专题9-6 双曲线（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

专题9-6 双曲线（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

【考纲解读】 内 容 要 求 备注 A B C 圆锥曲线 与方程 中 心 在 坐 标 原 点 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 与 几 何 性 质 √ 1．掌握双曲线的定义、标准方程，能够根据条件利用待定系数法求双 曲线方程． 2．掌握双曲线的几何性质． 3．了解双曲线的一些实际应用． 【直击考点】 题组一 常识题 1．已知双曲线两个焦点分别为 F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点 P 到 F1，F2的距离的差的绝对值 等于 6，则双曲线的标准方程为__________________． 【解析】由已知可知，双曲线的焦点在 x 轴上，且 c＝5，a＝3，∴b＝4，故所求双曲线的标准方程为 x2 9 － y2 16 ＝1. 2．已知双曲线 x2 a2 － y2 9 ＝1(a＞0)的渐近线方程为 3x±2y＝0，则 a的值为________． 【解析】双曲线 x2 a2 － y2 9 ＝1 的渐近线方程为 3x±ay＝0，与已知方程比较系数得 a＝2. 3．已知双曲线 x2 a2 － y2 5 ＝1(a>0)的右焦点为点(3，0)，则该双曲线的离心率等于________． 题组二 常错题 4．动点 P到点 A(－4，0)的距离比到点 B(4，0)的距离多 6，则动点 P的轨迹是__________________． 【解析】依题意有|PA|－|PB|＝6<8＝|AB|，所以动点 P的轨迹是双曲线的右支． 5．双曲线的渐近线方程为 y＝± 3x，虚轴长为 2 3，则双曲线的方程为________________________． 题组三 常考题 6． 已知双曲线 x2 － y2 3 ＝1，则其离心率为________． 【解析】因为 a＝1，c＝ 1＋3＝2，所以 e＝ c a ＝2. 7．已知双曲线 C： x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的离心率为 5，则 C 的渐近线方程为________________． 【解析】由 c a ＝ 5，得 c2 a2 ＝5，即 a2 ＋b2 a2 ＝5，所以 b2 a2 ＝4，得 b a ＝2，所以，渐近线方程为 y＝±2x. 8．已知双曲线 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的实轴长为 4，且双曲线的一条渐近线与直线 2x－y＝0 平行，则双 曲线的方程为____________________． 【解析】依题意，2a＝4， b a ＝2，所以 a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为 x2 4 － y2 16 ＝1. 【知识清单】 考点 1 双曲线的定义及标准方程 1．双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程 标准方程 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0) y2 a2 － x2 b2 ＝1(a>0，b>0) 图形 考点 2 双曲线的简单几何性质 双曲线的几何性质 标准方程 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0) y2 a2 － x2 b2 ＝1(a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a 或 y≥a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝± b a x y＝± a b x 离心率 e＝ c a ，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2 ＋b2 实虚轴 线段 A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2叫作双曲线的虚轴， 它的长|B1B2|＝2b；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长． a、b、c 的关系 c2 ＝a2 ＋b2 (c>a>0，c>b>0) 考点 3 直线和双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系： 将直线的方程 y kx m  与双曲线的方程 2 2 2 2 1x y a b   ( 0, 0)a b  联立成方程组，消元转化为关于 x 或 y 的一元二次方程，其判别式为Δ. 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0b a k x a mkx a m a b     若 2 2 2 0,b a k  即 bk a   ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交与一点； 若 2 2 2 0,b a k  即 bk a   ， ①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点． 【考点深度剖析】 除与椭圆有相同的重点及考点之外，在高考中还经常考查双曲线独有的性质渐近线，以双曲线为载体考查 方程、性质，也是高考命题的热点． 【重点难点突破】 考点 1 双曲线的定义及标准方程 【1-1】设 F1，F2是双曲线 x2 － y2 24 ＝1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面 积等于_______． 【答案】24 【解析】双曲线的实轴长为 2，焦距为 1 2| |F F ＝2×5＝10.据题意和双曲线的定义知，2＝ 1 2PF PF－ ＝ 4 3 2 2PF PF－ ＝ 2 1 3 PF ，∴ 2 16 8PF PF＝ ， ＝ .