x)的图象可能是 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13．已知复数 z0＝3＋2i，复数 z 满足 zz0＝3z＋z0，则复数 z＝ ． 14 已知 x≥0，y≥0，x＋3y＝9，则 x2y 的最大值为 15．若关于 x 的方程 x3−3x＋m=0 在[0，2]上有实根，则实数 m 的取值范围是 ______________． 16. 0 π cos d( e )x xx  = 三、解答题 17．(本小题满分 10 分)求直线 x＝1＋4 5 t， y＝－1－3 5 t (t 为参数)被 曲线ρ＝ 2cos θ＋π 4 所截的弦长． 18．(本小题满分 12 分)设函数 f(x)＝x＋ax2＋b·ln x， 曲线 y＝f(x)过 P(1,0)，且在 P 点处的切线斜率为 2. (1)求 a，b 的值； (2)证明：f(x)≤2x－2. 19. ( 本小题满分 12 分)已知函数 2( ) e 1xf x ax bx    ，其中 ,a bR ， e 2.718 28 为自然对数的底数．设 ( )g x 是函数 ( )f x 的导函数，求函数 ( )g x 在区 间[0,1] 上的最小值． 20． (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1： x＝tcos α， y＝tsin α (t 为参数，t≠0)，其中 0≤α＜π. 在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线 C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2 3cos θ. (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标； (2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值． 21. (本小题满分 12 分)已知函数 ( ) exf x x  ． （1）求 ( )f x 的极小值； （2）对 (0, ), ( )x f x ax    恒成立，求实数 a 的取值范围． 22. (本小题满分 12 分)已知函数 1( ) ln ,f x a x ax   R ． （1）求函数 ( )f x 的单调递减区间； （2）当 1[ ,1]2x 时， ( )f x 的最小值是0 ，求实数 a 的值． 淄川中学 2016 级高二下学期第一次阶段性检测理科数 学试卷 BBBBC AAACD DD 2 32 i 36 [−2，2] π 1 1e  17．(本小题满分 10 分)求直线 x＝1＋4 5 t， y＝－1－3 5t (t 为参数)被曲线ρ＝ 2cos θ＋π 4 所截的弦 长． 解：将方程 x＝1＋4 5 t， y＝－1－3 5 t， ρ＝ 2cos θ＋π 4 分别化为普通方程 3x＋4y＋1＝0，x2＋y2 －x＋y＝0， 圆心 C 1 2 ，－1 2 ， 半径为 2 2 ，圆心到直线的距离 d＝ 1 10 ， 弦长＝2 r2－d2＝2 1 2 － 1 100 ＝7 5. 18．(本小题满分 12 分)设函数 f(x)＝x＋ax2＋b·ln x，曲线 y＝f(x)过 P(1,0)，且在 P 点处 的切线斜率为 2. (1)求 a，b 的值； (2)证明：f(x)≤2x－2. 解：(1)f′(x)＝1＋2ax＋b x ， 由已知条件得 f1＝0， f′1＝2， 即 1＋a＝0， 1＋2a＋b＝2， 解得 a＝－1，b＝3. (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知 f(x)＝x－x2＋3ln x. 设 g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x， 则 g′(x)＝－1－2x＋3 x ＝－x－12x＋3 x . 当 00；当 x>1 时，g′(x)<0. 所以 g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减． 而 g(1)＝0，故当 x>0 时，g(x)≤0， 即 f(x)≤2x－2. 19.已知函数 2( ) e 1xf x ax bx    ，其中 ,a bR ，e 2.718 28  为自然对数的底数．设 ( )g x 是函数 ( )f x 的导函数，求函数 ( )g x 在区间[0,1] 上的最小值． 【解析】由 2( ) e 1xf x ax bx    ，有 ( ) ( ) e 2xg x f x ax b    ，所以 ( ) e 2xg x a   ． 因此，当 [0,1]x 时， ( ) [1 2 ,e 2 ]g x a a    ． 当 1 2a  时， ( ) 0g x  ，所以 ( )g x 在区间[0,1] 上单调递增． 因此 ( )g x 在[0,1] 上的最小值是 (1) e 2g a b   ； 当 1 e 2 2a  时，令 ( ) 0g x  ，得 ln(2 ) (0,1)x a  ． 所以函数 ( )g x 在区间[0,ln(2 )]a 上单调递减，在区间 (ln(2 ),1]a 上单调递增． 于是， ( )g x 在[0,1] 上的最小值是 (ln(2 )) 2 2 ln(2 )g a a a a b   ． 综上所述，当 1 2a  时， ( )g x 在[0,1] 上的最小值是 (0) 1g b  ；当 1 e 2 2a  时， ( )g x 在 [0,1] 上的最小值是 (ln(2 )) 2 2 ln(2 )g a a a a b   ；当 e 2a  时， ( )g x 在[0,1] 上的最小值是 (1) e 2g a b   ． 20．(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： x＝tcos α， y＝tsin α (t 为参数，t≠0)， 其中 0≤α＜π.在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ ＝2 3cos θ. (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标； (2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值． 解：(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0， 曲线 C3 的直角坐标方程为 x2＋y2－2 3x＝0. 联立 x2＋y2－2y＝0， x2＋y2－2 3x＝0， 解得 x＝0， y＝0 或 x＝ 3 2 ， y＝3 2. 所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和 3 2 ，3 2 . (2)曲线 C1 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中 0≤α＜π. 因此 A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(2 3cos α，α)． 所以|AB|＝|2sin α－2 3cos α|＝4|sin α－π 3 |. 当α＝5π 6 时，|AB|取得最大值，最大值为 4. 21.已知函数 ( ) exf x x  ． （1）求 ( )f x 的极小值； （2）对 (0, ), ( )x f x ax    恒成立，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1）极小值为1；（2） ( ,e 1)  ． 【解析】（1） '( ) e 1xf x   ，令 '( ) 0f x  ，得 0x  ． 当 x 变化时， '( )f x 与 ( )f x 的变化情况如下表： 则 ( )f x 的极小值为 (0) 1f  ． （2）当 0x  时， e 1 x ax   恒成立． 令 e( ) 1, 0 x g x xx    ，则 2 e ( 1)'( ) x xg x x  ，令 '( ) 0g x  ，得 1x  ． 当 x 变化时， '( )g x 与 ( )g x 的变化情况如下表： 则 min( ) (1) e 1g x g   ，故实数 a 的取值范围是 ( ,e 1)  ． 21.已知函数 1( ) ln ,f x a x ax   R ． （1）求函数 ( )f x 的单调递减区间； （2）当 1[ ,1]2x 时， ( )f x 的最小值是 0 ，求实数 a 的值． 【答案】（1）见解析；（2） 2 ln 2a  ． 【解析】（1） 2 2 1 1( ) a axf x x x x      ， 0x  ， 当 0a  时， ( ) 0f x  在 (0, ) 上恒成立， 则 ( )f x 的单调递减区间为 (0, ) ； 当 0a  时，令 ( ) 0f x  ，得 10 x a   ，则 ( )f x 的单调递减区间为 1(0, )a ． 当1 2a  时， ( )f x 在 1 1[ , ]2 a 上单调递减，在 1[ ,1]a 上单调递增， 则 min 1 1( ) ( ) ln 0f x f a aa a     ，解得 ea  ，舍去． 综上，得 2 ln 2a  ．