2020届高考分类汇编02：三角函数平面向量(含解析)

2020届高考分类汇编02：三角函数平面向量(含解析)

2020 届全国各地高考试题分类汇编目录 01 集合..........................................................................................................................................................................1 02 复数..........................................................................................................................................................................5 03 逻辑用语..................................................................................................................................................................8 04 函数与导数........................................................................................................................................................... 10 05 三角函数和解三角形............................................................................................................................................34 06 平面向量................................................................................................................................................................ 47 07 数列....................................................................................................................................................................... 53 08 不等式和线性规划............................................................................................................................................... 69 09 空间立体几何....................................................................................................................................................... 73 10 平面解析几何....................................................................................................................................................... 98 11 统计和概率.........................................................................................................................................................123 12 极坐标和参数方程.............................................................................................................................................142 13 不等式选讲.........................................................................................................................................................147 05 三角函数和解三角形 1.（2020•北京卷）2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率 的方法有多 种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 n 充分大时，计算单位圆的 内接正 6n 边形的周长和外切正 6n 边形（各边均与圆相切的正 6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 2 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是（ ）． A. 30 303 sin tann n n       B. 30 306 sin tann n n       C. 60 603 sin tann n n       D. 60 606 sin tann n n       【答案】A 【解析】计算出单位圆内接正 6n 边形和外切正 6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为 2 的近似值可 得出结果. 【详解】单位圆内接正 6n 边形的每条边所对应的圆周角为 360 60 6n n   ，每条边长为 302sin n  ， 所以，单位圆的内接正 6n 边形的周长为 3012 sinn n  ， 单位圆的外切正 6n 边形的每条边长为 302 tan n  ，其周长为 3012 tann n  ， 30 3012 sin 12 tan 30 302 6 sin tan2 n nn n n n n            ，则 30 303 sin tann n n        . 故选：A. 【点睛】本题考查圆周率 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正 6n 边形和外切正 6n 边形的周 长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 2.（2020•北京卷）若函数 ( ) sin( ) cosf x x x   的最大值为 2，则常数 的一个取值为________． 