∴ 2 2 2 1 2 1 2| |PF PF F F＋ ＝ ，∴ 1 2PF PF ， ∴ 1 2PF F 1 2 1 1S |PF ||PF |= 6 8=24 2 2    . 【1-2】已知 F1，F2为双曲线 x2 5 － y2 4 ＝1 的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点 A 在双曲线上，则|AP|＋ |AF2|的最小值为_______． 【答案】 37－2 5 【1-3】已知双曲线 C： ﹣ =1 的焦距为 10，点 P（2，1）在 C 的渐近线上，则 C 的方程为_______． 【答案】 ﹣ =1 【解析】双曲线 C： ﹣ =1 的渐近线方程为 y＝ b x a  , ∵双曲线 C： ﹣ =1 的焦距为 10，点 P （2，1）在 C 的渐近线上 , ∴2c=10，a=2b , ∵c 2 =a 2 +b 2 , ∴a 2 =20，b 2 =5 , ∴C 的方程为 ﹣ =1． 【1-4】与双曲线   2 2 1 9 16 x y 有共同的渐近线，并且过点 A(6,8 2)的双曲线的标准方程为__________． 【答案】   2 2 1 64 36 y x 【解析】设所求双曲线为   2 2 0 9 16 x y     ，把点(6,8 2)代入，得 36 128 9 16   ,解得 λ=-4， ∴所求的双曲线的标准方程为   2 2 1 64 36 y x ．故答案为：   2 2 1 64 36 y x ． 【1-5】双曲线的焦点为    60,6,0  ,且经过点  6,5A ,则其标准方程为_______． 【答案】 2 2 1 16 20 y x   【思想方法】 1.待定系数法求双曲线方程的常用方法 (1)与双曲线 x2 a2 － y2 b2 ＝1共渐近线的可设为 x2 a2 － y2 b2 ＝λ(λ≠0)； (2)若渐近线方程为 y＝± b a x，则可设为 x2 a2 － y2 b2 ＝λ(λ≠0)； (3)若过两个已知点则设为 x2 m ＋ y2 n ＝1(mn<0)． 2．应用双曲线的定义需注意的问题： 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝 对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一 支．同时注意定义的转化应用． 3．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意 a、b、c 的关系易错易混． 【温馨提醒】1、在焦点三角形中，注意双曲线的定义和正弦定理、余弦定理交汇解题；2、求双曲线方程 需要两个独立条件． 考点 2 双曲线的简单几何性质 【2-1】已知双曲线 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的离心率 e＝ 2，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________． 【答案】 4  【解析】∵ e= 2，∴ 2 2e＝ ，即 2 2 =2 c a ，又 2 2 2c a b＝ ＋ ， ∴ 2 2 =1 b a , 即 =1b a ，∴一条渐近线与实轴所成锐角的值是 4  . 【2-2】已知 F2、F1是双曲线 2 2 y a - 2 2 x b =1(a>0，b>0)的上、下焦点，点 F2关于渐近线的对称点恰好 落在以 F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为_______． 【答案】2 【2-3】斜率为 2的直线 l过双曲线 )0,0(1: 2 2 2 2  ba b y a xC 的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交， 则双曲线的离心率 e的取值范围是_______． 【答案】 ),5(  【解析】如图,要使斜率为2的直线 l过双曲线 )0,0(1: 2 2 2 2  ba b y a xC 的右焦点，且与双曲线的左右两 支都相交，必须且只需 2 a b 即可,从而有 544 2 2 22222  a caacab 所以有离心率 5e . 【2-4】已知 1F ， 2F 分别是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     的左、右焦点，过点 1F 且垂直于 x 轴的直线与双 曲线交于 A， B两点，若 2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是_______． 【答案】 (1 2, )  【2-5】双曲线 C: 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 3，则 C 的焦距等于 _______． 【答案】4 【解析】由已知可知渐近线的斜率 k= 2 3 3 b a c   且 2c a  ，即 2 2 2 3 3 b a c   且 2 21 3b a   解得 2 3c  =1， 所以 c=2,2c=4. 【思想方法】1．双曲线的标准方程中对 a、b 的要求只是 a＞0，b＞0 易误认为与椭圆标准方程中 a，b 的 要求相同． 若 a＞b＞0，则双曲线的离心率 e∈(1， 2)； 若 a＝b＞0，则双曲线的离心率 e＝ 2； 若 0＜a＜b，则双曲线的离心率 e＞ 2. 2．注意区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆 a、b、c 关系，在椭圆中 a2＝b2＋c2，而在双曲线中 c2＝a2＋b2. 3．等轴双曲线的离心率与渐近线关系 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e＝ 2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 4．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 b 5．