【数学】2020届一轮复习（文）通用版8-1空间几何体的三视图、表面积和体积作业

【数学】2020届一轮复习（文）通用版8-1空间几何体的三视图、表面积和体积作业

第八章　立体几何 ‎【真题典例】‎ ‎§8.1　空间几何体的三视图、表面积和体积 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 空间几何体的结构及其三视图和直观图 ‎①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构;②能画出简单空间图形的三视图,能识别三视图所表示的立体模型;会用斜二测画法画出简单几何体的直观图;③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图和直观图,了解空间图形的不同表示形式 ‎2018课标全国Ⅰ,9,5分 空间几何体的三视图 空间几何体的结构特征及空间几何体表面最短路径问题 ‎★★★‎ ‎2018课标全国Ⅲ,3,5分 空间几何体的三视图 数学文化及空间几何体的俯视图 空间几何体的表面积 通过对柱、锥、台、球的研究,掌握柱、锥、台、球的表面积的求法 ‎2018课标全国Ⅰ,5,5分 圆柱的表面积 圆柱的轴截面 ‎★★★‎ ‎2017课标全国Ⅰ,16,5分 三棱锥外接球的表面积 面面垂直的性质定理及三棱锥的体积 ‎2016课标全国Ⅰ,7,5分 球的表面积 空间几何体的三视图 ‎2015课标Ⅰ,11,5分 组合体的表面积 空间几何体的三视图 空间几何体的体积 ‎①理解柱、锥、台体的体积概念;②能运用公式求解柱、锥、台、球的体积,并且熟悉台体、柱体与锥体之间的转换关系 ‎2018课标全国Ⅰ,10,5分 长方体的体积 直线与平面所成角 ‎★★★‎ ‎2017课标全国Ⅱ,6,5分 不规则几何体的体积 空间几何体的三视图 ‎2015课标Ⅰ,6,5分 空间几何体的体积 数学文化,圆锥的体积公式 分析解读　　1.理解柱、锥、台、球的概念,牢记它们的几何特征及形成过程.正确把握轴截面、中截面的含义及空间问题转化为平面问题的方法.2.理解三视图的形成过程及掌握三视图与直观图的画法.3.理解柱、锥、台、球的表面积和体积的概念,掌握其表面积和体积公式.4.高考对本节内容的考查主要以几何体的三视图为背景考查几何体的表面积和体积,分值约为5分,属于中档题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　空间几何体的结构及其三视图和直观图 ‎1.(2018辽宁六校协作体12月联考,6)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,∠ACB=90°,AB=‎2‎,PA=BC=1,则此几何体的左视图的面积是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.‎1‎‎4‎ B.1 C.‎3‎‎2‎ D.‎‎1‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎2.(2015北京,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为(　　)‎ A.1 B.‎‎2‎ C.‎3‎ D.2‎ 答案　C　‎ ‎3.某几何体的主视图和左视图如图1,它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1,如图2,其中O1A1=6,O1C1=2,则该几何体的侧面积为(　　)‎ A.48 B.64 C.96 D.128‎ 答案　C　‎ 考点二　空间几何体的表面积 ‎1.(2016课标全国Ⅱ,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　)‎ A.12π B.‎32‎‎3‎π C.8π D.4π 答案　A　‎ ‎2.(2018湖北八校12月联考,8)已知一几何体的三视图如图所示,它的侧视图与正视图相同,则该几何体的表面积为(　　)‎ A.16+12π B.32+12π C.24+12π D.32+20π 答案　A　‎ ‎3.(2017河北衡水中学周测卷(十六),2)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(　　)‎ A.48 B.32+8‎17‎ C.48+8‎17‎ D.80‎ 答案　C　‎ 考点三　空间几何体的体积 ‎1.(2019届湖北武汉重点中学9月联考,9)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为‎2‎,则此球的体积为(　　)‎ A.4‎3‎π B.6‎3‎π C.‎6‎π D.4‎6‎π 答案　A　‎ ‎2.(2017浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是(　　)‎ A.π‎2‎+1 B.π‎2‎+3 C.‎3π‎2‎+1 D.‎3π‎2‎+3‎ 答案　A　‎ ‎3.(2018吉林长春质检,8)《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1丈),那么该刍甍的体积为(　　)‎ A.4立方丈 B.5立方丈 C.6立方丈 D.12立方丈 答案　B　‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　空间几何体表面积的求解方法 ‎1.(2016课标全国Ⅱ,7,5分)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.20π B.24π C.28π D.32π 答案　C　‎ ‎2.