【答案】 2  （ 2 ,2k k Z   均可） 【解析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得      22cos sin 1 sinf x x      ，可得  22cos sin 1 2    ，即可解出. 【详解】因为        22cos sin sin 1 cos cos sin 1 sinf x x x x           ， 所以  22cos sin 1 2    ，解得sin 1  ，故可取 2   .故答案为： 2  （ 2 ,2k k Z   均可）. 【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运 算能力，属于基础题. 3.（2020•北京卷）在 ABC 中， 11a b  ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值： （Ⅱ）sinC 和 ABC 的面积． 条件①： 17,cos 7c A   ； 条件②： 1 9cos ,cos8 16A B  ． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ） 3sin 2C  , 6 3S  ； 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ） 7sin 4C  , 15 7 4S  . 【解析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得 sin A ,再根据正弦 定理求sinC ,最后根据三角形面积公式求结果； 选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得 sin ,sinA B ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正 弦公式求sinC ，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】选择条件①（Ⅰ） 17,cos 7c A   ， 11a b  2 2 2 2 2 2 12 cos (11 ) 7 2(11 ) 7 ( )7a b c bc A a a a            8a  （Ⅱ） 21 4 3cos (0, ) sin 1 cos7 7A A A A       ， 由正弦定理得： 8 7 3sinsin sin sin 24 3 7 a c CA C C      1 1 3sin (11 8) 8 6 32 2 2S ba C      选择条件②（Ⅰ） 1 9cos ,cos , (0, )8 16A B A B    ， 2 23 7 5 7sin 1 cos ,sin 1 cos8 16A A B B       由正弦定理得： 11 6sin sin 3 7 5 7 8 16 a b a a aA B      （Ⅱ） 3 7 9 5 7 1 7sin sin( ) sin cos sin cos 8 16 16 8 4C A B A B B A         1 1 7 15 7sin (11 6) 62 2 4 4S ba C      【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 4.（2020•全国 1 卷）设函数 ( ) cos π( )6f x x  在[ π,π] 的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（ ） A. 10π 9 B. 7π 6 C. 4π 3 D. 3π 2 【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点 4 ,09     ，即可得到 4cos 09 6         ，结合 4 ,09     是函数  f x 图象与 x 轴负半轴的第一个交点即可得到 4 9 6 2        ，即可求得 3 2   ，再利用三角函数周 期公式即可得解. 【详解】由图可得：函数图象过点 4 ,09     ，将它代入函数  f x 可得： 4cos 09 6         又 4 ,09     是函数  f x 图象与 x 轴负半轴的第一个交点，所以 4 9 6 2        ，解得： 3 2   所以函数  f x 的最小正周期为 2 2 4 3 3 2 T       故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 5.（2020•全国 1 卷）已知   π( )0, ，且 3cos2 8cos 5   ，则 sin  （ ） A. 5 3 B. 2 3 C. 1 3 D. 5 9 【答案】A 【解析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 cos 的一元二次方程，求解得出 cos ，再用同角 间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】 3cos2 8cos 5   ，得 26cos 8cos 8 0    ， 即 23cos 4cos 4 0    ，解得 2cos 3    或 cos 2  （舍去）， 又 2 5(0, ), sin 1 cos 3         .故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能 力，属于基础题. 6.（2020•全国 2 卷）若α为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0 【答案】D 【解析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可. 【详解】方法一：由α为第四象限角，可得 3 2 2 2 ,2 k k k Z         ， 所以3 4 2 4 4 ,k k k Z         此时 2 的终边落在第三、四象限及 y 轴的非正半轴上，所以 sin 2 0  故选：D. 方法二：当 6    时， cos2 cos 03        ，选项 B 错误； 当 3    时， 2cos2 cos 03        ，选项 A 错误； 由 在第四象限可得： sin 0,cos 0   ，则 sin 2 2sin cos 0    ，选项 C 错误，选项 D 正确； 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化 能力和计算求解能力. 7.（2020•全国 2 卷） ABC 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC. （1）求 A； （2）若 BC=3，求 ABC 周长的最大值. 【答案】（1） 2 3  ；（2）3 2 3 . 【解析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出 cos A的形式，进而求得 A ； （2）利用余弦定理可得到 2 9AC AB AC AB    ，利用基本不等式可求得 AC AB 的最大值，进而 得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得： 2 2 2BC AC AB AC AB    ， 2 2 2 1cos 2 2 AC AB BCA AC AB      ，  0,A  ， 2 3A   . （2）由余弦定理得： 2 2 2 2 22 cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB         ， 即 2 9AC AB AC AB    . 