2017年高考数学（理,山东）二轮专题复习（教师用书）：第1部分 专题1 突破点1 三角函数问题
专题一 三角函数与平面向量
建知识网络 明内在联系
[高考点拨] 三角函数与平面向量是高考的高频考点，常以“两小一大”的形式呈现，两小题主要考查三角函数的图象和性质与平面向量内容，一大题常考查解三角形内容，有时平面向量还与圆锥曲线、线性规划等知识相交汇．本专题按照“三角函数问题”“解三角形”“平面向量”三条主线分门别类进行备考．
突破点1 三角函数问题
(对应学生用书第167页)
提炼1
三角函数的图象问题
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的确定：利用函数图象的最高点和最低点确定A，利用周期确定ω，利用图象的某一已知点坐标确定φ.
(2)三角函数图象的两种常见变换
提炼2
三角函数奇偶性与对称性
(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得，对称中心的横坐标可由ωx＋φ＝kπ，(k∈Z)解得．
(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，对称中心的横坐标可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得．
y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；对称中心的横坐标可由ωx＋φ＝(k∈Z)解得，无对称轴.
提炼3
三角变换常用技巧
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化：一般是切化弦.
提炼4
三角函数最值问题
(1)y＝asin x＋bcos x＋c型函数的最值：可将y转化为y＝sin(x＋φ)＋c其中tan φ＝的形式，这样通过引入辅助角φ可将此类函数的最值问题转化为y＝sin(x＋φ)＋c的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解．
(2)y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x型函数的最值：可利用降幂公式sin2x＝
，sin xcos x＝，cos2x＝，将y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x转化整理为y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C，这样就可将其转化为(1)的类型来求最值．
回访1 三角函数的图象问题
1．(2015·山东高考)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
B [由y＝sin＝sin 4得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移个单位即可，故选B.]
2．(2016·全国甲卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图11所示，则( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
图11
A [由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为
，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.故选A.]
3．(2013·山东高考)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A. B.
C．0 D．－
B [y＝sin(2x＋φ) y＝sin＝sin.
当φ＝时，y＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，为奇函数；
当φ＝时，y＝sin＝cos 2x，为偶函数；
当φ＝0时，y＝sin，为非奇非偶函数；
当φ＝－时，y＝sin 2x，为奇函数．故选B.]
回访2 三角函数的性质问题
4．(2016·山东高考)函数f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期是( )
A. B．π
C. D．2π
B [法一：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)
＝4
＝4sincos ＝2sin，
∴T＝＝π.
法二：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)
＝3sin xcos x＋cos2x－sin2x－sin xcos x
＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin，
∴T＝＝π.故选B.]
5．(2016·全国甲卷)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
B [将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin 2＝2sin的图象．由2x＋＝kx＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．]
6．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图12所示，则f(x)的单调递减区间为( )
图12
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
D [由图象知，周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－
0)，则A＝________，b＝________.
1 [∵2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋sin，
∴1＋sin＝Asin(ωx＋φ)＋b，∴A＝，b＝1.]
(对应学生用书第167页)
热点题型1 三角函数的图象问题
题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两方面：一是考查三角函数解析式的求法；二是考查三角函数图象的平移变换，常以选择、填空题的形式考查，难度较低.
(1)(2016·青岛模拟)将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )
A. B.
C. D.
(2)(2016·衡水中学四调)已知A，B，C，D是函数y＝sin(ωx＋φ)一个周期内的图象上的四个点，如图13所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该图象的一个对称中心，B与D关于点E
对称，在x轴上的投影为，则( )
图13
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
(1)A (2)A [(1)设f(x)＝cos x＋sin x＝2＝2sin，向左平移m个单位长度得g(x)＝2sin.∵g(x)的图象关于y轴对称，∴g(x)为偶函数，∴＋m＝＋kπ(k∈Z)，∴m＝＋kπ(k∈Z)，又m＞0，∴m的最小值为.
(2)由题意可知＝＋＝，∴T＝π，ω＝＝2.又sin＝0,0＜φ＜，∴φ＝，故选A.]
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的确定
(1)A由最值确定，A＝；
(2)ω由周期确定；
(3)φ由图象上的特殊点确定．
提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先依据图象的升降分清零点的类型．
2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
[变式训练1] (1)(2016·烟台模拟)将f(x)＝sin 2x的图象右移φ个单位后，得到g(x)的图象，若对于满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|的最小值为，则φ的值为( )
A. B.
C. D.
(2)(2016·江西八校联考)函数f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)的部分图象如图14所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)的值为( )
图14
A．0 B．3
C．6 D．－
(1)B (2)A [(1)g(x)＝sin[2(x－φ)]＝sin(2x－2φ)，则f(x)，g(x)的最小正周期都是T＝π.若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，则|x1－x2|＝－φ＝－φ＝，从而φ＝.