(2018安徽皖南八校二联,8)榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明,它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.我国的北京紫禁城,山西悬空寺,福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构.图中网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图,则其体积与表面积分别为(　　)‎ A.24+52π,34+52π B.24+52π,36+54π C.24+54π,36+54π D.24+54π,34+52π 答案　C　‎ ‎3.(2018福建六校12月联考,11)如图是某几何体的三视图,正视图是等边三角形,侧视图和俯视图为直角三角形,则该几何体的表面积为(　　)‎ A.4‎3‎ B.4+‎3‎ C.3+‎3‎ D.4+‎‎5‎ 答案　B　‎ ‎4.(2019届广东韶关一调,15)若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,则圆锥侧面积与球面面积之比为　　　　. ‎ 答案　‎5‎∶2‎ 方法2　空间几何体体积的求解方法 ‎1.(2017北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(　　)‎ A.60 B.30 C.20 D.10‎ 答案　D　‎ ‎2.(2019届湖南长沙长郡中学9月月考,8)若某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为(　　)‎ A.4 B.6 C.8 D.10‎ 答案　B　‎ ‎3.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为　　　　. ‎ 答案　‎‎4‎‎3‎ 方法3　与球有关的切、接问题的求解方法 ‎1.(2018云南民族大学附中月考,8)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”,若某“阳马”的三视图如图所示(单位:cm),则该阳马的外接球的体积为(　　)‎ A.100π cm3 B.‎500‎‎3‎π cm3 C.400π cm3 D.‎4 000‎‎3‎π cm3‎ 答案　B　‎ ‎2.(2019届安徽皖中入学摸底考试,10)将半径为3,圆心角为‎2π‎3‎的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计),则该圆锥的内切球的体积为(　　)‎ A.‎2‎π‎3‎ B.‎3‎π‎3‎ C.‎4π‎3‎ D.2π 答案　A　‎ ‎3.(2016课标全国Ⅲ,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是(　　)‎ A.4π B.‎9π‎2‎ C.6π D.‎‎32π‎3‎ 答案　B　‎ ‎4.(2017天津,11,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为　　　　. ‎ 答案　‎9‎‎2‎π 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点一　空间几何体的结构及其三视图和直视图 ‎1.(2018课标全国Ⅰ,9,5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.2‎17‎ B.2‎5‎ C.3 D.2‎ 答案　B　‎ ‎2.(2018课标全国Ⅲ,3,5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)‎ 答案　A　‎ 考点二　空间几何体的表面积 ‎1.(2018课标全国Ⅰ,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(　　)‎ A.12‎2‎π B.12π C.8‎2‎π D.10π 答案　B　‎ ‎2.(2016课标全国Ⅰ,7,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是‎28π‎3‎,则它的表面积是(　　)‎ A.17π B.18π C.20π D.28π 答案　A　‎ ‎3.(2016课标全国Ⅲ,10,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(　　)‎ A.18+36‎5‎ B.54+18‎‎5‎ C.90 D.81‎ 答案　B　‎ ‎4.(2015课标Ⅰ,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=(　　)‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ 答案　B　‎ ‎5.(2017课标全国Ⅱ,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为　　　　. ‎ 答案　14π ‎6.(2017课标全国Ⅰ,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为　　　　. ‎ 答案　36π 考点三　空间几何体的体积 ‎1.(2018课标全国Ⅰ,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为(　　)‎ A.8 B.6‎2‎ C.8‎2‎ D.8‎‎3‎ 答案　C　‎ ‎2.