2 2 AC ABAC AB       （当且仅当 AC AB 时取等号），       2 2 2 239 2 4 AC ABAC AB AC AB AC AB AC AB             ， 解得： 2 3AC AB  （当且仅当 AC AB 时取等号）， ABC 周长 3 2 3L AC AB BC     ， ABC 周长的最大值为3 2 3 . 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最 大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系 求得最值. 8.（2020•全国 3 卷）在 △ ABC 中，cosC= 2 3 ，AC=4，BC=3，则 cosB=（ ） A. 1 9 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【答案】A 【解析】根据已知条件结合余弦定理求得 AB ，再根据 2 2 2 cos 2 AB BC ACB AB BC    ，即可求得答案. 【详解】 在 ABC 中， 2cos 3C  ， 4AC  ， 3BC  根据余弦定理： 2 2 2 2 cosAB AC BC AC BC C     , 2 2 24 3 2 24 3 3AB       , 可得 2 9AB  ，即 3AB  ,由 2 2 2 9 9 16 1cos 2 2 3 3 9 AB BC ACB AB BC         , 故 1cos 9B  .故选：A. 【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 9.（2020•全国 3 卷）已知 2tanθ–tan(θ+ π 4 )=7，则 tanθ=（ ） A. –2 B. –1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】 2tan tan 74        ， tan 12tan 71 tan      ， 令 tan , 1t t  ，则 12 71 tt t   ，整理得 2 4 4 0t t   ，解得 2t  ，即 tan 2  .故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题. 10.（2020•全国 3 卷）关于函数 f（x）= 1sin sinx x  有如下四个命题： ①f（x）的图像关于 y 轴对称． ②f（x）的图像关于原点对称． ③f（x）的图像关于直线 x= 2  对称． ④f（x）的最小值为 2． 其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的 定义可判断命题③的正误；取 0x   可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①， 1 526 2 2f        ， 1 526 2 2f          ，则 6 6f f            ， 所以，函数  f x 的图象不关于 y 轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数  f x 的定义域为 ,x x k k Z  ，定义域关于原点对称，        1 1 1sin sin sinsin sin sinf x x x x f xx x x                 ， 所以，函数  f x 的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③， 1 1sin cos2 2 cossin 2 f x x x xx                         ， 1 1sin cos2 2 cossin 2 f x x x xx                        ，则 2 2f x f x             ， 所以，函数  f x 的图象关于直线 2x  对称，命题③正确； 对于命题④，当 0x   时， sin 0x  ，则   1sin 0 2sinf x x x     ， 命题④错误.故答案为：②③. 【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 11.（2020•江苏卷）已知 2sin ( )4   = 2 3 ，则sin 2 的值是____. 【答案】 1 3 【解析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果. 【详解】 2 22 2 1sin ( ) ( cos sin ) (1 sin 2 )4 2 2 2         Q 1 2 1(1 sin 2 ) sin 22 3 3       ,故答案为： 1 3 【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 12.（2020•江苏卷）将函数 y= πsin(2 )43 x﹢ 的图象向右平移 π 6 个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近的 对称轴的方程是____. 【答案】 5 24x   【解析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】 3sin[2( ) ] 3sin(2 )6 4 12y x x       72 ( ) ( )12 2 24 2 kx k k Z x k Z           ,当 1k   时 5 24x   ,故答案为： 5 24x   【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 13.（2020•江苏卷）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 3, 2, 45a c B    ． （1）求sinC 的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 4cos 5ADC   ，求 tan DAC 的值． 【答案】（1） 5sin 5C  ；（2） 2tan 11DAC  . 【解析】（1）利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sinC . （2）根据 cos ADC 的值，求得sin ADC 的值，由（1）求得 cosC 的值，从而求得 sin ,cosDAC DAC  的值，进而求得 tan DAC 的值. 【详解】（1）由余弦定理得 2 2 2 22 cos 9 2 2 3 2 52b a c ac B          ，所以 5b  . 由正弦定理得 sin 5sinsin sin 5 c b c BCC B b     . （2）由于 4cos 5ADC   ， ,2ADC       ，所以 2 3sin 1 cos 5ADC ADC     . 由于 ,2ADC       ，所以 0, 2C     ，所以 2 2 5cos 1 sin 5C C   . 