2018届二轮复习导数定调情况多，参数分类与整合学案（全国通用）

2018届二轮复习导数定调情况多，参数分类与整合学案（全国通用）

‎【题型综述】‎ 用导数研究函数的单调性 ‎（1）用导数证明函数的单调性 证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0‎ ‎（2）用导数求函数的单调区间 求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求，得函数的单调递增（减）区间．‎ 一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数 一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数 ‎（3）单调性的应用（已知函数单调性）‎ 一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数≥‎ ‎1、利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：‎ ‎(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；‎ ‎(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；‎ ‎(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．‎ ‎2、求函数的单调区间的“两个”方法 方法一：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；‎ ‎(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；[来源:学科网]‎ ‎(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ 方法二：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；‎ ‎(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；‎ ‎(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；‎ ‎(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．‎ ‎3、由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ‎（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(‎ 在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；‎ ‎（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；‎ ‎（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．‎ ‎【典例指引】‎ 例1．已知函数，为函数的导函数． ‎ ‎(1)设函数的图象与x轴交点为A，曲线y=f(x)在A点处的切线方程是，求的值；‎ ‎(2)若函数，求函数的单调区间．‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)． ‎ ‎ ‎ ‎①当时，， 学科*网 ‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 的单调递增区间为，单调递减区间为 ‎ ‎ ‎ ‎(ⅱ)当，即时，， ‎ 故在单调递减； ‎ ‎(ⅲ)当，即时，‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+[来源:学*科*网]‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 在上单调递增，在，上单调递减 ‎ 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； ‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 ‎ 当，的单调递减区间为学科*网 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为、 ‎ 例2．已知函数，．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1）先确定函数的定义域，求导后得，根据正负进行讨论，可得函数的单调区间；‎ 试题解析：（1）函数的定义域为．‎ 由题意得，‎ 当时， ，则在区间内单调递增；‎ 当时，由，得或（舍去），‎ 当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减．‎ 所以当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；‎ 当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为．学科*网 例3．已知函数， ，（其中， 为自然对数的底数， ……）．‎ ‎（1）令，求的单调区间；‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1）求导函数的导数得，再根据是否变号进行分类讨论单调性：当时，导函数不变号，为单调递增；当时，导函数先负后正，对应单调区间为先减后增．‎ 所以的减区间为 ，增区间为 ‎ 综上可得，当时， 在上单调递增 当时， 的增区间为，减区间为．学科*网 例4．已知函数其中实数为常数且．‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1）利用导数并结合实数的不同取值求解单调区间；‎ 例5．已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1）求出，分类讨论，分别由可得增区间，由可得减区间 ‎【同步训练】‎ ‎1．已知 ‎ ‎（1）若 ，且函数 在区间 上单调递增，求实数a的范围；‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1）求导后根据函数在区间单调递增，导函数大于或等于0（2）先判断为一个零点，然后再求导，根据，化简求得另一个零点。‎ 解析：（1）当时，，因为函数在上单调递增，所以当时，恒成立．学科*网 函数的对称轴为．‎ ‎①，即时，，即，解之得，解集为空集；‎ ‎②，即时， ‎ ‎ 即，解之得，所以 ‎③，即时， ‎ ‎ 即，解之得，所以 ‎ 综上所述，当 函数在区间 上单调递增．学科*网 ‎2．已知函数．‎ ‎(1)讨论的单调性；‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1）对函数进行求导分解因式可得 ，分为和讨论导数与0的关系，得到单调性；‎ ‎ 3．设函数 ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，对m分类讨论即可得出．‎ 试题解析：（1）函数定义域为，‎ 当时， ，∴在上单调递增；‎ 当时， 得，‎ ‎∴在上单调递增；在上单调递减.‎ 点评：讨论函数的单调性即讨论导函数的正负，导函数中有参数m，需要对m进行讨论，来判断正负；‎ ‎4．已知函数 ，其中 (为自然对数的底数).‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；‎ ‎【思路引导】‎ ‎(I)求出，对和分别讨论单调性，求出单调区间;‎ ‎ 5．已知函数， ．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1）先确定函数的定义域，求导后得，根据正负进行讨论，可得函数的单调区间；‎ ‎ ‎ ‎6．已知函数，其中为自然对数的底数.[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ ‎（1）讨论函数在区间上的单调性；‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1）求出，讨论三种情况， ， ，分别令可得增区间， 可得减区间；‎ 试题解析：（1），①当时，，，在上单调递增，②当时，，，在上单调递增，③当时， 时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，④当时，，，在上单调递增，综上所述，当或时，‎ 在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减 ‎7．设函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；[来源:学#科#网]‎ ‎（2）若，求函数的最值．‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1）先求导，分类讨论即可求出函数的单调区间；（2）求导，根据导数和函数的最值得关系即可求出，注意分类讨论．‎ ‎④若，则恒成立，所以函数在上单调递减.‎ ‎（2）若，‎ ‎①当时， ，由（1）得，函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 故时，函数有最大值，无最小值；‎ ‎②当时， ，由（1）得，函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 故时，函数有最小值，无最大值.‎ ‎8．已知函数f(x)＝ln (x＋1)－ －x，a∈R.‎ ‎(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1）先求导数，转化研究二次函数符号变化规律：当判别式非正时，导函数不变号；当判别式大于零时，定义域上有两个根 ，导函数符号先负再正再负.‎ ‎ ‎ ‎9．已知常数，函数.‎ ‎(1)讨论在区间上的单调性；‎ ‎【思路引导】‎ ‎(1)结合函数的解析式可得，分类讨论有：‎ 当时，在区间上单调递增；‎ 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ 试题解析：（1）‎ 当时，此时，在区间上单调递增 当时，，得 当时，；时，；‎ 故在区间上单调递减，在区间上单调递增 综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增 点评：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．‎ ‎10．已知函数.‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）设函数.若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1）代入，求导，可求出切线方程。（2）因为.又因为，的两根>0，所以分与与三类讨论单调性。（3）由成立，即，变形.，所以只需。‎