(2017课标全国Ⅱ,6,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为(　　)‎ A.90π B.63π ‎ C.42π D.36π 答案　B　‎ ‎3.(2017课标全国Ⅲ,9,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(　　)‎ A.π B.‎3π‎4‎ C.π‎2‎ D.‎π‎4‎ 答案　B　‎ ‎4.(2015课标Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(　　)‎ A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 答案　B　‎ ‎5.(2018课标全国Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为　　　　. ‎ 答案　8π ‎6.(2017课标全国Ⅱ,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=‎1‎‎2‎AD,∠BAD=∠ABC=90°.‎ ‎(1)证明:直线BC∥平面PAD;‎ ‎(2)若△PCD的面积为2‎7‎,求四棱锥P-ABCD的体积.‎ 解析　(1)证明:在平面ABCD内,‎ 因为∠BAD=∠ABC=90°,‎ 所以BC∥AD.‎ 又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,故BC∥平面PAD.‎ ‎(2)取AD的中点M,连接PM,CM.‎ 由AB=BC=‎1‎‎2‎AD及BC∥AD,∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD.‎ 因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD.‎ 因为CM⊂底面ABCD,‎ 所以PM⊥CM.‎ 设BC=x,则CM=x,CD=‎2‎x,PM=‎3‎x,PC=PD=2x.‎ 取CD的中点N,连接PN,‎ 则PN⊥CD,所以PN=‎14‎‎2‎x.‎ 因为△PCD的面积为2‎7‎,‎ 所以‎1‎‎2‎×‎2‎x×‎14‎‎2‎x=2‎7‎,‎ 解得x=-2(舍去)或x=2.‎ 于是AB=BC=2,AD=4,PM=2‎3‎.‎ 所以四棱锥P-ABCD的体积V=‎1‎‎3‎×‎2×(2+4)‎‎2‎×2‎3‎=4‎3‎.‎ ‎7.(2016课标全国Ⅱ,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.‎ ‎(1)证明:AC⊥HD';‎ ‎(2)若AB=5,AC=6,AE=‎5‎‎4‎,OD'=2‎2‎,求五棱锥D'-ABCFE的体积.‎ 解析　(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.‎ 又由AE=CF得AEAD=CFCD,故AC∥EF.(2分)‎ 由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.(4分)‎ ‎(2)由EF∥AC得OHDO=AEAD=‎1‎‎4‎.(5分)‎ 由AB=5,AC=6得DO=BO=AB‎2‎-AO‎2‎=4.‎ 所以OH=1,D'H=DH=3.‎ 于是OD'2+OH2=(2‎2‎)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.‎ 由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',因为OD'⊂平面BHD',所以AC⊥OD'.‎ 又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.(8分)‎ 又由EFAC=DHDO得EF=‎9‎‎2‎.‎ 五边形ABCFE的面积S=‎1‎‎2‎×6×8-‎1‎‎2‎×‎9‎‎2‎×3=‎69‎‎4‎.(10分)‎ 所以五棱锥D'-ABCFE的体积V=‎1‎‎3‎×‎69‎‎4‎×2‎2‎=‎23‎‎2‎‎2‎.(12分)‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　空间几何体的结构及其三视图和直观图 ‎1.(2018北京,6,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案　C　‎ ‎2.(2014湖北,7,5分)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(　　)‎ A.①和② B.③和①‎ C.④和③ D.④和②‎ 答案　D　‎ ‎3.(2014北京,11,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为　　　　. ‎ 答案　2‎‎2‎ 考点二　空间几何体的表面积 ‎1.(2015福建,9,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于(　　)‎ A.8+2‎2‎ B.11+2‎2‎ C.14+2‎2‎ D.15‎ 答案　B　‎ ‎2.(2015陕西,5,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(　　)‎ A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4‎ 答案　D　‎ ‎3.(2016浙江,9,6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是　　　　cm2,体积是　　　　cm3. ‎ 答案　80;40‎ 考点三　空间几何体的体积 ‎1.