2018-2019学年安徽省巢湖市柘皋中学高二上学期第一次月考数学试题 Word版

2018-2019学年安徽省巢湖市柘皋中学高二上学期第一次月考数学试题 Word版

‎2018-2019学年安徽省巢湖市柘皋中学高二上学期第一次月考 数 学 试 卷 ‎ ‎ 时间：120′ 总分:150′‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　）‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 2. 将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（　　） ‎ A. B. C. D. ‎ 3. 棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，则球的表面积是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是（）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（　　）‎ A. ，且，则 ‎ B. ，且，则 C. ，，，则 ‎ D. ，，，，则 1. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β； ②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β； ③l∥α，l⊥β⇒α⊥β． 其中正确的命题有（　　）‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是（　　） ①面PAB⊥面PBC ②面PAB⊥面PAD ③面PAB⊥面PCD ④面PAB⊥面PAC．‎ A. B. C. D. ‎ 4. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 如图，六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论不正确的是( )‎ A. 平面PAD B. 平面PAF C. 平面PAB D. 平面PAF ‎ 1. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 2. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________. ‎ 3. 如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形（单位：cm），则该三棱锥的外接球的表面积为______．‎ 4. 如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为______ ．‎ 5. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论： （1）AC⊥BD           （2）AB与平面BCD成60°的角 （3）△ACD是等边三角形 （4）AB与CD所成的角为60° 正确结论的编号是______ ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分.第17题10分，其他每题12分.）‎ 1. 如图是一个几何体的三视图，其中正视图与左视图都是全等的腰为的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形， ‎ ‎               ‎ 正视图                          左视图                                俯视图 ‎（1）画出该几何体；（2）求此几何体的表面积与体积． ‎ 2. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点． （1）求证：直线BD1∥平面PAC； （2）求证：平面PAC⊥平面BDD1； （3）求直线PB1与平面PAC的夹角．‎ ‎19如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC．‎ ‎ ‎ ‎20如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC． （1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC； （3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由． ‎ ‎21.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，B1C的中点． （1）求证：MN∥平面AA1C1C； （2）若∠ABC=90°，AB=BC=2，AA1=3，求点B1到面A1BC的距离． ‎ ‎22.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC．已知D是BC的中点，AB=AA1=2． （Ⅰ）求证：平面AB1D⊥平面BB1C1C； （Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D； （Ⅲ）求三棱锥A1-AB1D的体积． ‎ 和解析 ‎1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】C ‎8.【答案】A9.【答案】D10.【答案】A11.【答案】A12.【答案】A 13.【答案】3：1：2‎ ‎14.【答案】29πcm2‎ ‎15.【答案】‎ ‎16.【答案】①③④‎ ‎17.【答案】解：(1)该几何体的直观图如图所示：‎ ‎(2)作斜高EF⊥BC，连接EO，OF，由正视图可知：EF=， 在Rt△EOF中：EO=， ∴S表面积=， V=．‎ ‎18.【答案】（1）证明：连接BD，交AC于O，则O为BD中点，连接OP， ∵P为DD1的中点，∴OP∥BD1， ∵OP⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC， ∴BD1∥平面PAC； （2）证明：长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD， 又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC． ∵BD⊂平面BDD1B1，D1D⊂平面BDD1B1，BD∩D1D=D， ∴AC⊥面BDD1B1．∵AC⊂平面PAC， ‎ ‎∴平面PAC⊥平面BDD1； （3）解：连接PB1，由（2）知，平面PAC⊥平面BDD1， ∴∠B1PO即为PB1与平面PAC的夹角， 在长方体ABCD-A1B1C1D1中， ∵AB=AD=1，AA1=2，∴OP=，，． 在△OPB1中，cos∠B1PO=． ∴直线PB1与平面PAC的夹角为．‎ ‎19.【答案】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA， 又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF， ∴PA∥平面DEF； （2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3； 又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4； ∴DE2+EF2=DF2， ∴∠DEF=90°， ∴DE⊥EF； ∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC； ∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC； ∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．‎ ‎20.【答案】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD， ∴PC⊥DC， ∵DC⊥AC，PC∩AC=C， ∴DC⊥平面PAC； （2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC， ∴AB⊥AC， ∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴PC⊥AB， ‎ ‎∵PC∩AC=C， ∴AB⊥平面PAC， ∵AB⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAC； （3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF． ∵点E为AB的中点， ∴EF∥PA， ∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF， ∴PA∥平面CEF．‎ ‎21.【答案】（1）证明：连接BC1， ∵四边形BCC1B1是平行四边形，N是B1C的中点， ∴N是BC1的中点，又M是A1B的中点， ∴MN∥A1C1， 又A1C1⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C， ∴MN∥平面AA1C1C． （2）解：∵AB⊥BC，BB1⊥BC，AB∩BB1=B， ∴BC⊥平面ABB1A1， ∴V=S•BC==2， 又A1B==，∴S==． 设B1到平面A1BC的距离的距离为h，则V=•h=， ∵V=V，∴2=，∴h=． ∴点B1到面A1BC的距离为． ‎ ‎22.【答案】（Ⅰ）证明：因为△ABC为正三角形，且D是BC的中点， 所以AD⊥BC． 因为侧棱AA1⊥底面ABC，AA1∥BB1‎ ‎， 所以BB1⊥底面ABC． 又因为AD⊂底面ABC，所以BB1⊥AD． 而B1B∩BC=B， 所以AD⊥平面BB1C1C． 因为AD⊂平面AB1D，所以平面AB1D⊥平面BB1C1C． （Ⅱ）证明：连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE． 由已知得，四边形A1ABB1为正方形，则E为A1B的中点． 因为D是BC的中点， 所以DE∥A1C． 又因为DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D， 所以A1C∥平面AB1D．                         （Ⅲ）由（Ⅱ）可知A1C∥平面AB1D， 所以A1与C到平面AB1D的距离相等， 所以． 由题设及AB=AA1=2，得BB1=2，且． 所以， 所以三棱锥A1-AB1D的体积为． ‎