【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第60讲离散型随机变量及其分布列学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第60讲离散型随机变量及其分布列学案

第60讲　离散型随机变量及其分布列 考试说明 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,认识分布列刻画随机现象的重要性,会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.‎ ‎2.了解超几何分布,并能进行简单的应用.‎ 考情分析 考点 考查方向 考例 考查热度 离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的分布列 ‎2016全国卷Ⅰ19,‎ ‎2016全国卷Ⅱ18,‎ ‎2013全国卷Ⅱ19‎ ‎★★☆‎ 真题再现 ‎■ [2017-2013 课标全国真题再现 ‎1.[2016·全国卷Ⅰ改编 某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.求X的分布列.‎ 解:由柱状图并以频率代替概率可得,1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04; ‎ P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;‎ P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;‎ P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;‎ P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;‎ P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;‎ P(X=22)=0.2×0.2=0.04.‎ 所以X的分布列为 X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎2.[2016·全国卷Ⅱ 某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:‎ 一年内出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 概率 ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;‎ ‎(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60 的概率;‎ ‎(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.‎ 解:(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,‎ 故P(A)=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55.‎ ‎(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60 ”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,‎ 故P(B)=0.10+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),‎ 故P(B|A)====,‎ 因此所求概率为.‎ ‎(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为 X ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a P ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ E(X)=‎0.85a×0.30+a×0.15+‎1.25a×0.20+‎1.5a×0.20+‎1.75a×0.10+‎2a×0.05=‎1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.‎ ‎3.[2013·全国卷Ⅱ 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示,经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.‎ ‎(1)将T表示为X的函数;‎ ‎(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;‎ ‎(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数 期望.‎ 解:(1)当X∈[100,130)时,‎ T=500X-300(130-X)=800X-39 000.‎ 当X∈[130,150 时,T=500×130=65 000.‎ 所以T=‎ ‎(2)由(1)知利润T不少于57 000元,当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150 的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.‎ ‎(3)依题意可得T的分布列为 T ‎45 000‎ ‎53 000‎ ‎61 000‎ ‎65 000‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ 所以E(T)=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400.‎ ‎■ [2017-2016 其他省份类似高考真题 ‎1.[2017·山东卷 在心理 研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.‎ ‎(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;‎ ‎(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数 期望E(X).‎ 解:(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,‎ 则P(M)==.‎ ‎(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则 P(X=0)==,‎ P(X=1)==,‎ P(X=2)==,‎ P(X=3)==,‎ P(X=4)==.‎ 因此X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P X的数 期望E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1×+2×+3×+4×=2.‎ ‎2.[2016·山东卷改编 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求“星队”两轮得分之和X的分布列和数 期望E(X).‎ 解:由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.‎ 由事件的独立性与互斥性,得 P(X=0)=×××=,‎ P(X=1)=2××××+×××==,‎ P(X=2)=×××+×××+×××+×××=,‎ P(X=3)=×××+×××==,P(X=4)=2××××+×××==,‎ P(X=6)=×××==.‎ 故随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ P 所以数 期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.‎ ‎3.[2016·天津卷改编 某小组共10人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数 期望.‎ 解:随机变量X的所有可能取值为0,1,2.‎ P(X=0)==,‎ P(X=1)==, ‎ P(X=2)==.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 随机变量X的数 期望E(X)=0×+1×+2×=1.‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎1.随机变量　离散型随机变量 ‎2.(1)概率分布列　分布列　P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n　(2)①pi≥0(i=1,2,…,n)　②pi=1‎ ‎3.(1)1-p　P(X=1)　(2)min{M,n}‎ 对点演练 ‎1.1

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