(2018浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是(　　)‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ 答案　C　‎ ‎2.(2016山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.‎1‎‎3‎+‎2‎‎3‎π B.‎1‎‎3‎+‎2‎‎3‎π C.‎1‎‎3‎+‎2‎‎6‎π D.1+‎2‎‎6‎π 答案　C　‎ ‎3.(2017山东,13,5分)由一个长方体和两个‎1‎‎4‎圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为　　　　. ‎ 答案　2+‎π‎2‎ ‎4.(2016北京,11,5分)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎2‎ C组　教师专用题组 考点一　空间几何体的结构及其三视图和直观图 ‎1.(2016天津,3,5分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为(　　)‎ 答案　B　‎ ‎2.(2014课标Ⅰ,8,5分)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 答案　B　‎ ‎3.(2014湖南,8,5分)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案　B　‎ 考点二　空间几何体的表面积 ‎1.(2015安徽,9,5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是(　　)‎ A.1+‎3‎ B.1+2‎‎2‎ C.2+‎3‎ D.2‎‎2‎ 答案　C　‎ ‎2.(2014大纲全国,10,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为(　　)‎ A.‎81π‎4‎ B.16π C.9π D.‎‎27π‎4‎ 答案　A　‎ ‎3.(2015课标Ⅱ,10,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为(　　)‎ A.36π B.64π C.144π D.256π 答案　C　‎ ‎4.(2013课标Ⅰ,15,5分)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为　　　　. ‎ 答案　‎‎9π‎2‎ ‎5.(2013课标Ⅱ,15,5分)已知正四棱锥O-ABCD的体积为‎3‎‎2‎‎2‎,底面边长为‎3‎,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为　　　　. ‎ 答案　24π 考点三　空间几何体的体积 ‎1.(2015课标Ⅱ,6,5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)‎ A.‎1‎‎8‎ B.‎1‎‎7‎ C.‎1‎‎6‎ D.‎‎1‎‎5‎ 答案　D　‎ ‎2.(2015浙江,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是(　　)‎ A.8 cm3 B.12 cm3‎ C.‎32‎‎3‎ cm3 D.‎40‎‎3‎ cm3‎ 答案　C　‎ ‎3.(2015山东,9,5分)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)‎ A.‎2‎2‎π‎3‎ B.‎4‎2‎π‎3‎ C.2‎2‎π D.4‎2‎π 答案　B　‎ ‎4.(2015重庆,5,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎+2π B.‎13π‎6‎ C.‎7π‎3‎ D.‎‎5π‎2‎ 答案　B　‎ ‎5.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=新工件的体积原工件的体积(　　)‎ A.‎8‎‎9π B.‎8‎‎27π C.‎24(‎2‎-1‎‎)‎‎3‎π D.‎‎8(‎2‎-1‎‎)‎‎3‎π 答案　A　‎ ‎6.(2014课标Ⅱ,6,5分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)‎ A.‎17‎‎27‎ B.‎5‎‎9‎ C.‎10‎‎27‎ D.‎‎1‎‎3‎ 答案　C　‎ ‎7.(2014湖北,10,5分)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈‎1‎‎36‎L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈‎2‎‎75‎L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(　　)‎ A.‎22‎‎7‎ B.‎25‎‎8‎ ‎ C.‎157‎‎50‎ D.‎‎355‎‎113‎ 答案　B　‎ ‎8.(2014辽宁,7,5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.8-π‎4‎ B.8-‎π‎2‎ C.8-π D.8-2π 答案　C　‎ ‎9.(2014四川,4,5分)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是(　　)‎ 锥体体积公式:V=‎1‎‎3‎Sh,其中S为底面面积,h为高 A.3 B.2 C.