【推荐】专题04 大题好拿分（提升版）-2017届高三上学期期末考试数学（理）备考黄金30题

【推荐】专题04 大题好拿分（提升版）-2017届高三上学期期末考试数学（理）备考黄金30题

‎（范围：高考范围）‎ ‎1．设函数，若，且其导函数满足．‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1），．（2），‎ ‎【解析】‎ 于是，当变化时，与的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ 所以，，．‎ 考点：利用导数求函数最值 ‎2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA=4, 点D是AB的中点 ‎（1）求证：AC BC ；‎ ‎（2）求证：AC//平面CDB ；‎ ‎（3）求二面角B-DC-B1的余弦值．‎ ‎【答案】（1）AC BC；（2）AC//平面CDB；（3）二面角B-DC-B1的余弦值为 ‎【解析】‎ ‎（3）可求得平面的一个法向量为，取平面CDB的一个法向量为 ‎，则，由图可知，二面角B-DC-B1的余弦值为 ‎ ‎ ‎ 考点：1．直线与平面平行的判定及性质；2．利用空间直角坐标系求二面角的求法.‎ ‎3．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸线正东处有一个城镇，在点与城镇的中点处有一个车站，假设一个人要从小岛前往城镇，若他先乘船到达海岸线上的点与车站之间(不含车站) ，则可租自行车到车站乘车去城镇; 若他先乘船到达海岸线上的车站与城镇之间(含车站) ， 则可乘车去城镇，设（单位：）表示此人乘船到达海岸线处距点的距离，且乘船费用与乘船的距离之间的函数关系为：（单位：元）自行车的费用为元，乘车的费用为元，此人从小岛到城镇的总费用为（单位：元）.‎ ‎ ‎ ‎（1）求的函数解析式；‎ ‎（2）当为何值时，此人所花总费用 最少？并求出此时的总费用.‎ ‎【答案】（1）；（2）时，此人所花总费用最少为元.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）.‎ ‎（2）当时，，当时，取得最小值，当时，‎ ‎，当时，取得最小值，所以当时，此人所花总费用最少， 为元.‎ 考点：分段函数，二次函数最值.‎ ‎4．已知,．‎ ‎（I）求的最小正周期；‎ ‎（II）在中,,,若的最大值为,求的面积．‎ ‎【答案】 （I）；(II) ‎ ‎ ‎ 在中,由余弦定理得 ‎ ‎ 考点：三角函数性质；正弦定理、余弦定理.‎ ‎5．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件做为样本，测量其直径后，整理得到下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值．‎ ‎（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）；‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③．‎ 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备的性能等级．‎ ‎（Ⅱ）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.‎ ‎（ⅰ）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；‎ ‎（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望．‎ ‎【答案】（I）丙；（ⅰ）；（ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ），‎ ‎，‎ ‎，‎ 因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；‎ ‎（ⅱ）由题意可知的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ 故．‎ 考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．‎ ‎6．函数．‎ ‎（1）当时，若函数与的图象有且只有3个不同的交点，求实数的值的取值范围；‎ ‎（2）讨论的单调性．‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（2）由于，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 当时，恒成立，∴在上单调递减；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．‎ 考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）根的存在性及根的个数判断．‎ ‎7．设是等比数列的前项和，，，成等差数列．‎ ‎（1）设此等比数列的公比为，求的值；‎ ‎（2）问：数列中是否存在不同的三项，，成等差数列？若存在，求出，，满足 的条件；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在不同的三项，，成等差数列．‎ ‎（注：若利用等比数列求和公式，则必须讨论公比是否等于1，不讨论者扣3分）‎ 考点：等比数列与等差数列的性质．‎ ‎8．如图，斜率为1的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点，将直线向左平移个单位得到直线，为上的动点．‎ ‎ ‎ ‎（1）若，求抛物线的方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）∴直线斜率为，∴直线倾斜角为．‎ ‎∴，‎ 故抛物线方程为．‎ 考点：1、抛物线方程；2、直线与抛物线．‎ ‎9．已知公差不为零的等差数列，若，且成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）设数列的公差为．‎ ‎∵，且成等比数列，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ），‎ Sn＝1·2＋2·22＋3·22＋…＋n·2n．①‎ 从而2·Sn＝1·22＋2·23＋3·23＋…＋n·2n＋1．②‎ ‎①－②，得(1－2)Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，‎ 即,‎ ‎∴．‎ 考点：1．等差数列通项公式；2．错位相减法求和 ‎10．新课程改革后，我校开设了甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选修甲的概率为，只选修甲和乙的概率是，至少选修一门课程的概率是，用表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．