(2)由题图可得，A＝2，T＝8，＝8，ω＝，
∴f(x)＝2sinx.
∴f(1)＝，f(2)＝2，f(3)＝，f(4)＝0，f(5)＝－，f(6)＝－2，f(7)＝－，f(8)＝0，
而2 016＝8×252，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝0.]
热点题型2 三角函数的性质问题
题型分析：三角函数的性质涉及周期性、单调性以及最值、对称性等，是高考的重要命题点之一，常与三角恒等变换交汇命题，难度中等.
(2016·天津高考)已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
[解] (1)f(x)的定义域为.1分
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.4分
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.6分
(2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.8分
设A＝，B＝x－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝.10分
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.12分
研究函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的“两种”意识
1．转化意识：利用三角恒等变换把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式．
2．整体意识：类比于研究y＝sin x的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”代入求解便可．
[变式训练2] (1)(2016·济宁模拟)已知函数f(x)＝2sin，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g(x)的图象．关于函数g(x)，下列说法正确的是( )
A．在上是增函数
B．其图象关于直线x＝－对称
C．函数g(x)是奇函数
D．当x∈时，函数g(x)的值域是[－2,1]
(2)已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若是f(x)的一个单调递增区间，则φ的取值范围为( ) 【导学号：67722009】
A.
B.
C.
D.∪
(1)D (2)C [(1)因为f(x)＝2sin，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得g(x)＝f＝2sin＝2sin＝2cos 2x.
对于A，由x∈可知2x∈，故g(x)在上是减函数，故A错；又
g＝2cos＝0，故x＝－不是g(x)的对称轴，故B错；又g(－x)＝2cos 2x＝g(x)，故C错；又当x∈时，2x∈，故g(x)的值域为[－2,1]，D正确．
(2)令2kπ＋＜2x＋φ＜2kπ＋，k∈Z，
所以kπ＋－≤x≤kπ＋－，k∈Z，
所以函数f(x)在上单调递增．
因为是f(x)的一个单调递增区间，
所以≤kπ＋－，且kπ＋－≤，k∈Z，
解得2kπ＋≤φ≤2kπ＋，k∈Z，又|φ|＜π，所以≤φ≤.故选C.]
热点题型3 三角恒等变换
题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两个方面：一是直接利用和、差、倍、半角公式对三角函数式化简求值；二是以三角恒等变换为载体，考查y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质.
(1)(2016·江西八校联考)如图15，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α，若|BC|＝1，则cos2－sincos －的值为________．
图15
(2)已知函数f(x)＝sin2－cos2＋2sin·cos＋λ的图象经过点，则函数f(x
)在区间上的最大值为________．
(1) (2)－ [(1)由题意可知|OB|＝|BC|＝1，∴△OBC为正三角形．
由三角函数的定义可知，sin∠AOB＝sin＝，
∴cos2－sincos－＝－－＝cos α－sin α＝sin＝.
(2)f(x)＝sin2－cos2＋2sin·cos ＋λ＝－cos＋sin＋λ＝2sin＋λ.
由f(x)的图象过点，得λ＝－2sin＝－2sin＝－，
故f(x)＝2sin－.
因为0≤x≤，所以－≤－≤.
因为y＝sin x在上单调递增，
所以f(x)的最大值为f＝2sin－＝－.]
1．解决三角函数式的化简求值要坚持“三看”原则：一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分；二是“函数名称”，是需进行“切化弦”还是“弦化切”等，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，了解变式或化简的方向．
2．在研究形如f(x)＝asin ωx＋bcos ωx的函数的性质时，通常利用辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)把函数f(x)化为Asin(ωx＋φ)的形式，通过对函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的研究得到f(x)＝asin ωx＋bcos ωx的性质．
[变式训练3] (1)(2014·全国卷Ⅰ)设α∈，β∈，且tan α＝
，则( )
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
(2)已知sin＋sin α＝－，－＜α＜0，则cos等于( )
A．－ B．－
C. D.
(1)B (2)C [(1)法一：由tan α＝得＝，
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
∴sin(α－β)＝cos α＝sin.
∵α∈，β∈，
∴α－β∈，－α∈，
由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，
∴2α－β＝.
法二：tan α＝＝
＝
＝cot
＝tan
＝tan，
∴α＝kπ＋，k∈Z，
∴2α－β＝2kπ＋，k∈Z.