‎3‎ D.1‎ 答案　D　‎ ‎10.(2014浙江,3,5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是(　　)‎ A.72 cm3 B.90 cm3 C.108 cm3 D.138 cm3‎ 答案　B　‎ ‎11.(2014重庆,7,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.12 B.18 C.24 D.30‎ 答案　C　‎ ‎12.(2013课标Ⅰ,11,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π 答案　A　‎ ‎13.(2012课标全国,7,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(　　)‎ A.6 B.9 C.12 D.18‎ 答案　B　‎ ‎14.(2012课标全国,8,5分)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为‎2‎,则此球的体积为(　　)‎ A.‎6‎π B.4‎3‎π C.4‎6‎π D.6‎3‎π 答案　B　‎ ‎15.(2010全国Ⅰ,12,5分)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(　　)‎ A.‎2‎‎3‎‎3‎ B.‎4‎‎3‎‎3‎ C.2‎3‎ D.‎‎8‎‎3‎‎3‎ 答案　B　‎ ‎16.(2016四川,12,5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎3‎ ‎17.(2015天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为　　　　m3. ‎ 答案　‎8‎‎3‎π ‎18.(2014天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为　　　　m3. ‎ 答案　‎‎20π‎3‎ ‎19.(2011课标,16,5分)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的‎3‎‎16‎,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎3‎ ‎20.(2015课标Ⅱ,19,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.‎ ‎(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);‎ ‎(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.‎ 解析　(1)交线围成的正方形EHGF如图:‎ ‎(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.‎ 因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.‎ 于是MH=EH‎2‎-EM‎2‎=6,AH=10,HB=6.‎ 因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为‎9‎‎7‎‎7‎‎9‎也正确.‎ ‎21.(2015安徽,19,13分)如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.‎ ‎(1)求三棱锥P-ABC的体积;‎ ‎(2)证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求PMMC的值.‎ 解析　(1)由题设AB=1,AC=2,∠BAC=60°,‎ 可得S△ABC=‎1‎‎2‎·AB·AC·sin 60°=‎3‎‎2‎.‎ 由PA⊥平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高,又PA=1,‎ 所以三棱锥P-ABC的体积 V=‎1‎‎3‎·S△ABC·PA=‎3‎‎6‎.‎ ‎(2)证明:在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MN∥PA交PC于点M,连接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC,所以MN⊥AC.由于BN∩MN=N,故AC⊥平面MBN.又BM⊂平面MBN,所以AC⊥BM.‎ 在直角△BAN中,AN=AB·cos∠BAC=‎1‎‎2‎,从而NC=AC-AN=‎3‎‎2‎.由MN∥PA,得PMMC=ANNC=‎1‎‎3‎.‎ ‎22.(2014广东,18,13分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如图2折叠:折痕EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M,并且MF⊥CF.‎ ‎(1)证明:CF⊥平面MDF;‎ ‎(2)求三棱锥M-CDE的体积.‎ 解析　(1)证明:∵PD⊥平面ABCD,‎ AD⊂平面ABCD,∴PD⊥AD.‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,∴AD⊥DC.‎ 又∵PD∩DC=D,‎ ‎∴AD⊥平面PCD.‎ ‎∵CF⊂平面PCD,‎ ‎∴AD⊥CF.‎ 又∵MF⊥CF,MF∩AD=M,‎ ‎∴CF⊥平面MDF.‎ ‎(2)由(1)知CF⊥DF,PD⊥DC,‎ 在△PCD中,DC2=CF·PC.