数学理卷·2017届陕西省西安市长安区第一中学高三4月模拟考试（2017

数学理卷·2017届陕西省西安市长安区第一中学高三4月模拟考试（2017

长安一中高三级教学质量检测数学（理科）试题 总分：150分 时间：120分钟 第Ⅰ卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。‎ ‎1．已知,, 若,则（ ） ‎ ‎ A. B. C. 或 D. 或或 ‎2. 已知复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为、、、，如图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．等差数列中，是一个与无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2，侧视图是一直【来源：全,品…中&高*考+网】角三角形，俯视图为一直角梯形，且，则异面直线与所成角的正切值是（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎6．若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（ ）‎ A.2 B. C. D.‎ ‎7. 非空集合,当时,对任意实数，目标函数的最大值和最小值至少有一个不存在,则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.设函数，则“”是“为偶函数” 的（ ）‎ ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎9．已知函数，，，则的最小值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．正项等比数列满足：，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知，直线与函数的图像在处相切，设 ‎，若在区间上，不等式恒成立，则实数（ ）‎ A．有最小值 B．有最小值 ‎ C．有最大值 D．有最大值 ‎ ‎12．已知椭圆（），为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为，内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率( )‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（23）题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形,点为的中点，则面将四棱锥所分成的上下两部分的体积的比值为　 　．‎ ‎14. 已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则双曲线的离心率为 .‎ ‎15.如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点顺时针旋转后，构成一个斜坐标平面.在此斜坐标平面中，点的坐标定义如下：过点作两坐标轴的平分线，分别交两轴于两点，则在轴上表示的数为，在轴上表示的数为.那么以原点为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为 .‎ ‎16. 已知函数的图象关于点中心对称，设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 ．‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17. (本小题共12分)‎ 在中，的对边分别为，且．‎ ‎（1）求角的大小； ‎ ‎（2）设，为垂足，若，，求的值．‎ ‎18．(本小题共12分)‎ ‎ 如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，，交于，‎ ‎(1)证明:；‎ ‎(2) 求平面与所成的锐角二面角的余弦值．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体名学生中随机抽取了名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．‎ ‎ 年级名次 是否近视 ‎ 近视 不近视 ‎（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在以下的人数；‎ ‎（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在名和名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系?‎ ‎（3）在（Ⅱ）中调查的名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这人中任取人，记名次在的学生人数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎7.879‎ ‎ ‎ ‎ 附： ‎ ‎20.(本题满分12分)‎ ‎ 过直线上一动点不在轴上)作焦点为的抛物线的两条切线,为切点,直线分别与轴交于点.‎ ‎(Ⅰ)求证:，并求的外接圆面积的最小值；‎ ‎(Ⅱ)求证:直线恒过一定点。‎ ‎ ‎ ‎21．(本题满分12分)‎ 已知函数，，其中函数的图象在点处的切线平行于轴．‎ ‎（1）确定与的关系；若，并试讨论函数的单调性； ‎ ‎（2）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，求证：．‎ 请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知圆为参数和直线其中为参数，为直线的倾斜角.‎ ‎ （1）当时，求圆上的点到直线的距离的最小值；‎ ‎ （2）当直线与圆有公共点时，求的取值范围．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知，，.‎ ‎ （Ⅰ）求的最小值；‎ ‎ （Ⅱ）若的最小值为，求的最小值.‎ 长安一中 高三级教学质量检测数学（理科）试题参考答案 一、选择题：‎ ‎1------6：DCBBCB; 7------12：ACABDA 二、填空题 ‎13. 14.2 15. 16. 或 三、解答题 ‎17. 解：（1）， 由正弦定理，得, ‎ ‎ 又在中， ， ，‎ ‎ 即， 又， ， ‎ ‎ 又，； ‎ ‎（2） 由余弦定理，， ，，，‎ ‎ ，，即， ‎ ‎ ， .‎ ‎18. 解：（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM平面ABC，∴EA⊥BM． 又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE， 而EM平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°． 又∵∠BAC=30°，AC=4，∴AB=，BC=2，AM=3，CM=1．‎ ‎∵EA⊥平面ABC，FC‖EA，∴FC⊥平面ABCD．‎ ‎∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．‎ ‎∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．‎ ‎∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF． 而BF平面MBF，∴EM⊥BF． （2）解法一：延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH． 由（1）知FC⊥平面ABC，BG平面ABC，∴FC⊥BG． 而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH⊂平面FCH，∴FH⊥BG，‎ ‎∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角．‎ ‎ 在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4， ∴BM=AB•sin=． 由．‎ ‎∵与相似，, ∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°．∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为 解法二：如图：以A为坐标原点，AC、AE分别为y轴和Z轴建立空间直角坐标系,‎ 由已知得,,‎ 设平面的法向量为，‎ 由得 令，由已知得平面ABC的一个法向量为 设平面与所成的锐角二面角为，‎ 则 所以，平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎19. 解：（1）由直方图可知，第一组有3人，第二组有7人，第三组有27人，‎ ‎　　　因为后四组的频数成等差数列，所以后四组的频数依次为27,24,21,18，所以视力 ‎ 在以下的频率为，故全年级视力在以下的人数约为．‎ ‎ …………3分 ‎ （2）， ‎ ‎ 因此在犯错误的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系．……6分 ‎ （3）依题意9人中年级名次在名和名分别有3人和6人， ‎ ‎ 可取0、1、2、3 ‎ ‎ 　， ，‎ ‎ 　， ‎ ‎ 　的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 　　的数学期望. ……12分 ‎20.解：( I ) ‎ ‎ 设，则直线为，与联立，得：‎ 因为相切，所以，得：，又，所以 即，同理：，所以为的外接圆，又因为：，所以的外接圆面积最小值为：.‎ ‎（Ⅱ）设点，‎ 易知：直线方程为：，‎ 代入点坐标得：，同理：，‎ 所以直线方程为：，又点满足：‎ 所以直线恒过定点 ‎21. 解：（1）， ，‎ 由题意得， ； ‎ ‎，‎ ‎①当时，，‎ 当时，，函数在单调减；‎ 当时，，函数在单调增； ‎ ‎②当时，即，，‎ 函数在上单调减；函数在和单调增； ‎ ‎③当时，即，，‎ 函数在单调增； ‎ ‎④当时．即，，‎ 函数在单调减区间；函数在和单调增； ‎ ‎（2）由题设，‎ ‎ ‎ ‎ ① ‎ 令，则，‎ 时，， 函数在是减函数，‎ 而，时，‎ ‎，， ，即， ② ‎ ‎ 令，则，‎ ‎ 时，， 在是增函数，‎ ‎ 时，， ，‎ 即 ③由①②③得．‎ ‎22. 解：（1）当时，直线的直角坐标方程为，圆的 ‎ 圆心坐标为（1，0），圆心到直线的距离，圆的半径为1，故圆 ‎ 上的点到直线的距离的最小值为． …………4分 ‎ （2）圆的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入圆的直 ‎ 角坐标方程，得，这个关于的一元二次方程有解，‎ ‎ 故，则，即或 ‎ ．又，故只能有，‎ ‎ 即． …………10分 ‎23. 解：（Ⅰ）‎ ‎ 在是减函数，在是增函数 ‎ 当时，取最小值. …………5分 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值为， . …………6分 ‎ ，，当且仅当 ‎ 即时，取等号，的最小值为. …………10分