高考数学复习课时冲关练(十三) 4_3

高考数学复习课时冲关练(十三) 4_3

‎ ‎ 课时冲关练(十三)‎ 与数列交汇的综合问题 ‎(45分钟　80分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2014·佛山模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2=10,S4=36,则过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直线的斜率是　(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎ C.4 D.‎ ‎【解析】选C.由已知得,a1+a2=10,‎ 又a3+a4=S4-S2=26,两式相减得,4d=16,故d=4,‎ 所以过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直线的斜率k==d=4.‎ ‎2.某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,m的值为　(　　)‎ A.5 B‎.7 ‎ C.9 D.11‎ ‎【解题提示】由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系,可分析出平均产量的几何意义为原点与该点连线的斜率,结合图象可得答案.‎ ‎【解析】选C.由题意知,此棵果树前m年的平均产量为(m∈N*,1≤m≤11),‎ 数形结合,该值可转化为散点图中的点(m,Sm)与原点(0,0)连线的斜率,‎ 即km==,‎ 观察散点图,可知,当m=9时,km达到最大,‎ 即前9年的年平均产量最高,‎ 故m的值为9,选C.‎ ‎3.数列{an}的前n项和Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=ax2+x(a∈N*)的图象上,则　(　　)‎ A.a与an的奇偶性相同 B.n与an的奇偶性相同 C.a与an的奇偶性相异 D.n与an的奇偶性相异 ‎【解题提示】本题主要考查数列通项an与前n项和Sn之间的关系及函数解析式.首先将点代入函数解析式确定an与Sn,最后分析n与an的奇偶性.本题易忽视判断a与a1的奇偶性,即忽视a1与S1的关系.‎ ‎【解析】选C.因为对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=ax2+x(a∈N*)的图象上,‎ 所以Sn=an2+n,‎ 当n=1时,a1=S1=a+1,‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an2+n-[a(n-1)2+(n-1)]=2an-a+1,‎ 当n=1时,2an-a+1=a1=a+1.‎ 所以an=2an-a+1=(2n-1)a+1,‎ 所以a与an的奇偶性相异,而n的奇偶性与an的奇偶性无关.‎ 故选C.‎ ‎4.(2014·韶关模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S15>0,S16<0,则,,,…,中最大的项为　(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选C.由S15==‎15a8>0,得a8>0,‎ 由S16==<0,‎ 得a9+a8<0,所以a9<0,且d<0,数列{an}为递减的数列.‎ 所以a1,…,a8为正,a9,…,an为负,‎ 且S1,…,S15>0,S16,…,Sn<0,‎ 则<0,<0…,>0,‎ 又S8>S1,a1>a8,‎ 所以>>0,‎ 所以最大的项为.‎ ‎5.(2014·汕头模拟)若an=sin,Sn=a1+a2+…+an,则在S1,S2,…,S100中,正数的个数是　(　　)‎ A.25 B‎.50 ‎ C.75 D.100‎ ‎【解题提示】三角函数要注意其周期性的应用,把握问题的本质.周期T=50,先研究S1,S2,…S25,由于a1,a2,…,a25≥0,只要考虑a26,a27,…,a50,根据正弦函数的性质可以确定.‎ ‎【解析】选D.依据题设及an=sin,‎ 因为f(x)=sin的周期为T=50,‎ 又sin>0,sin>0,…,sin>0,sin=0,‎ 所以在S1,S2,…S25中有25个是正数,‎ 又当26≤n≤50时,‎ 因为sin≤an=sin≤sin≤0,‎ Sn=sin+sin+…+sin+sin+…+sin>+sin+…+sin≥0,‎ 故在S26,…,S50中有25个是正数.‎ 同理研究S51,S52,…,S100,‎ 得到,在S1,S2,…S100中有100个是正数.故选D.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.(2014·湛江模拟)已知函数f(x)对应关系如表所示,数列{an}满足a1=3,an+1=f(an),则a2015=　　　　.‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ f(x)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎【解析】由题意知a2=f(a1)=f(3)=1,‎ a3=f(a2)=f(1)=3,‎ a4=f(a3)=f(3)=1,‎ 所以数列{an}是周期为2的数列,‎ 所以a2015=a1=3.‎ 答案:3‎ ‎7.(2014·天津模拟)在数列{an}中,an=(n+1),则数列{an}中的最大项是第 ‎　　　　　项.‎ ‎【解析】假设an最大,则有 即 所以 即6≤n≤7,所以最大项为第6或7项.‎ 答案:6或7‎ ‎【方法技巧】最大项问题的解题策略 ‎(1)若数列{an}中的最大项为ak,则 ‎(2)若数列{an}中的最小项为ak,则 大小比较通常可以比商或者比差.‎ ‎8.已知数列{bn}通项公式为bn=3×+,Tn为{bn}的前n项和.若对任意n∈N*,不等式≥2n-7恒成立,则实数k的取值范围为　　　　.‎ ‎【解题提示】根据题意首先需要将数列{bn}的前n项和Tn求出,然后代入不等式并进行变形,参变分离转化为求数列最值问题去处理.‎ ‎【解析】因为bn=3×+,‎ 所以Tn=3+‎ ‎=+‎ ‎=6+.‎ 因为不等式≥2n-7,‎ 化简得k≥对任意n∈N*恒成立.‎ 设cn=,‎ 则cn+1-cn=-=,‎ 当n≥5且n∈N*时,cn+1cn,{cn}为单调递增数列,‎ ‎=c40,‎ 由分子为正,解得1-1,得m=2,此时n=12,‎ 当且仅当m=2,n=12时,T1,Tm,Tn成等比数列.‎ ‎【讲评建议】讲解本题时,请提醒学生注意以下几点:‎ ‎(1)注意解题策略.本题已经定性是等差数列,只要求出基本量,取n=1,2,回到最简单的情形即可,不需大动干戈.‎ ‎(2)探索性问题转化为一般问题.通过假设存在,建立关系式,问题成为常规题.‎ ‎(3)注意总结解题规律:双变量问题一般思路有:突出一个主元;通过一个变量的内在约束条件,建立另一个变量的关系式(等式、不等式),进而确定两个量.‎ ‎【加固训练】(2014·上海模拟)如果存在常数a使得数列{an}满足:若x是数列{an}中的一项,则a-x也是数列{an}中的一项,称数列{an}是关于常数a的“兑换数列”.‎ ‎(1)若数列:1,2,4,m(m>4)是关于a的“兑换数列”,求m和a的值.‎ ‎(2)已知项数为n0(n0≥3)的有限等差数列{bn},其所有项的和是B,求证:数列{bn}是关于常数的“兑换数列”.‎ ‎(3)对于一个不少于3项,且各项皆为正整数的递增等比数列{cn},是否是“兑换数列”?若是,请求出常数a的值;否则请说明理由.‎ ‎【解析】(1)因为数列:1,2,4,m(m>4)是关于a的“兑换数列”,‎ 所以a-m,a-4,a-2,a-1也是该数列的项,且a-m1),‎ 因为数列{cn}为递增数列,‎ 所以设c1a-c2>a-c3>…>a-cn.‎ 若数列{cn}为“兑换数列”,‎ 则a-ci∈{cn}(i=1,2,…),‎ 所以a-ci是正整数,‎ 故数列{cn}必为有穷数列,不妨设项数为n项,‎ 则ci+cn+1-i=a(1≤i≤n).‎ ‎①若n=3,则有c1+c3=a,c2=,‎ 又=c1·c3,由此得q=1,与q>1矛盾;‎ ‎②若n≥4,由c1+cn=c2+cn-1,‎ 得c1-c1q+c1qn-1-c1qn-2=0,‎ 即(q-1)(1-qn-2)=0,故q=1,与q>1矛盾.‎ 综合①②得,满足条件的等比数列{cn}不是“兑换数列”.‎ ‎11.(2014·中山模拟)已知f(x)=-,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn在曲线y=f(x)上(n∈N*),且a1=1,an>0.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)数列{bn}的前n项和为Tn,且满足=+16n2-8n-3,b1=1,求数列{bn}的通项公式.‎ ‎(3)求证:Sn>-1,n∈N*.‎ ‎【解析】(1)-=f(an)=-且an>0,‎ 所以-=4(n∈N*),‎ 所以数列是等差数列,首项=1,公差d=4,‎ 所以=1+4(n-1)=4n-3,‎ 所以=,‎ 所以an=(n∈N*).‎ ‎(2)由an=(n∈N*),‎ ‎=+16n2-8n-3,‎ 得(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n-3)(4n+1),‎ 所以-=1,‎ 所以数列是等差数列,首项为=1,公差为1,‎ 所以=n,所以Tn=4n2-3n,‎ 当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=8n-7,‎ b1=1也满足上式,所以bn=8n-7,n∈N*.‎ ‎(3)因为an==>‎ ‎=,‎ 所以Sn=a1+a2+…+an>(-1+)+(-+)+…‎ ‎+(-+)=(-1+)>-1.‎ 关闭Word文档返回原板块