2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破:第四章 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
[基础题组练]
1.若角α的终边经过点P(1,),则cos α+tan α的值为( )
A. B.
C. D.
解析:选A.因为角α的终边经过点P(1,),则x=1,y=,r=|OP|=2,所以cos α==,tan α==,那么cos α+tan α=,故选A.
2.若角α与β的终边关于x轴对称,则有( )
A.α+β=90°
B.α+β=90°+k·360°,k∈Z
C.α+β=2k·180°,k∈Z
D.α+β=180°+k·360°,k∈Z
解析:选C.因为α与β的终边关于x轴对称,所以β=2k·180°-α,k∈Z,所以α+β=2k·180°,k∈Z.
3.已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选B.由题意知tan α<0,cos α<0,故sin α>0,根据三角函数值的符号规律可知,角α的终边在第二象限.故选B.
4.已知点P(sin x-cos x,-3)在第三象限,则x的可能区间是( )
A. B.
C. D.
解析:选D.由点P(sin x-cos x,-3)在第三象限,可得sin x-cos x<0,即sin x
0,tan θ<0.
所以y=-1+1-1=-1.
6.已知α是第二象限角,P(x,)为其终边上一点,且cos α=x,则x=________.
解析:因为cos α==x,所以x=0或x=或x=-,又α是第二象限角,所以x=-.
答案:-
7.若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数是________.
解析:设圆半径为r,则圆内接正方形的对角线长为2r,所以正方形边长为r,所以圆心角的弧度数是=.
答案:
8.已知点P(sin θ,cos θ)是角α终边上的一点,其中θ=,则与角α终边相同的最小正角为________.
解析:因为θ=,故P,故α为第四象限角且cos α=,所以α=2kπ+,k∈Z,所以与角α终边相同的最小正角为.
答案:
9.已知=-,且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α所在的象限;
(2)若角α的终边上一点M,且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sin α的值.
解:(1)由=-,得sin α<0,
由lg(cos α)有意义,可知cos α>0,
所以α是第四象限角.
(2)因为|OM|=1,所以+m2=1,解得m=±.
又α为第四象限角,故m<0,从而m=-,
sin α====-.
10.若角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0).
(1)求sin θ+cos θ的值;
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号.
解:(1)因为角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0),
所以x=-4a,y=3a,r=5|a|,
当a>0时,r=5a,sin θ+cos θ=-.
当a<0时,r=-5a,sin θ+cos θ=.
(2)当a>0时,sin θ=∈,
cos θ=-∈,
则cos(sin θ)·sin(cos θ)
=cos ·sin<0;
当a<0时,sin θ=-∈,
cos θ=∈,
则cos(sin θ)·sin(cos θ)=cos·sin >0.
综上,当a>0时,cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负;
当a<0时,cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正.
[综合题组练]
1.(2020·河北唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上一点A(2sin α,3)(sin α≠0),则cos α=( )
A. B.-
C. D.-
解析:选A.由三角函数定义得tan α=,即=,得3cos α=2sin2α=2(1-cos2α),解得cos α=或cos α=-2(舍去).故选A.
2.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( )
A.若α,β是第一象限的角,则cos α>cos β
B.若α,β是第二象限的角,则tan α>tan β
C.若α,β是第三象限的角,则cos α>cos β
D.若α,β是第四象限的角,则tan α>tan β
解析:选D.由三角函数线可知选D.
3.如图,在Rt△PBO中,∠PBO=90°,以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点.若圆弧AB等分△POB的面积,且∠AOB=α弧度,则=________.
解析:设扇形的半径为r,则扇形的面积为αr2,在Rt△POB中,PB=rtan α,则△POB的面积为r·rtan α,由题意得r·rtan α=2×αr2,所以tan α=2α,所以=.
答案:
4.已知圆O与直线l相切于点A,点P,Q同时从A点出发,P沿着直线l向右运动,Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q运动到点A时,点P也停止运动,连接OQ,OP(如图),则阴影部分面积S1,S2的大小关系是________.
解析:设运动速度为m,运动时间为t,圆O的半径为r,
则=AP=tm,根据切线的性质知OA⊥AP,
所以S1=tm·r-S扇形AOB,S2=tm·r-S扇形AOB,
所以S1=S2恒成立.
答案:S1=S2
5.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的始边与x
轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点,它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B,始边不动,终边在运动.
(1)若点B的横坐标为-,求tan α的值;
(2)若△AOB为等边三角形,写出与角α终边相同的角β的集合;
(3)若α∈,请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.
解:(1)由题意可得B,
根据三角函数的定义得tan α==-.
(2)若△AOB为等边三角形,则∠AOB=,故与角α终边相同的角β的集合为.
(3)若α∈,则S扇形=αr2=α,
而S△AOB=×1×1×sin α=sin α,故弓形的面积S=S扇形-S△AOB=α-sin α,α∈.
6.已知sin α<0,tan α>0.
(1)求角α的集合;
(2)求终边所在的象限;
(3)试判断tan sin cos 的符号.
解:(1)因为sin α<0且tan α>0,
所以α是第三象限角,故角α的集合为
.
(2)由(1)知2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,
故kπ+<0,cos <0,
故tan sin cos >0,
当是第四象限角时,
tan <0,sin <0,cos >0,
故tan sin cos >0.
法二:tan sin cos =·sin cos =sin2 .
由于是第二象限角或第四象限角,
所以sin2 >0,
综上,tan sin cos 取正号.