2018届二轮复习（文） 基本初等函数、函数与方程及函数的应用学案（全国通用）
第2讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅰ卷)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
解析 令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z为正数，∴t>1.
则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝>0，
∴2x>3y.
又∵2x－5z＝－＝
＝<0，
∴2x<5z，∴3y<2x<5z.
答案 D
2.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝( )
A.－ B.
C. D.1
解析 f(x)＝(x－1)2＋a(ex－1＋e1－x)－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋
e－t)－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，
∴函数g(t)为偶函数.
∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点.
又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝.
答案 C
3.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.
解析 一年的总运费与总存储费用之和为y＝6×＋4x＝＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时，y有最小值240.
答案 30
4.(2015·湖北卷)函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________.
解析 f(x)＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1＝sin 2x与y2＝x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1＝sin 2x与y2＝x2的图象如图所示：
由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.
答案 2
考 点 整 合
1.指数与对数式的七个运算公式
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(4)loga＝logaM－logaN；
(5)logaMn＝nlogaM；
(6)alogaN＝N；
(7)logaN＝(注：a，b>0且a，b≠1，M>0，N>0).
2.指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0
1两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当00，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
(2)(2017·山东卷)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是( )
A.f(x)＝2－x B.f(x)＝x2
C.f(x)＝3－x D.f(x)＝cos x
解析 (1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，
∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称.
因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.
(2)若f(x)具有性质M，则[exf(x)]′＝ex[f(x)＋f′(x)]>0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)＋f′(x)>0在f(x)的定义域上恒成立.
对于选项A，f(x)＋f′(x)＝2－x－2－xln 2＝2－x(1－ln 2)>0，符合题意.
经验证，选项B，C，D均不符合题意.
答案 (1)B (2)A
探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.
2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)＝ln(x2－3x＋2)的单调区间，只考虑t＝x2－3x＋2与函数y＝ln t的单调性，忽视t>0的限制条件.
【训练1】 (1)(2017·长沙一模)函数y＝ln |x|－x2的图象大致为( )
(2)(2017·成都冲刺)设函数f(x)＝则满足f(f(t))＝2f(t)的t的取值范围是________.[来源:学.科.网]
解析 (1)令f(x)＝y＝ln|x|－x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数y＝ln|x|－x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D；当x>0时，y＝ln x－x2，则y′＝－2x，当x∈时，y′＝－2x>0，y＝ln x－x2单调递增，排除C.A项满足.
(2)若f(t)≥1，显然成立，则有或
解得t≥－.
若f(t)<1，由f(f(t))＝2f(t)，可知f(t)＝－1，
所以t＋＝－1，得t＝－3.
综上，实数t的取值范围是.
答案 (1)A (2)
热点二 函数的零点与方程
命题角度1 确定函数零点个数或其存在范围
【例2－1】 (1)函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为( )
A. B.
C.(1，2) D.(2，3)
(2)(2017·武汉二模)函数f(x)＝4cos2cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为________.
解析 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数.
f＝log2－＝－1－2＝－3＜0，
f(1)＝log21－＝0－1＜0，
f(2)＝log22－＝1－＝＞0，
f(3)＝log23－＞1－＝＞0，即f(1)·f(2)＜0，
∴函数f(x)＝log2x－的零点在区间(1，2)内.
(2)f(x)＝4cos2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x·－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，令f(x)＝0，得sin 2x＝|ln(x＋1)|.
在同一坐标系中作出两个函数y＝sin 2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示.
观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点.
答案 (1)C (2)2
探究提高 1.函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.
2.判断函数零点个数的主要方法：
(1)解方程f(x)＝0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；
(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.
命题角度2 根据函数的零点求参数的取值或范围
【例2－2】 (2017·历城冲刺)已知函数f(x)＝ln＋x3，若函数y＝f(x)＋f(k－x2)有两个零点，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 因为f(x)＝ln＋x3在区间(－1，1)上单增，且是奇函数，令y＝f(x)＋
f(k－x2)＝0，则f(x)＝－f(k－x2)＝f(x2－k)；
由函数y＝f(x)＋f(k－x2)有两个零点，等价于方程x2－x－k＝0在区间(－1，1)上有两个根，
令g(x)＝x2－x－k，则满足解得－0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.
因为函数f(x)有两个不同的零点，
则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，
令f(x)＝0得a＝2x，
因为0<2x≤20＝1，所以0200，得1.12n>.
两边取对数，得n·lg1.12>lg 2－lg 1.3，
∴n>≈＝，∴n≥4，
∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.