‎ ‎∴CF=CD‎2‎PC=‎1‎‎2‎.‎ 又∵EF∥DC,‎ ‎∴PCPD=FCED⇒ED=PD·FCPC=‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎‎2‎=‎3‎‎4‎.‎ ‎∴PE=ME=‎3‎-‎3‎‎4‎=‎3‎‎3‎‎4‎,‎ ‎∴S△CDE=‎1‎‎2‎DC·ED=‎1‎‎2‎×1×‎3‎‎4‎=‎3‎‎8‎.‎ 在Rt△MDE中,MD=ME‎2‎-ED‎2‎=‎6‎‎2‎,‎ ‎∴VM-CDE=‎1‎‎3‎S△CDE·MD=‎1‎‎3‎×‎3‎‎8‎×‎6‎‎2‎=‎2‎‎16‎.‎ ‎23.(2014福建,19,12分)如图,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.‎ ‎(1)求证:CD⊥平面ABD;‎ ‎(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.‎ 解析　(1)证明:∵AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.‎ 又∵CD⊥BD,AB∩BD=B,‎ AB⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,∴CD⊥平面ABD.‎ ‎(2)解法一:由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD.‎ ‎∵AB=BD=1,∴S△ABD=‎1‎‎2‎.‎ ‎∵M是AD的中点,∴S△ABM=‎1‎‎2‎S△ABD=‎1‎‎4‎.‎ 由(1)知,CD⊥平面ABD,‎ ‎∴三棱锥C-ABM的高h=CD=1,‎ 因此三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VC-ABM=‎1‎‎3‎S△ABM·h=‎1‎‎12‎.‎ 解法二:由AB⊥平面BCD知,平面ABD⊥平面BCD,‎ 又平面ABD∩平面BCD=BD,‎ 如图,过点M作MN⊥BD交BD于点N,‎ 则MN⊥平面BCD,且MN=‎1‎‎2‎AB=‎1‎‎2‎,‎ 又CD⊥BD,BD=CD=1,‎ ‎∴S△BCD=‎1‎‎2‎.‎ ‎∴三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD ‎=‎1‎‎3‎AB·S△BCD-‎1‎‎3‎MN·S△BCD=‎1‎‎12‎.‎ ‎24.(2014江西,19,12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥BC,A1B⊥BB1.‎ ‎(1)求证:A1C⊥CC1;‎ ‎(2)若AB=2,AC=‎3‎,BC=‎7‎,问AA1为何值时,三棱柱ABC-A1B1C1体积最大?并求此最大值.‎ 解析　(1)证明:由AA1⊥BC知BB1⊥BC,‎ 又BB1⊥A1B,‎ 故BB1⊥平面BCA1,则BB1⊥A1C,‎ 又BB1∥CC1,‎ 所以A1C⊥CC1.‎ ‎(2)解法一:设AA1=x,‎ 在Rt△A1BB1中,A1B=A‎1‎B‎1‎‎2‎‎-BB‎1‎‎2‎=‎4-‎x‎2‎.‎ 同理,A1C=A‎1‎C‎1‎‎2‎‎-CC‎1‎‎2‎=‎3-‎x‎2‎.‎ 在△A1BC中,cos∠BA1C=‎A‎1‎B‎2‎‎+A‎1‎C‎2‎-BC‎2‎‎2A‎1‎B·A‎1‎C ‎=-x‎2‎‎(4-x‎2‎)(3-x‎2‎)‎,所以sin∠BA1C=‎12-7‎x‎2‎‎(4-x‎2‎)(3-x‎2‎)‎,‎ 所以S‎△A‎1‎BC=‎1‎‎2‎A1B·A1C·sin∠BA1C=‎12-7‎x‎2‎‎2‎.‎ 从而三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S‎△A‎1‎BC·AA1=x‎12-7‎x‎2‎‎2‎.‎ 因为x‎12-7‎x‎2‎=‎12x‎2‎-7‎x‎4‎=‎-7x‎2‎‎-‎‎6‎‎7‎‎2‎+‎‎36‎‎7‎,‎ 故当x=‎6‎‎7‎=‎42‎‎7‎,即AA1=‎42‎‎7‎时,体积V取到最大值‎3‎‎7‎‎7‎.‎ 解法二:过A1作BC的垂线,垂足为D,连接AD.‎ 由于AA1⊥BC,A1D⊥BC,‎ 故BC⊥平面AA1D,BC⊥AD.‎ 又∠BAC=90°,‎ 所以S△ABC=‎1‎‎2‎AD·BC=‎1‎‎2‎AB·AC,得AD=‎2‎‎21‎‎7‎.‎ 设AA1=x,在Rt△AA1D中,‎ A1D=AD‎2‎-AA‎1‎‎2‎=‎12‎‎7‎‎-‎x‎2‎,‎ S‎△A‎1‎BC‎=‎1‎‎2‎A1D·BC=‎12-7‎x‎2‎‎2‎.‎ 从而三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S‎△A‎1‎BC·AA1=x‎12-7‎x‎2‎‎2‎.‎ 因为x‎12-7‎x‎2‎=‎12x‎2‎-7‎x‎4‎=‎-7x‎2‎‎-‎‎6‎‎7‎‎2‎+‎‎36‎‎7‎,‎ 故当x=‎6‎‎7‎=‎42‎‎7‎,即AA1=‎42‎‎7‎时,体积V取到最大值‎3‎‎7‎‎7‎.‎ ‎25.(2013课标Ⅱ,18,12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.‎ ‎(1)证明:BC1∥平面A1CD;‎ ‎(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2‎2‎,求三棱锥C-A1DE的体积.‎ 解析　(1)证明:连接AC1交A1C于点F,‎ 则F为AC1中点.‎ 由D是AB中点,连接DF,则BC1∥DF.