‎ ‎（I）求学生小张选修甲的概率；‎ ‎（II）记“函数为上的偶函数”为事件，求事件的概率；‎ ‎（III）求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（I）；（II）；（III）分布列见解析，．‎ ‎【解析】‎ ‎（II）若函数为上的偶函数，则，‎ 若时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选，‎ ‎，‎ 事件的概率为．‎ ‎（III）依题意知，，‎ 则的分布列为 的数学期望为．‎ 考点：相互独立事件的概率公式及离散型随机变量的分布列.‎ ‎11．已知函数 ‎（1）当时，求函数的最小值和最大值；‎ ‎（2）设的内角的对应边分别为，且，若向量与向量共线，求的值．‎ ‎【答案】（1）最大值为0，最小值为；（2）.‎ ‎（2）由得 由余弦定理的 由，共线得，即．‎ 考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦 ‎12．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶如图所示.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；‎ ‎（Ⅱ）若从乙车间件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过克的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）甲车间的产品的重量相对稳定（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎（2）设“所抽取两件样品重量之差不超过克”为事件. ‎ 总的基本事件有个：、、、、、、、、、、、、、、，它们是等可能的 事件包含的基本事件有个：、、、‎ 所以 答：甲车间的产品的重量相对稳定；从乙车间件样品中随机抽取两件，所抽取两件样品重量之差不超过克的概率为 考点：极差、方差与标准差；茎叶图；古典概型及其概率计算公式 ‎13．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查 结果如下表所示：‎ ‎ ‎ ‎（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；‎ ‎（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）是；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（2）从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间，‎ 其中表示喜欢甜品的学生，，表示不喜欢甜品的学生，．‎ 由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．‎ 用表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则，‎ 事件由7个基本事件组成，因而．‎ 考点：独立性检验，随机事件的概率.‎ ‎14．已知函数．‎ ‎（1）当时，求在区间上的最值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；‎ ‎（3）当时，有恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）当时，在上单调递增，当时，在单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递减；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，，‎ ‎∴，‎ ‎∵的定义域为，∴由，得，‎ ‎∴在区间上的最值只可能在，，取到，‎ 而，，，‎ ‎∴，．‎ ‎（3）由（2）知，当时，，即原不等式等价于，‎ 即，‎ 整理得，‎ ‎∴，‎ 又∵，∴的取值范围为．‎ 考点：1、函数与不等式；2、函数与方程；3、函数的单调性.‎ ‎15．在中，内角的对边分别是，且， .‎ ‎（1）设的周长，求的表达式，并求的最大值;‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（2）,‎ 即,，所以 所以.‎ 考点：1.和差公式；2.正余弦定理的应用. ‎ ‎16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，为 的中点，平面，，为的中点．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）证明：平面；‎ ‎（3）求直线与平面所成角的正切值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ 考点：立体几何证明平行、垂直、求线面角．‎ ‎17．已知数列满足：，.‎ ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）设数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 考点：1、递推公式；2、对数运算；3、裂项相消法.‎ ‎18．已知椭圆的下顶点为P(0,-1)，到焦点的距离为．‎ ‎（Ⅰ）设Q是椭圆上的动点，求的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若直线与圆O:x2+y2=1相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．当，且满足时，求AOB面积S的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎∵==‎ ‎． ‎ ‎． ‎ ‎∵，且∈，]．‎ ‎∴． ‎ 考点：直线与圆锥曲线的综合问题 ‎19．已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）点，直线的方程为是经过的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记、斜率分别为，且存在常数，使得，求的值．‎ ‎【答案】（1）；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 考点：1、定义法求轨迹方程；2、直线与椭圆的位置关系问题.‎ ‎20．已知椭圆：的离心率，原点到过点，‎ 的直线的距离是．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在最小值．‎ ‎【解析】‎ 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积公式；4、函数的最值．‎