答案 B
(2)解 ①当x＝0时，C＝8，∴k＝40，
∴C(x)＝(0≤x≤10)，
∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10).
②由①得f(x)＝2(3x＋5)＋－10.
令3x＋5＝t，t∈[5，35]，
则y＝2t＋－10，∴y′＝2－，
当5≤t<20时，y′<0，y＝2t＋－10为减函数；
当200，y＝2t＋－10为增函数.
∴函数y＝2t＋－10在t＝20时取得最小值，此时x＝5，
因此f(x)的最小值为70.
∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.
探究提高 解决函数实际应用题的两个关键点
(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题.
(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解.
【训练3】 (2017·成都调研)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.
解析 由已知条件，得192＝eb，
又48＝e22k＋b＝eb·(e11k)2，
∴e11k＝＝＝，
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，
则t＝e33k＋b＝192 e33k＝192(e11k)3＝192×＝24.
答案 24
1.指数函数与对数函数的图象和性质受底数a(a>0，且a≠1)的取值影响，解题时一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约.
2.(1)忽略概念致误：函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x轴交点的横坐标.
(2)零点存在性定理注意两点：
①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.
3.利用函数的零点求参数范围的主要方法：
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
4.构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：
(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.
(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.
(3)构建f(x)＝x＋(a>0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解.
一、选择题
1.(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是( )
(参考数据：lg 3≈0.48)
A.1033 B.1053
C.1073 D.1093
解析 M≈3361，N≈1080，≈，
则lg≈lg＝lg 3361－lg1080＝361lg 3－80≈93.∴≈1093.
答案 D
2.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B.－2，0
C. D.0[来源:学*科*网Z*X*X*K]
解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0.
当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，
又因为x>1，所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.
答案 D
3.(2017·西安调研)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A.(－∞，2] B.[2，＋∞)
C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]
解析 由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减.
答案 B
4.(2017·长郡中学二模)函数f(x)＝ln x＋ex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是( )
A. B.
C.(1，e) D.(e，＋∞)
解析 函数f(x)＝ln x＋ex在(0，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)最多只有一个零点.
当x→0＋时，f(x)→－∞；又f＝ln＋e＝e－1>0，
∴函数f(x)＝ln x＋ex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是.
答案 A
5.(2017·德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为( )
A.5 B.8
C.9 D.10
解析 ∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，
可得n＝ln，∴f(t)＝a·，
因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，
f(k)＝a·＝a，即＝，
∴k＝10，由题可知m＝k－5＝5.
答案 A
二、填空题
6.(2016·浙江卷)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
解析 设logba＝t，则t＞1，因为t＋＝，解得t＝2，所以a＝b2，因此ab＝(b2)b＝b2b＝ba，∴a＝2b，b2＝2b，又b＞1，解得b＝2，a＝4.
答案 4 2
7.(2017·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是________.
解析 令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，
因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，
则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
答案 －
8.(2017·北京燕博园研究中心)函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
解析 设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图).[来源:Zxxk.Com]
当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)且t1<－1，t2≥－1，当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解.综合当a≥－1时，函数g(x)＝f[f(x)]－a有三个不同的零点.
答案 [－1，＋∞)
三、解答题
9.(2017·天津期末)已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.
解 (1)∵f(x)＝ex－，
∴f′(x)＝ex＋，
∴f′(x)>0对任意x∈R都成立，
∴f(x)在R上是增函数.
又∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数.
(2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立，
⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立，
⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立，
⇔t2＋t≤x2＋x＝－对一切x∈R都成立，
⇔t2＋t≤(x2＋x)min＝－⇔t2＋t＋＝≤0，
又≥0，∴＝0，∴t＝－.
∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立.
10.(2017·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，[来源:Zxxk.Com]
即a＋b＝0；
当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故有a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组得
(2)由(1)知，v＝－1＋log3.
所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，
即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2
m/s，则其耗氧量至少要270个单位.
11.(2017·山东卷改编)已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，求正实数m的取值范围.
解 y＝(mx－1)2＝m2，相当于y＝x2向右平移个单位，再将函数值放大m2倍得到的；
y＝＋m相当于y＝向上平移m个单位.
①若0＜m≤1，两函数的图象如图1所示，可知两函数在x∈[0，1]上有且只有1个交点，符合题意.
②若m＞1，两函数的大致图象如图2所示.
为使两函数在x∈[0，1]上有且只有1个交点，只需(m－1)2≥1＋m，得m≥3或m≤0(舍去).
综上，正实数m的取值范围是m∈(0，1]∪[3，＋∞).