所以  sin sinDAC DAC     sin ADC C    sin cos cos sinADC C ADC C      3 2 5 4 5 2 5 5 5 5 5 25          . 由于 0, 2DAC      ，所以 2 11 5cos 1 sin 25DAC DAC     . 所以 sin 2tan cos 11 DACDAC DAC    . 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题. 14.（2020•新全国 1 山东）下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)= （ ） A. πsin( 3x  ） B. πsin( 2 )3 x C. πcos(2 6x  ） D. 5πcos( 2 )6 x 【答案】BC 【解析】首先利用周期确定 的值，然后确定 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确 结果. 【详解】由函数图像可知： 2 2 3 6 2 T     ，则 2 2 2T      ，所以不选 A, 当 2 53 6 2 12x     时， 1y     5 32 212 2 k k Z       ， 解得：  22 3k k     Z ，即函数的解析式为： 2sin 2 2 sin 2 cos 2 sin 23 6 2 6 3y x k x x x                                   . 而 5cos 2 cos( 2 )6 6x x        ,故选：BC. 【点睛】已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求 待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝ 2 T  即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则令 ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若 对 A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 15.（2020•新全国 1 山东）在① 3ac  ，② sin 3c A  ，③ 3c b 这三个条件中任选一个，补充在下面问 题中，若问题中的三角形存在，求 c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在 ABC ，它的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且sin 3 sinA B= ， 6C  ，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到 a,b 的比例关系，根据比例关系，设 出长度长度，由余弦定理得到 c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA 的值，得到角 , ,A B C 的值，然后根据选择的条 件进行分析判断和求解. 【详解】解法一：由sin 3 sinA B= 可得： 3a b  ，不妨设  3 , 0a m b m m   ， 则： 2 2 2 2 2 232 cos 3 2 3 2c a b ab C m m m m m          ，即 c m . 选择条件①的解析：据此可得： 23 3 3ac m m m    ， 1m  ，此时 1c m  . 选择条件②的解析：据此可得： 2 2 2 2 2 2 2 3 1cos 2 2 2 b c a m m mA bc m        ， 则： 21 3sin 1 2 2A        ，此时： 3sin 32c A m   ，则： 2 3c m  . 选择条件③的解析：可得 1c m b m   ， c b ，与条件 3c b 矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二：∵  3 , ,6sinA sinB C B A C      , ∴  3 sin 3 sin 6sinA A C A        ,   3 13 sin 3 · 3 ·2 2sinA A C sinA cosA    ， ∴ 3sinA cosA  ,∴ 3tanA   ,∴ 2 3A  ,∴ 6B C   , 若选①， 3ac  ,∵ 3 3a b c  ,∴ 23 3c  ,∴c=1; 若选②， 3csinA  ,则 3 32 c  , 2 3c  ;若选③,与条件 3c b 矛盾. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的 一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式 的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 16.（2020•天津卷）已知函数 ( ) sin 3f x x      ．给出下列结论： ① ( )f x 的最小正周期为 2 ； ② 2f      是 ( )f x 的最大值； ③把函数 siny x 的图象上所有点向左平移 3  个单位长度，可得到函数 ( )y f x 的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为 ( ) sin( )3f x x   ，所以周期 2 2T    ，故①正确； 5 1( ) sin( ) sin 12 2 3 6 2f         ，故②不正确； 将函数 siny x 的图象上所有点向左平移 3  个单位长度，得到 sin( )3y x   的图象， 故③正确.故选：B. 【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是 一道容易题. 17.（2020•天津卷）在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ．已知 2 2, 5, 13a b c   ． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求 sin A 的值； （Ⅲ）求sin 2 4A     的值． 【答案】（Ⅰ） 4C = ；（Ⅱ） 2 13sin 13A  ；（Ⅲ） 17 2sin 2 4 26A      . 【解析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案； （Ⅲ）先计算出sin ,cos ,A A 进一步求出sin 2 ,cos2A A ，再利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在 ABC 中，由 2 2, 5, 13a b c   及余弦定理得 2 2 2 8 25 13 2cos 2 22 2 2 5 a b cC ab         ，又因为 (0, )C  ，所以 4C = ； （Ⅱ）在 ABC 中，由 4C = ， 2 2, 13a c  及正弦定理，可得 22 2sin 2sin 13 a CA c     2 13 13 ； （Ⅲ）由 a c 知角 A 为锐角，由 2 13sin 13A  ，可得 2cos 1 sinA A   3 13 13 ， 进而 212 5sin 2 2sin cos ,cos2 2cos 113 13A A A A A     ， 所以 12 2 5 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin4 4 4 13 2 13 2A A A          17 2 26 . 