‎ 因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,‎ 所以BC1∥平面A1CD.‎ ‎(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,‎ 所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,‎ 所以CD⊥AB.‎ 又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.‎ 由AA1=AC=CB=2,AB=2‎2‎得 ‎∠ACB=90°,CD=‎2‎,A1D=‎6‎,DE=‎3‎,A1E=3,‎ 故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.‎ 所以VC-A‎1‎DE=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×‎6‎×‎3‎×‎2‎=1.‎ ‎【三年模拟】‎ 时间:45分钟　分值:65分 一、选择题(每小题5分,共45分)‎ ‎1.(2019届安徽芜湖11月调研,7)如图,一个直三棱柱容器中盛有水,且侧棱AA1=8.当侧面AA1B1B水平放置时,液面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点,当底面ABC水平放置时,液面高为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.7 B.6 C.4 D.2‎ 答案　B　‎ ‎2.(2019届湖北孝感摸底测试,8)已知正四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形,点P在底面的投影为O,已知PO=1,该四棱锥的侧面积为4‎2‎,则该四棱锥的体积为(　　)‎ A.8 B.‎8‎‎3‎ C.4 D.‎‎4‎‎3‎ 答案　D　‎ ‎3.(2019届河南联盟尖子生调研考试,7)已知某几何体的三视图如图所示,则在该几何体的所有顶点中任取两点,它们之间的距离不可能为(　　)‎ A.‎6‎ B.‎3‎ C.2 D.‎‎5‎ 答案　C　‎ ‎4.(2018广东佛山一模,9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.‎21‎‎2‎ B.15 C.‎33‎‎2‎ D.18‎ 答案　C　‎ ‎5.(2019届湖北武汉重点中学9月联考,11)已知四棱锥S-ABCD的三视图如图所示,则围成四棱锥S-ABCD的五个面中最大面的面积是(　　)‎ A.3 B.6 C.8 D.10‎ 答案　C　‎ ‎6.(2019届河南信阳期中联考,10)我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究,从其中的一些数学用语可见,譬如“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”,即三棱柱ABC-A1B1C1,其中AC⊥BC,若AA1=AB=1,当“阳马”(四棱锥B-A1ACC1)体积最大时,“堑堵”(三棱柱ABC-A1B1C1)的表面积为(　　)‎ A.‎2‎+1 B.‎3‎+1‎ C.‎2‎2‎+3‎‎2‎ D.‎‎3‎‎+3‎‎2‎ 答案　C　‎ ‎7.(2017河南天一12月联考,10)如图,在四面体PABC中,PA=PB=PC=4,点O是点P在平面ABC上的投影,且tan∠APO=‎2‎‎2‎,则四面体PABC的外接球的体积为(　　)‎ A.24π B.48π C.8‎6‎π D.32‎3‎π 答案　C　‎ ‎8.(2018云南玉溪一中期中,11)已知三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上,且PA⊥平面ABC,若该三棱锥的体积为‎2‎‎3‎‎3‎,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则球的表面积等于(　　)‎ A.5π B.20π C.8π D.16π 答案　B　‎ ‎9.(2019届湖北八校9月调研,10)某四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是(　　)‎ A.2 B.4 C.2+‎5‎ D.4+2‎‎5‎ 答案　C　‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎10.(2019届安徽皖中入学摸底考试,15)已知某三棱柱的三视图如图所示,那么该三棱柱的侧面中,最大侧面的面积为　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎ ‎11.(2018陕西部分重点中学摸底检测,14)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起,使得平面ABD⊥平面CBD,形成的三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎4‎ ‎12.(2017福建四地六校联考,15)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切,已知这个球的体积为‎32‎‎3‎π,则该正三棱柱的体积为　　　　. ‎ 答案　48‎‎3‎ ‎13.(2019届陕西四校期中联考,16)直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,侧棱长等于底面三角形的斜边长,若其外接球的体积为‎32π‎3‎,则该三棱柱体积的最大值为　　　　. ‎ 答案　4‎‎2‎