渐近线与离心率 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为 b a ＝ b2 a2 ＝ c2 －a2 a2 ＝ e2 －1.可以看出，双曲线的渐近 线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 【温馨提醒】1、充分利用条件列关于 a,b,c的等式或不等式，可得离心率的取值或取值范围；2、双曲线的 渐近线是 a与b之间的比值关系，再结合 2 2 2c a b  ，可得 ,a c的关系，及离心率的关系，从这点而言， 渐近线方程和离心率是有联系的． 考点 3 直线和双曲线的位置关系 【3-1】在双曲线 225259 22  yx 上求一点，使到直线 03  yx 的距离最短． 【解析】设与直线 03  yx 平行且与椭圆相切的直线方程为： 0 myx 联立化简得 0225255016 22  mmxx （*） 0)22525(164)50( 22  mm 2,42  mm ，故切线方程为： 04  yx 代入双曲线方程解得（ 4 9, 4 25 ） 【3-2】已知直线 l和双曲线 2 2 1 9 4 x y   相交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M.设直线 l的斜率为 k1(k1≠0)， 直线 OM 的斜率为 k2,则 k1k2=_______． 【答案】 4 9 【3-3】已知双曲线方程是 x 2 － 2 2 y ＝1，过定点 P(2，1)作直线交双曲线于 P1、P2两点，并使 P(2，1)为 P1P2 的中点，则此直线方程是____________． 【答案】4x－y－7＝0 【解析】设点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由 2 2 1 1 2 yx  ＝1， 2 2 2 2 2 yx  ＝1，得 k＝ 2 1 2 1 2 1 2 1 2y y x x x x y y  （ + ） ＝ - + ＝ 2 4 2  ＝ 4，从而所求方程为 4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得 14x 2 －56x＋51＝0，Δ＞0，故此直线 满足条件． 【3-4】已知 F 是双曲线 C: 2 2 x a - 2 2 y b =1(a>0,b>0)的左焦点,B1B2是双曲线的虚轴,M 是 OB1的中点,过 F、M 的 直线与双曲线 C 的一个交点为 A,且 FM  =2MA  ,则双曲线 C 离心率是 . 【答案】 5 2 【3-5】已知函数 13y x x   是坐标原点 O 为中心的双曲线，在此双曲线的两支上分别取点 ,P Q，则线段 PQ的最小值为__________. 【答案】 2 3 2 【解析】根据双曲线的性质，当直线经过双曲线的中心被双曲线截得的实轴长是线段是 PQ 的最小值， 2PQ OP ，设点 0 0(x , )P y ，则 2 2 2 0 0 0 2 0 14 2 3OP x y x x      3 1  ， PQ 2 3 2  . 【思想方法】 1、设直线 y kx m  交双曲线 2 2 2 2 1x y a b   ( 0, 0)a b  于点 1 1 1 2 2 2( , ) , ( , ),P x y P x y 两点，则 2 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) ( )PP x x y y    = 2 21 2 1 2 1 2 ( ) [1 ( ) ]y yx x x x     = 2 1 21 | |k x x  同理可得 1 2 1 22 1| | 1 | | ( 0)PP y y k k     这里 1 2| |,x x 1 2| |,y y 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) 4x x x x x x    2 1 2 1 2 1 2| | ( ) 4y y y y y y    2、若遇中点问题，可以利用“点差法”或者韦达定理处理． 【温馨提醒】1、直线和双曲线的位置关系可以从方程的角度求解，把交点个数以及范围问题，转化为方程 解的个数以及解的范围问题；2、涉及弦长和中点问题时，要考虑“设而不求”技巧． 【易错试题常警惕】 忽视“判别式”致误 典例 (12 分)已知双曲线 x2 － y2 2 ＝1，过点 P(1,1)能否作一条直线 l，与双曲线交于 A、B 两点，且点 P 是 线段 AB 的中点？ 易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线 相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”．致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别 式”，导致解题错误． 规范解答 [失误与防范] 1．区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆中的 a，b，c 大小关系，在椭圆中 a2 ＝b2 ＋c2 ，而在双曲线中 c2 ＝a2 ＋b2 . 2．双曲线的离心率 e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率 e∈(0,1)． 3．双曲线 x2 a2 － y2 b2 ＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是 y＝± b a x， y2 a2 － x2 b2 ＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是 y＝± a b x. 4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况． 5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相 交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．