高考数学专题复习教案： 一道导数题的阅卷启示

高考数学专题复习教案： 一道导数题的阅卷启示

一道导数题的阅卷启示 编辑整理 安徽 周兵 ‎（洪 汪 宝 安徽省安庆市第一中学 246004）‎ 笔者有幸参加了今年的高考阅卷，分配的任务是批阅理科第16题.题目及所给标准答案如下：‎ 设，其中为正实数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的极值点；（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围.‎ 解：对求导得 ①‎ ‎（Ⅰ）当时，若 综合①,可知 ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以，是极小值点,是极大值点.‎ ‎（Ⅱ）若为上的单调函数，则在上不变号，结合①与条件，知在上恒成立，因此由此并结合，知故的取值范围为.‎ 本题是解答题第一大题，总分为12分，其中第（Ⅰ）小题8分，第（Ⅱ）小题4分.具体批阅时采用“给分有理，扣分有据”的原则，制定了以下评分细则：正确求出导函数给3分，三个单调区间一个1分，两个极值点一个1分，得到“在上恒成立”给2分，正确求出的取值范围得2分.‎ 从阅卷的统计数据来看，本题平均得分6.6分，难度系数为0.55，属中等难度的题目（难度系数在0.4—0.7之间的为中等难度的题）.本题考查导数的运算、极值点的判断、函数的单调性、一元二次不等式恒成立等多个知识点，考查转化与化归、函数与方程思想，对学生的运算求解能力、综合分析和解决问题的能力要求较高.‎ 本题属于一道常规问题，类似的问题在平时的训练中多次练习，但从得分情况来看并不十分理想.常见的错误有以下几个方面：‎ ‎（1）求导结果错误.主要是求导法则应用错误或计算不过关.如常见的错误结果有 ‎、、、等等.‎ ‎（2）三个单调区间没写.我们知道方程的根不一定是函数的极值点，必须验证在根两侧的符号，若变号，则所求根是极值点，否则不是.可见求单调区间的步骤必不可少，但不少同学由于在平时的学习中缺乏严谨导致不必要的丢分.‎ ‎（3）极值点弄错.一是没有具体指出哪个是极大值点，哪个是极小值点导致扣去1分；二是没弄清楚极值点的概念，极值点实际上是一个数，而不是平面直角坐标系中的点，从而出现了像极值点为；等错误.‎ ‎（4）审题不清.在解第（Ⅱ）小题时，没看见条件“为正实数”，从而展开没必要的讨论.‎ ‎（5）思维定势.在解第（Ⅱ）小题时，不少同学发现是恒成立问题时，没想到直接考虑判别式即可，而是分离参数，在分离参数时又没有考虑符号导致错误，如将“在上恒成立”错误地转化为“在上恒成立”.正确的解法如下：‎ 若为上的单调函数，则在上不变号，结合①与条件，知在上恒成立.又知在上恒成立，故只需，又，所以的最小值为，于是，解得故的取值范围为.‎ ‎ 通过以上的错误分析，笔者认为在《函数与导数》这一章的高考复习工作中有以下几点启示：‎ ‎ （1）认识到函数与导数的核心地位.函数是中学数学的重要概念，贯穿整个高中数学，新课标更加清晰地阐述了函数与导数的重要地位和广泛应用，并强调它的基础性和工具性，是中学数学的核心组成部分.解决这类问题的方法与手段既扎根定义又注重图象更依赖导数的方向迈进.‎ ‎（2）充分理解导数的工具作用.导数是研究函数图象、性质、证明不等式和解决一些实际问题的有力工具，在复习过程中要把握好三个层次：第一层次是主要掌握基本初等函数图象性质及导数的基本概念和常见实际背景、求导公式、求导法则；第二层次是掌握导数的简单应用，包括求函数的极值及最值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等；第三层次是综合应用函数导数解决复杂问题，利用导数知识解决有关不等式、函数的单调性、方程的根的分布等问题.‎ ‎（3）回归教材，重视通性通法.教材是试题的基本来源，教材中所选的问题大部分是非常经典的问题，要注重对典型问题的探究（如变式探究、解法探究、拓广探究、类比探究等），达到举一反三的效果.高考命题坚持新题不难，难题不怪的原则，强调“‎ 通性通法，淡化技巧”，对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论法、转化与化归思想等重要的数学思想方法要做到心中有数.只有掌握了思想方法，才能在考试中以不变应万变.‎ ‎（4）夯实双基，注意错题病例的分析.双基的重要性是不言而喻的，要对照《考试说明》，做到每个知识点都不放过，准确理解和记忆知识点，不留空白和隐患.根据知识间的内在联系建立知识网络，将教材“由厚变薄”.另外要建立错题本，对那些概念理解不深刻、知识记忆失误、思维不够严谨、方法使用不当等典型错误汇编成册，并加以评注，找出错误原因，经常翻阅，做到警钟长鸣.‎ 本文发表于《数学通讯》（高中学生版）2012年第1—2期