【数学】2020届一轮复习人教A版对向量数量积理解错误学案

【数学】2020届一轮复习人教A版对向量数量积理解错误学案

专题四 平面向量 误区一：对向量数量积理解错误 一、易错提醒 平面向量的数量积是向量知识中的重要内容, 向量的数量积公式为，在利用向量数量积数量积公式进行计算时，常出现的一个错误是向量夹角出错，,因此充分理解向量夹角的概念是解决数量积问题的关键,本文从三个方面阐述向量夹角经常出错的地方,最后再对向量数量积中其他容易出错的地方进行曝光，以引起同们注意．‎ ‎ (一) 忽视向量的方向致使夹角位置找错 向量的夹角是有方向的,两个非零向量的夹角指的是,将两个向量起点重合时所成的角．‎ ‎【例1】【2016届湖南省长沙市一中高三上期月考】等边三角形ABC的边长为1,,那么等于（ ）‎ A．3 B．-3 C． D．‎ ‎【分析】利用数量积定义,各向量模长确定,故只需确定其夹角即可,由向量夹角定义得向量的夹角为,向量的夹角为,向量的夹角为．‎ ‎【点评】正三角形的内角是,向量、、的夹角均为,本题解题时容易把三角形的内角当成向量的夹角,导致错误,误选C．‎ ‎【小试牛刀】在△ABC中,AB＝5,BC＝7,AC＝8,则的值为( )‎ A．79 B．‎69 C．5 D．-5‎ ‎【答案】C ‎【解析】在△ABC中,由余弦定理可得,‎ 所以.故选C.‎ ‎ (二) 忽视向量共线导致夹角用错 两个非零向量夹角范围为,由数量积定义可以推出, 两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．‎ ‎【例2】已知,,且与的夹角为锐角,则的取值范围是 ．‎ ‎【分析】与的夹角为锐角等价于,且与不共线同向,所以由,得,再除去与共线同向的情形．‎ ‎【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是,而三角形内角范围是,向量夹角是锐角,则且,而三角形内角为锐角,则．‎ ‎【小试牛刀】【2016届辽宁省大连市八中高三12月月考】已知向量,则“”是“与夹角为锐角”的（ ）%‎ A．充分不必要条件 ‎ B．充要条件 C．必要不充分条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】,,,所以在时,与夹角为锐角,“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件．故选C．‎ ‎(三) 忽视夹角的范围从而范围求错 两个非零向量夹角范围为,其中当时,两向量同向；当时,两向量反向,要与三角形内角区分开．‎ ‎【例3】已知, , ,则与的夹角的取值范围是______________.‎ ‎【分析】由已知条件得,故点A在以在以C为圆心 为半径的圆上,数形结合可求与的夹角的取值范围是．‎ ‎【解析】法一、,设,则,所以点A在以C为圆心为半径的圆上.作出图形如下图所示,从图可知与的夹角的取值范围是.‎ 法二、因为,所以,所以点A在以C为圆心为半径的圆上. 作出图形如下图所示,从图可知与的夹角的取值范围是. ‎ ‎【点评】向量身兼数形双重身份,数形结合思想的灵活运用可以有效提高解题效率．！‎ ‎【小试牛刀】【2017届福建福州外国语校高三上期期中】已知向量满足，且关于的函数在实数集上单调递增，则向量的夹角的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 向量夹角的习,使得我们在解析几何、立体几何中处理角度的问题上有了更大突破,关键是搞清向量夹角的概念、范围以及灵活数形结合思想．‎ ‎(四) 向量数量积中的其他几个易错点 ‎(1)0a＝0≠0，a·00≠0；‎ ‎(2)a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.‎ ‎(3)a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立．‎ ‎(4)误认为( a·b)2=a2·b2，正确的应是( a·b)2=.a2·b2 a2·b2。‎ ‎【例4】关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：‎ ‎①若a·b＝a·c，则a＝0或b＝c；‎ ‎②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)且a⊥b，则k＝；‎ ‎③非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°.其中所有真命题的个数为(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【分析】利用数量积的定义与性质逐个进行判断 ‎【小试牛刀】【2017福建南安一中上期段考】设是非零向量，已知命题；命题 ，则下列命题中真命题是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】命题是真命题；命题是假命题，所以是真命题 ‎【迁移运用】‎ ‎1.【山西省吕梁市2018届高三上期第一次模拟】若， ，且，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】由于两向量垂直，故，解得.‎ ‎2．【2017年河北武邑中周考】已知平面上三点、、满足，，，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为， ，，所以，所以，所以，故选C.‎ ‎3．【2017届甘肃高台县一中高三上期检测】已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】.‎ ‎4．【2017届湖南郴州市高三第二次质监】已知均为单位向量，且，则向量的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】向量的夹角为,因为，所以，即，，故选A.‎ ‎5．【2017届湖南五市十校高三12月联考】若向量数量积则向量与的夹角的取值范围是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】,选C.‎ ‎6．【2017届福建闽侯县三中高三上期中】在中，“”是“为锐角三角形”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎7.【2017届山西晋中榆社中高三11月月考】已知非零向量满足，则与的夹角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】,故选C.‎ ‎8.【广东湛江市2017届高三上期期中调研考试】已知向量，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】,所以，故选C.‎ ‎9.【山西大附属中2017级上期11月模块诊断】若且，则 （ ）‎ A. B. C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，所以选C.‎ ‎10.【广东2017届高三上期阶段测评】已知向量满足，分别是线段的中点，若，则向量与的夹角为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，∴.‎ ‎∴，，∴与的夹角为.选B.‎ ‎11．【2016届辽宁省葫芦岛市一中高三上期期末】已知,是夹角为的两个单位向量,若,,则与的夹角为（ ）！‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎12. 已知是边长为的正三角形, 为线段的中点,且,则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】如图,根据已知条件, ‎ ‎,‎ 设与的夹角为,则 ‎,‎ 因为当,,所以,即的取值范围是,故选D.‎ ‎13.【江苏省盐城中2018届高三上期期末】已知的周长为6，且成等比数列，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为成等比数列，所以，从而，所以，又，即，解得，故.‎ ‎14【广西南宁市第二中2018届高三1月月考】在平行四边形中， ， ， ，则的值为_____．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，则BC=1．‎ ‎=•（+） 故答案为：5.‎ ‎15．【河南省濮阳市2018届高三第一次模拟】正三角形的边长为1， 是其重心，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】且两向量的夹角为，即 故填： ‎ ‎16．【河北省唐山市2018届高三上期期末】平行四边形中， ， ， ，则________.‎ ‎【答案】9‎ ‎17．【山东省菏泽市2018届高三上期期末】平行四边形中， ， ， ，则_________.！‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】因为，所以，‎ 因为，所以 ‎=4+2-3=3.‎ 故答案为3.‎ ‎18.已知△ABC是正三角形，若a＝－λ与向量的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是________．‎ ‎【答案】λ>2.‎ ‎【解析】因为－λ与向量的夹角大于90°，所以(－λ)·<0，即||2－λ||·||cos 60°<0，解得λ>2.‎ ‎19.已知,,与的夹角为,与的夹角为锐角,求的取值范围________‎ ‎【答案】且 ‎20. 已知向量与的夹角是钝角,则k的取值范围是 　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】与夹角是钝角,且与不共线,-18+2k<0且6k+60,解得k<9且k-1．‎ 大值为． ‎