当k＝0时，满足2α－β＝，故选B.
(2)∵sin＋sin α＝－，－＜α＜0，
∴sin α＋cos α＝－，
∴sin α＋cos α＝－，
∴cos＝cos αcos －sin αsin
＝－cos α－sin α＝.]
专题一 三角函数与平面向量
建知识网络 明内在联系
[高考点拨] 三角函数与平面向量是高考的高频考点，常以“两小一大”的形式呈现，两小题主要考查三角函数的图象和性质与平面向量内容，一大题常考查解三角形内容，有时平面向量还与圆锥曲线、线性规划等知识相交汇．本专题按照“三角函数问题”“解三角形”“平面向量”三条主线分门别类进行备考．
专题限时集训(一) 三角函数问题
[建议A、B组各用时：45分钟]
[A组 高考达标]
一、选择题
1．(2016·泰安模拟)函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为( ) 【导学号：67722010】
A．－ B．－
C. D.
A [函数f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移个单位得y＝sin ＝sin ，又其为奇函数，故＋φ＝kπ，π∈Z，解得φ＝kπ－，又|φ|＜，令k＝0，得φ＝－，
∴f(x)＝sin .
又∵x∈，
∴2x－∈，∴sin∈，
当x＝0时，f(x)min＝－，故选A.]
2．(2016·河南八市联考)已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝f(x)，则tan 2x的值是( )
A．－ B．－
C. D.
D [因为f′(x)＝cos x＋sin x＝sin x－cos x，所以tan x＝－3，所以tan 2x＝＝＝，故选D.]
3．(2016·全国甲卷)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
B [∵f(x)＝cos 2x＋6cos
＝cos 2x＋6sin x
＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，
又sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.故选B.]
4．(2016·郑州模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图16所示，则f(0)＋f的值为( )
图16
A．2－ B．2＋
C．1－ D．1＋
A [由函数f(x)的图象得函数f(x)的最小正周期为T＝＝4＝π，解得ω＝2，则f(x)＝2sin(2x＋φ)．又因为函数图象经过点－，－2，所以f－＝2sin＝－2，则2×＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.又因为|φ|＜，所以φ＝－，则f(x)＝2sin，所以f(0)＋f＝2sin＋2sin＝2sin＋2sin＝－＋2，故选A.]
5．(2016·石家庄二模)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )
A．[－1,1] B．[－1，]
C．[－，1] D．[1，]
A [由sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，得α－β＝，β＝α－∈[0，π]⇒α∈，且sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(π－α)＝cos α＋sin α＝sin，α∈⇒α＋∈⇒sin∈⇒sin
∈[－1,1]，故选A.]
二、填空题
6．(2016·合肥三模)已知tan α＝2，则sin2－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝________. 【导学号：67722011】
[∵tan α＝2，
∴sin2－sin(3π＋α)cos(2π－α)
＝cos2α＋sin αcos α
＝
＝
＝
＝.]
7．(2016·兰州模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图17所示，△EFG(点G在图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.
图17
－ [由函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)是奇函数可得φ＝，则f(x)＝Acos＝－Asin ωx(A＞0，ω＞0)．又由△EFG是边长为2的等边三角形可得A＝，最小正周期T＝4＝，ω＝，则f(x)＝－sinx，f(1)＝－.]
8．(2015·天津高考)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
[f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sinωx＋，
因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，
所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，
所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.
又ω－(－ω)≤，即ω2≤，所以ω2＝，
所以ω＝.]
三、解答题
9．(2016·临沂高三模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)满足下列条件：
①周期T＝π；②图象向左平移个单位长度后关于y轴对称；③f(0)＝1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(2α－2β)的值．
[解] (1)f(x)的周期T＝π，∴ω＝2.1分
f(x)的图象向左平移个单位长度，变为g(x)＝Asin.2分
由题意，g(x)关于y轴对称，
∴2×＋φ＝＋kπ，k∈Z.3分
又|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝Asin.4分
∵f(0)＝1，∴Asin＝1，∴A＝2.5分
因此，f(x)＝2sin.6分
(2)由f＝－，f＝，得2sin＝－，
2sin＝.7分
∵α，β∈，∴2α，2β∈，∴cos 2α＝，cos 2β＝，sin 2α＝，sin 2β＝，11分
cos(2α－2β)＝cos 2αcos 2β＋sin 2αsin 2β
＝×＋×＝.12分
10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，A＞0，ω＞0,0＜φ＜的部分图象如图18所示，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点．若OQ＝4，OP＝，PQ＝.