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学 运算能力，是一道容易题. 17.（2020•浙江卷）.已知 tan 2  ，则 cos2  ________； πtan( )4    ______． 【答案】 (1). 3 5- (2). 1 3 【解析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得 cos2 ，根据两角差正切公式得 tan( )4   【详解】 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 1 tan 1 2 3cos2 cos sin cos sin 1 tan 1 2 5                    ， tan 1 2 1 1tan( )4 1 tan 1 2 3          ，故答案为： 3 1,5 3  【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 18.（2020•浙江卷）在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2 sin 3b A a ． （I）求角 B； （II）求 cosA+cosB+cosC 的取值范围． 【答案】（I） 3B  ；（II） 3 1 3,2 2     【解析】（I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B 的大小； （II）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角 形确定∠A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得 cos cos cosA B C  的取值范围. 【详解】（I）由 2 sin 3b A a 结合正弦定理可得： 32sin sin 3 sin , sin 2B A A B   △ABC 为锐角三角形，故 3B  . （II）结合(1)的结论有： 1 2cos cos cos cos cos2 3A B C A A         1 3 1cos cos sin2 2 2A A A    3 1 1sin cos2 2 2A A   1sin 6 2A       . 由 20 3 2 0 2 A A          可得： 6 2A   ， 2 3 6 3A     ， 则 3sin ,13 2A            ， 1 3 1 3sin ,2 23 2A             . 即 cos cos cosA B C  的取值范围是 3 1 3,2 2     . 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值 也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于 某个角的函数，利用函数思想求最值. 10.（2020•上海卷）已知 f(x)=sin ( 0)x   . （1）若 f(x)的周期是 4π，求 ，并求此时 1f( ) 2x  的解集； （2）已知 =1 ， 2g( ) ( ) 3 ( ) ( )2x f x f x f x    ， x 0, 4     ，求 g(x)的值域. 【答案】（1） 1= 2  ， 5x x|x= 4 x 4 ,3 3k k k Z          或 ;（2） 1- ,02      06 平面向量 1.（2020•北京卷）已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 满足 1 ( )2AP AB AC    ，则| |PD  _________； PB PD   _________． 【答案】 (1). 5 (2). 1 【解析】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为 x 、 y 轴建立平面直角坐标系，求得点 P 的坐标， 利用平面向量数量积的坐标运算可求得 PD  以及 PB PD  的值. 【详解】以点 A 为坐标原点， AB 、 AD 所在直线分别为 x 、 y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点  0,0A 、  2,0B 、  2,2C 、  0,2D ，        1 1 12,0 2,2 2,12 2 2AP AB AC       ， 则点  2,1P ，  2,1PD   ，  0, 1PB   ， 因此，  2 22 1 5PD     ，  0 2 1 ( 1) 1PB PD          .故答案为： 5 ； 1 . 【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点 P 的坐标是解答的关键， 考查计算能力，属于基础题. 2.（2020•全国 1 卷）设 ,a b 为单位向量，且| | 1a b  ，则| |a b  ______________. 【答案】 3 【解析】整理已知可得：  2 a b a b      ，再利用 ,a b   为单位向量即可求得 2 1a b    ，对 a b r r 变形 可得： 2 2 2a b a a b b          ，问题得解. 【详解】因为 ,a b   为单位向量，所以 1a b  r r 所以  2 2 2 2 2 2 1a b a b a a b b a b                    解得： 2 1a b    ,所以  2 2 2 2 3a b a b a a b b               ,故答案为： 3 【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题. 3.（2020•全国 2 卷）已知单位向量 a  , b  的夹角为 45°， k a b    与 a  垂直，则 k=__________. 【答案】 2 2 【解析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数 k 的值. 【详解】由题意可得： 21 1 cos45 2a b        ，由向量垂直的充分必要条件可得： 0k a b a         ， 即： 2 2 02k a a b k          ，解得： 2 2k  .故答案为： 2 2 ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学 生的转化能力和计算求解能力. 4.（2020•全国 3 卷）已知向量 a，b 满足| | 5a  ，| | 6b  ， 6a b   ，则 cos , =a a b （ ） A. 31 35  B. 19 35  C. 17 35 D. 19 35 【答案】D 【解析】计算出  a a b    、 a b  的值，利用平面向量数量积可计算出 cos ,a a b     的值. 【详解】 5a   ， 6b  ， 6a b    ，   2 25 6 19a a b a a b              .  2 2 2 2 25 2 6 36 7a b a b a a b b                   ， 因此，   19 19cos , 5 7 35 a a b a a b a a b                  .故选：D. 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算， 考查计算能力，属于中等题. 5.（2020•江苏卷）在△ABC 中， 4 3 =90AB AC BAC  ， ，∠ ，D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9， 若 3( )2PA mPB m PC     （m 为常数），则 CD 的长度是________． 【答案】 18 5 【解析】根据题设条件可设  0PA PD    ，结合 3 2PA mPB m PC         与 , ,B D C 三点共线，可求得  ， 再根据勾股定理求出 BC ，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】∵ , ,A D P 三点共线，∴可设  0PA PD    ，∵ 3 2PA mPB m PC         ， ∴ 3 2PD mPB m PC          ，即 3 2 mmPD PB PC         ， 若 0m  且 3 2m  ，则 , ,B D C 三点共线，∴ 3 2 1 mm        ，即 3 2   ， ∵ 9AP  ，∴ 3AD  ，∵ 4AB  , 3AC  , 90BAC  ，∴ 5BC  ， 设CD x ， CDA   ，则 5BD x  ， BDA     . ∴根据余弦定理可得 2 2 2 cos 2 6 AD CD AC x AD CD     ，       22 2 2 5 7cos 2 6 5 xAD BD AB AD BD x         ， ∵  cos cos 0     ，∴     25 7 06 6 5 xx x    ，解得 18 5x  ，∴ CD 的长度为 18 5 . 当 0m  时， 3 2PA PC  ， ,C D 重合，此时 CD 的长度为 0 ， 当 3 2m  时， 3 2PA PB  ， ,B D 重合，此时 12PA  ，不合题意，舍去.故答案为：0 或18 5 . 【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出  0PA PD    ． 6.（2020•新全国 1 山东）已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP AB  的取值范用是（ ） A. ( )2,6 B. ( 6,2) C. ( 2,4) D. ( 4,6) 【答案】A 【解析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到 AP  在 AB  方向上的投影的取值范围是 ( 1,3) ，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】 AB  的模为 2，根据正六边形的特征，可以得到 AP  在 AB  方向上的投影的取值范围是 ( 1,3) ， 结合向量数量积的定义式，可知 AP AB   等于 AB  的模与 AP  在 AB  方向上的投影的乘积， 所以 AP AB   的取值范围是 ( )2,6 ， 故选：A. 【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的 定义式，属于简单题目. 7.（2020•天津卷）如图，在四边形 ABCD 中， 60 , 3B AB   ， 6BC  ，且 3, 2AD BC AD AB       ，则实数  的值为_________，若 ,M N 是线段 BC 上的动点，且| | 1MN  ， 则 DM DN  的最小值为_________． 【答案】 (1). 1 6 (2). 13 2 【解析】可得 120BAD   ，利用平面向量数量积的定义求得  的值，然后以点 B 为坐标原点， BC 所在 直线为 x 轴建立平面直角坐标系，设点  ,0M x ，则点  1,0N x  （其中 0 5x  ），得出 DM DN  关于 x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得 DM DN  的最小值. 【详解】 AD BC   ， //AD BC ， 180 120BAD B     ， cos120AB AD BC AB BC AB            1 36 3 92 2              ，解得 1 6   ， 全国高中数学教师群：1142300029 以点 B 为坐标原点， BC 所在直线为 x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 xBy ，  6 6,0BC C  ， ,∵ 3, 60AB ABC    ，∴ A 的坐标为 3 3 3,2 2A       , ∵又∵ 1 6AD BC  ,则 5 3 3,2 2D       ，设  ,0M x ，则  1,0N x  （其中 0 5x  ）， 5 3 3,2 2DM x         ， 3 3 3,2 2DN x         ，   2 225 3 3 3 21 134 22 2 2 2 2DM DN x x x x x                          ， 所以，当 2x  时， DM DN  取得最小值 13 2 .故答案为： 1 6 ；13 2 . 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于 中等题. 8.（2020•浙江卷）设 1e  ， 2e  为单位向量，满足 21| 2 2|   ee ， 1 2a e e    ， 1 23b e e    ，设 a  ，b  的夹角 为 ，则 2cos  的最小值为_______． 【答案】 28 29 【解析】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得 1 2 3 4e e  ur ur ，再根据向量夹角公式求 2cos  函数关系 式，根据函数单调性求最值. 【详解】 1 2| 2 | 2e e  ur ur Q ， 1 24 4 1 2e e     ur ur ， 1 2 3 4e e   ur ur ， 22 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 (4 4 ) 4(1 )( )cos (2 2 )(10 6 ) 5 3 e e e ea b e e e e e ea b               ur ur ur urr r ur ur ur ur ur urr r 1 2 4 2 4 2 28(1 ) (1 )33 3 295 3 5 3 4 e e          ur ur .故答案为： 28 29 . 【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合 分析求解能力，属中档题.