图18
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y＝g(x)的图象，当x∈(－1,2)时，求函数h(x)＝f(x)·g(x)的值域．
[解] (1)由条件知cos ∠POQ＝＝.2分
又cos ∠POQ＝，∴xP＝1，∴yP＝2，∴P(1,2).3分
由此可得振幅A＝2，周期T＝4×(4－1)＝12，又＝12，则ω＝.4分
将点P(1,2)代入f(x)＝2sin，
得sin＝1.
∵0＜φ＜，∴φ＝，于是f(x)＝2sin.6分
(2)由题意可得g(x)＝2sin＝2sin x.7分
∴h(x)＝f(x)·g(x)＝4sin·sin x
＝2sin2x＋2sin x·cos x
＝1－cos x＋sin x＝1＋2sin.9分
当x∈(－1,2)时，x－∈，10分
∴sin∈(－1,1)，
即1＋2sin∈(－1,3)，于是函数h(x)的值域为(－1,3).12分
[B组 名校冲刺]
一、选择题
1．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P，则sin2α－sin 2α的值为( )
A. B．－
C. D．－
D [根据已知可得点P的坐标为(2,3)，根据三角函数定义，可得sin α＝，cos α＝，所以sin2α－sin 2α＝sin2α－2sin αcos α＝2－2××＝－.]
2．(2016·东北三省四市第二次联考)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位，所得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在
上的最小值为( )
A. B.
C．－ D．－
D [f(x)＝sin(2x＋φ)向右平移个单位得到函数g(x)＝sin＝sin2x－＋φ，此函数图象关于y轴对称，即函数g(x)为偶函数，则－＋φ＝＋kπ，k∈Z.又|φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝sin.因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，所以f(x)的最小值为sin＝－，故选D.]
3．(2016·湖北七市四月联考)已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a，b为常数，a≠0，x∈R)在x＝处取得最大值，则函数y＝f是( )
A．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称
B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称
D．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称
B [由题意可知f′＝0，
即acos＋bsin＝0，∴a＋b＝0，
∴f(x)＝a(sin x＋cos x)＝asin.
∴f＝asin＝acos x.
易知f是偶函数且图象关于点对称，故选B.]
4．(2016·陕西省第二次联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ
＜π)的部分图象如图19所示，且f(α)＝1，α∈，则cos＝( )
图19
A．± B.
C．－ D.
C [由图易得A＝3，函数f(x)的最小正周期T＝＝4×，解得ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x＋φ)．又因为点在函数图象上，所以f＝3sin＝－3，解得2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z.又因为0＜φ＜π，所以φ＝，则f(x)＝3sin，当α∈时，2α＋∈.又因为f(α)＝3sin＝1，所以sin＝＞0，所以2α＋∈，则cos＝－＝－，故选C.]
二、填空题
5．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)在上单调递减，则ω的取值范围是________．
【导学号：67722012】
[f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sinωx＋，令2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得
＋≤x≤＋(k∈Z)．
由题意，函数f(x)在上单调递减，故为函数单调递减区间的一个子区间，故有
解得4k＋≤ω≤2k＋(k∈Z)．
由4k＋＜2k＋，解得k＜.
由ω＞0，可知k≥0，
因为k∈Z，所以k＝0，故ω的取值范围为.]
6．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
π [∵f(x)在上具有单调性，
∴≥－，∴T≥.
∵f＝f，
∴f(x)的一条对称轴为x＝＝.
又∵f＝－f，
∴f(x)的一个对称中心的横坐标为＝，
∴T＝－＝，∴T＝π.]
三、解答题
7．(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．
[解] (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
4分
且函数解析式为f(x)＝5sin.6分
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
则g(x)＝5sin.7分
因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.8分
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，
所以令＋－θ＝，
解得θ＝－，k∈Z.10分
由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值.12分
8．(2016·潍坊模拟)已知函数f(x)＝2sin xcos x－sin2x＋cos 2x＋，x∈R.
(1)求函数f(x)在上的最值；
(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象．已知g(α)＝－，α∈，求cos的值．
[解] (1)f(x)＝2sin xcos x－sin2x＋cos 2x＋
＝sin 2x－＋cos 2x＋
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.2分
∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，3分
∴当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)的最小值为2×＝－.4分
当2x＋＝，即x＝时，f(x)的最大值为2×1＝2.5分
(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin .7分
由g(α)＝2sin＝－，得sin
＝－.8分
∵＜α＜，∴π＜α－＜，
∴cos＝－.10分
∵＜－＜，11分
∴cos＝－＝－
＝－.12分
